基于Dunkl集上分數次極大算子及其交換子在廣義Orlicz-Morrey空間上的估計

芮儷，逯光輝

西北師范大學 數學與統計學院，蘭州 730070

對任意v∈Rd{0}，定義σv為v垂直于超平面Hv?Rd的反射

設由反射族{σv}v∈D構成的有限群G為根系統反射群．對任意v∈R，kv≥0，用hk表示Rd上的權函數，有

B(x，r)={y∈Rd：|x-y|

是中心為x∈Rd且半徑為r的球，在Dunkl集上的測度為

其中

Sd-1是Rd上的單位球，dσ為標準化曲面測度．

其中

且fB(x，r)表示函數f在球B(x，r)上的平均值．

給定b∈BMOk(Rd)，與帶Dunkl集的分數次極大算子相關的交換子Mα，k，b定義為

則稱Φ為Young函數．

全文用Y表示滿足0<Φ(r)<∞的全體Young函數構成的集合．根據凸性以及Φ(0)=0，容易驗證Young函數都是增的．

定義2[16]設Φ∈Y，則帶有Dunkl集的Orlicz空間LΦ，k(Rd)定義為

且

帶有Dunkl集的弱Orlicz空間WLΦ，k(Rd)的定義為

且

其中

接下來，我們回顧一些逆函數的有關概念[12]．對于一個函數Φ∈Y，且0≤t≤∞，設

Φ-1(t)=inf{r≥0：Φ(r)>t}

類似地，我們給出如下帶有Dunkl集的廣義Orlicz-Morrey空間的定義：

定義3設φ(x，r)>0為Rd×(0，∞)上的可測函數，Φ∈Y，帶有Dunkl集的廣義Orlicz-Morrey空間定義為

其中

相應地，帶有Dunkl集的弱廣義Orlicz-Morrey空間定義為

其中

全文中，C表示與主要參數無關的常數，其值在不同的地方可能不盡相同．對于Rd上的可測子集E，χE表示其上的特征函數．

引理2[16]設Φ∈Y，則對任意球B?Rd，有

引理3[16]設Φ∈Y，則對任意球B，有

引理4[16]若f∈BMOk(Rd)，則存在p∈[1，∞)，有

且對任意0<2r

引理5[15]設Φ∈Y∩Δ2，球B?Rd，f∈LΦ，k(B)，則對于1

其中C是不依賴于f和b的正常數．

定理1設0<α

(1)

(2)

則Mα，k從MΦ，φ1，k(Rd)到MΨ，φ2，k(Rd)有界．

‖Mα，kf‖LΨ，k(B)≤‖Mα，kf1‖LΨ，k(B)+‖Mα，kf2‖LΨ，k(B)

由Mα，k從LΦ，k(Rd)到LΨ，k(Rd)有界[13]，得到

設任意z∈B，注意到當B(z，t)∩(Rd2B)=?時，有t>r．事實上，若y∈B(z，t)∩(Rd2B)，有t>|y-z|≥|x-y|-|x-z|>2r-r=r．另一方面，若y∈B(z，t)∩(Rd2B)，有|x-y|≤|y-z|+|x-z|

由引理2、引理3和(1)式，有

則有

結合(2)式可知

定理2設0<α

(3)

(4)

則Mα，k，b從MΦ，φ1，k(Rd)到MΨ，φ2，k(Rd)上有界．

證設0<α

‖Mα，k，bf‖LΨ，k(B)≤‖Mα，k，bf1‖LΨ，k(B)+‖Mα，k，bf2‖LΨ，k(B)

由Mα，k，b從LΦ，k(Rd)到LΨ，k(Rd)有界[13]，得到

對任意的z∈B，B(z，t)∩(Rd2B)=?，且B(z，t)∩(Rd2B)?B(x，2t)．因此

進一步，得到

由引理2、引理1、引理3和引理4，有

對于J2，由引理4、(3)式和引理3，有

由J1，J2的估計可得

則可得到

再結合(4)式，不難得到