一道極限題的十一種解法

曾 亮，高德超

（廣東理工學院 基礎課教學研究部，廣東 肇慶 526100）

極限理論是微積分學的理論基礎，極限方法是微積分學的基本分析方法[1]，掌握好極限方法對學好微積分具有重要的意義。由于極限方法的多樣性和分散性，尤其是0/0型極限，很多學生在初學時感覺不好掌握，所以教師在教學的某個階段，有必要對該類型極限的常用方法做個總結。筆者在復習和總結0/0型極限的常用方法時，以一道簡單極限題為例，給出了十一種解法，串聯了所學極限的常用方法，并對使用各種方法的關鍵點和注意事項做了說明，不僅激發了學生學習極限的興趣，達到梳理鞏固所學知識點的目的，還鍛煉了學生的發散思維能力[2]。

下面，先給出一個本文將要用到的結論。

注使用兩邊夾準則之前，可以通過繪圖、取特殊值等方法預先估計所求極限的結果，然后再重點研究放縮技巧。需避免過度放縮，以保證不等式兩端的極限值相等。

解法2（利用極限的四則運算法則和第一個重要極限）：

注若將所求極限看作為兩函數之和（或差）的極限，則根據極限的四則運算法則，必須要求兩函數的極限都存在。

解法3（提取公因式和利用等價無窮小代換）：

注由于等價無窮小代換一般只能對乘積的因子代換，所以對于函數和差形式可考慮將其化為乘積形式，其中比較常用的方法就是提取公因式。對于此題，除了提取公因式sinx，還可以提取公因式sin2x。

解法4（利用和差化積公式和等價無窮小代換）：

注對于正弦函數或余弦函數的和差形式，若不方便使用提取公因式化乘積形式的方法，還可以利用和差化積公式化為乘積形式。

解法5（利用等價無窮小代換）：

注對于無窮小的和差形式，除了化為乘積形式之外，還可以考慮是否滿足引理1的條件。若滿足，則可以做整體代換。

解法6（利用泰勒公式）：

注當函數和差形式不能直接利用或不方便利用等價無窮小代換時，可以考慮利用泰勒公式展開，階數的展開應遵循“上下同階”原則和“冪次最低”原則[4]。

解法7（利用導數的定義）：

注當極限表達式容易變形為某函數的增量與自變量的增量的比值時，則可以考慮利用導數的定義計算所求極限。

解法8（利用洛必達法則）：

注利用洛必達法則之前，必須判別所求極限是否滿足洛必達法則的使用條件。

解法9（利用拉格朗日中值定理）：

令f(t)=sint，顯然f(t)在閉區間[x,2x]（或[2x,x]）上連續，在開區間(x,2x)（或(2x,x)）內可導，且計算有f′(t)=cost.由拉格朗日中值定理得：

注當極限表達式的分子或分母為兩同類函數之差的形式時，可以考慮利用拉格朗日中值定理求極限。

解法10（利用柯西中值定理）：

令f(t)=sint，g(t)=t，則f′(t)=costg′(t)=1.顯然f(t)和g(t)在閉區間[x,2x]（或，[2x,x]）上連續，在開區間(x,2x)（或(2x,x)）內可導，且g′(t)在(x,2x)（或(2x,x)）內每一點處均不為零，則由柯西中值定理可得：

注柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，當極限表達式的分子和分母都可以表示為兩同類函數之差的形式且使用拉格朗日中值定理失效時，可考慮使用柯西中值定理。

解法11（利用積分中值定理）：

注對表達式含有積分的極限，可利用積分中值定理將其轉化為一般的極限（不含積分），再利用其他方法求解，但要注意中值點在所在區間的任意性。

針對極限方法的多樣性，無論教師在教學中還是學生在平時學習中，應挖掘好題，注重一題多解，有助于打破思維定勢，提升學生運用數學知識的能力和發散思維能力，這樣在面對各種極限題時，總能找到最合適的求解方法。