點(diǎn)擊余弦定理、正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題

■歐修祝

余弦定理、正弦定理是三角函數(shù)中的兩個(gè)重要定理,是解三角形的重要依據(jù)。余弦定理、正弦定理揭示了三角形中的邊角關(guān)系,它們?cè)诮馊切沃杏兄鴱V泛的應(yīng)用。

一、余弦定理的應(yīng)用

已知三角形的三邊關(guān)系或比例關(guān)系解三角形:根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì),轉(zhuǎn)化為已知三邊求解。判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考,可用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解或配方得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀。

二、正弦定理的應(yīng)用

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形:先由正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值,當(dāng)已知角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中“大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊”的法則,能判斷另一邊所對(duì)的角是銳角,由正弦定理可求得銳角;當(dāng)已知角為小邊所對(duì)的角時(shí),不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角,要分類討論。判斷三角形的形狀,可用正弦定理、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊與邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀。

例2 在△ABC中,若sinA=2sinB·cosC,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀。

(利用角的互補(bǔ)關(guān)系)由sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,即A=90°。由A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,可得sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以sin(B-C)=0。由-90°＜B-C＜90°,可得B-C=0,即B=C。故△ABC是等腰直角三角形。

三、余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用

對(duì)于這類問(wèn)題,要明確題中所給角與邊的含義,認(rèn)真分析已知條件與所求問(wèn)題,也可以畫出示意圖幫助求解。

例3 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若2asinA= (2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀。