基于數學核心素養的“函數的概念”教學設計

?廣州市玉巖中學 廣東省吳和貴名教師工作室 吳和貴

1 引言

數學核心素養的提出,為高中數學教學設計和學習方式的轉變提供了引領性的支撐,從發展學生核心素養的角度集中體現了數學學科的育人價值,是三維目標的提煉和升華.

“函數的概念”作為函數大概念下的起始知識,從初中的“變量關系說”到高中的“對應關系說”的轉變,既是重點,也是難點,其核心是對函數的概念(定義)的理解.下面以“函數的概念(第一課時)”新授課的教學設計為例，談談筆者的一些想法與思考.

2 內容解析

2.1 內容

本節內容計劃安排兩個課時.本課時為第一課時，該課時主要從函數定義、函數符號以及函數三要素這三個方面對函數概念進行理解，并與初中所學的函數定義進行比較.

2.2 所處的地位、作用與意義

“函數的概念”是人教版普通高中實驗教科書必修一第一章第二節第一課時的內容，是高考重點考查的內容之一，也是中學教材中一個重要的基本概念.在初中階段，學生們已經學習了一次函數、二次函數、反比例函數等，這為過渡到本課題的學習起到了鋪墊的作用.它是對前面已學的集合的鞏固和應用，同時也為即將學習的冪函數、指數函數、對數函數等內容提供知識基礎和工具支撐.它在整個教材中起著承上啟下的作用.函數概念具有高度的抽象性，是培養學生數學抽象、邏輯推理等核心素養的重要載體.

2.3 教學重、難點

教學重點：通過創設的問題情境，學生從中體悟到在兩個非空集合間所存在的對應關系f，并會使用集合和對應的語言刻畫這一關系，實現對函數概念的意義建構.

教學難點：理解函數概念的本質，尤其是符號和對應關系含義的理解.

3 學情分析

(1)知識基礎：在初中階段，學生已從“變量關系說”的角度學習了函數，具有一定的知識基礎；高一又學習了“集合”的相關知識，為接下來用“對應關系說”定義函數以及對函數本質屬性的揭示提供了知識層面的保障.

(2)思維基礎：高一學生已具備初步的分析、推理、抽象概括能力和理解能力，通過初中的學習，學生能用“變量關系說”來描述函數的定義，但用新接觸的“對應關系說”來描述函數的定義尚有一定的困難.

因此，從所創設的問題情境中抽象歸納出函數概念時，需要讓學生充分地去探索、去體驗方能做到，對學生發現問題、分析問題的能力有較高的要求.

4 教學目標設置

基于以上分析及課程標準的要求，本節課的教學目標設置如下：

(1)通過分析所創設的三個問題情境的共同屬性，歸納發現函數的本質屬性，會用“對應關系說”來描述函數，培養數學抽象素養；

(2)通過對函數定義的分析，提取函數的三要素，并從函數三要素的角度去判定兩個具體函數是否是同一個函數的過程，培養邏輯推理素養；

(3)通過具體函數求解的過程，體會對符號y=f(x)和對應關系f含義的理解，培養學生邏輯推理素養.

5 教學策略選擇

教法選擇：本節課的教學策略要有利于暴露函數本質的過程，從而構建函數的“對應關系說”定義.

數學概念教學是一種“重構”活動，是一個“意義”賦予的過程，數學概念一般經歷概念引入、理解、運用等三個階段.

由于本課題是從集合與對應的角度揭示函數的本質，無論難度還是跨度都有質的飛躍.依據高一學生的認知特點和年齡特征，本節課采取“支架式教學”來組織教學：以問題串為支架，通過對所設置的若干個具體的問題情境(支架)的探究，去發現兩個變量間都具有的關系，提煉出函數的本質屬性.

學法選擇：本節課在教師的主導下，學生通過對所創設的問題情境進行觀察、分析、類比、探究、發現，歸納出函數概念的本質屬性，因此自我探究、思考、總結、歸納，自我感悟，合作交流與對話等是本節課的主要學習方式.

教學媒體選擇：為增加學生的直觀感知，提高課堂效率，充分發揮多媒體快捷、生動、形象的特點，本節課采用黑板板書加PPT與《幾何畫板》等進行教學.

6 教學過程設計

為落實“數學教學要為思維而教”的教學理念，本節課共設置7個教學環節：復習舊知，引發沖突；創設情境，意義建構；概念剖析,深化理解；典例研究，遷移應用；鞏固新知，檢測評價；反思總結，提高認識；布置作業，分層落實.

6.1 復習舊知，引發沖突

問題1：請舉出初中學過的一些函數.

追問1：能具體說一下初中是如何定義函數的嗎?

師生活動：師生共同回憶初中所學的運用“變量說關系”定義函數.

設計意圖：對初中函數定義進行回憶，為接下來將要探究的追問2作鋪墊.

追問2：請問y=1(x∈R)是函數嗎？

學生活動:學生經過探究、思考、爭論，最終形成兩種觀點.一種觀點認為是函數，理由是每個x都有唯一的y與之對應；另一種觀點認為不是函數，因為1不再是變量.爭論不休，無法解決.

教師適時發聲：看到大家的爭論，我感到非常欣慰，說明大家都在思考.其實，就y=1(x∈R)是否是函數這樣的爭論在數學發展史上也曾發生過，這個問題數學家爭論了很多年也困擾了很多年.直到19世紀末德國數學家康托爾的集合論的誕生，這個困惑才得以消除，以前有關函數概念的缺陷才得以修正，至此，才真正把y=1(x∈R)這樣的函數最終納入函數的大家庭中來.那么數學家是如何利用集合理論，對函數的概念進行修正的呢？今天就一起來做進一步的探討.

設計意圖：因認知能力所限，初中所學函數知識回答不了上述問題，引發認知沖突和困惑，有助于激發學生的學習熱情和探究意識，從而引出本節課的主題(用PPT打出課題：1.2.1函數的概念).此外，在數學教學中滲透數學文化，既可以提高學生的學習興趣，還可以守護數學歷史，積淀數學智慧.

6.2 創設情境，意義建構

創設問題情境：(用多媒體依次展示教材中三個對應的實例)

問題情境1：“炮彈飛行時高度與時間的對應關系”以函數解析式形式給出.(問題情境從略)

問題情境2：“南極臭氧空洞面積與時間的對應關系”以圖象形式給出.(問題情境從略)

問題情境3：“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與年份的對應關系，此問題情境以表格形式給出.(問題情境從略)

并在每一個問題情境后提出：

問題2：①該問題情境涉及到幾個變量？每個變量的范圍如何用集合表示？

②與第一個變量對應的另一個變量的值一定存在嗎？若存在，唯一嗎？

學生活動：觀察三個實例并思考前述問題組，嘗試回答.

設計意圖：由學生自主探究并發現每個問題情境各自的特點，回答問題，既培養了學生的發現問題、分析問題的能力，又培養了學生的探究意識和提取信息的能力，進而發展了學生的邏輯推理和數據分析素養.

問題3：這三個問題情境中的兩個變量之間的關系有什么共同特點?

學生活動，歸納發現共同點：①均存在兩個非空數集；②都具有一種確定的對應關系；③都具有任意對唯一的特點.

教師活動：在學生回答基礎上介紹符號，具有上述特點的對應可用：f:A→B,x∈A,y∈B來表示.由于y是x經過f對應過來的結果，所以也可寫成y=f(x),x∈A,同時指出這樣的對應就是高中所定義的函數.

設計意圖：先由學生自主探究所給的三個問題情境的共同屬性，對所給的三個問題情境，學生通過觀察、分析、比較、發現、歸納、概括等環節，抽象出函數概念的本質，既培養了學生的創新意識，又培養了學生的抽象思維素養.

問題4：你能用集合與對應的語言來描述函數嗎？

師生活動：在師生協同努力的基礎上引入函數的概念(“對應關系說”定義)(定義從略).

設計意圖：函數概念教學關鍵點除了讓學生理解其引入的必要性、合理性，就是理解其本質屬性.這些實質性的內容要留給學生探究體驗，這樣的學習才是深度學習.因此，對三個問題情境共同屬性的概括，應由學生以自主探究與合作交流的方式完成，但函數規范表述卻不是適合探究的內容，因此，函數規范表述的給出最好由教師講授，師生協同完成.

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6.3 概念剖析,深化理解

問題5：請找出函數概念中的關鍵詞，并用簡潔的語言加以說明.

學生之間交流互動給出：

(1)兩個非空的數集；

(2)任意性與唯一性；

(3)存在確定的對應關系，且對應關系既可以是解析式，也可以是圖象，還可以是表格.

追問3：下列各圖中，不能是函數f(x)圖象的是( ).

設計意圖：概括出函數概念后，需對概念的“注意事項”進行辨析，加深學生對概念的理解.如果這些“注意事項”僅就抽象的定義，圍繞“關鍵詞”來講解，學生頭腦中根本就沒有理解這些細節的背景例證，而剛接觸的定義又極其抽象，如果只是這樣強調“細節”，結果只能是令學生越聽越糊涂.

顯然，僅以教材中的“思考：分析歸納以上三個實例中變量之間的關系有什么共同點？”就讓學生概括回答有點不現實.由于問題缺少具體的方向，學生要回答這一“思考”還是有難度的，教師應為學生搭建“支架”，具體做法是把“思考”具體化，分解成切實可行的小問題(見問題5及其追問).

問題6：基于對函數概念的理解，你認為函數由幾個要素構成?

師生活動：函數由定義域、值域、對應關系這三個要素構成，我們稱之為函數的三要素.

追問4：回憶初中所學過的函數，你能舉例說明它們的三要素分別是什么嗎？

追問5：根據函數定義，請大家重新思考一下剛才的追問2：y=1(x∈R)是函數嗎？

學生思考、回答：是一個函數，因為符合函數的定義.

追問6：該函數的定義域、值域和對應關系f是怎樣的？

學生活動略.

追問7：該函數與函數y=x0是同一函數嗎？

師生活動：不是.因為定義域不同，只有當兩個函數的三要素都相同時，這兩個函數才是相同的函數.

追問8：下列函數中哪個與函數y=x相等？

設計意圖：對函數概念進行辨析之后，還需對函數的三要素和相同函數等進行說明，這些都應該在教師的引導下由學生完成.因此，回到一開始爭論的問題，通過不停的追問，不僅實現問題的解決，而且還收獲了新的知識.

6.4 典例研究，遷移應用

變式1：能否利用f以一種更簡潔的方式表示上述結果？

變式2：你能繼續求出f(2021)的值嗎？

教師引導學生歸納：f(x)就是數x在對應法則f的作用下所對應的數.

教師告訴學生：這其實也是18世紀瑞士數學家歐拉當年的函數記法，可以說我們今天就是在學數學家歐拉的發明.

變式4：當a>0時，求f(a),f(a-1)的值.

設計意圖:函數概念最大的難點在于對抽象符號“f:A→B,y=f(x),x∈A,y∈B”的理解.難，主要體現在兩點：一是對應關系f含義的理解；二是符號f(x)的理解及使用.

教學中應利用具體函數例證，特別是圖象、表格表示的函數，使學生逐步體會對應關系f的含義.此外，教學中應向學生呈現豐富的多種形式的實際問題為背景的函數問題，使極其抽象的函數符號f(x)具有與之相對照的實際背景，使學生從中體會到數集A中任一個數x在對應關系f的作用下所對應的數集B中的唯一元素等具體信息.因此，精心設計教材例1的教學，借助具體到抽象、特殊到一般的認知規律，讓學生學會使用符號，有利于其邏輯推理素養的培養.

6.5 鞏固新知，檢測評價

(1) 已知函數f(x)=3x3+2x,求f(2)+f(-a)的值.

(2)下列各組函數f(x)與g(x)表示同一個函數的是( ).

A.f(x)=1，g(x)=x0

(3)設M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，給出下列4個圖形，其中能表示以集合M為定義域，N為值域的函數關系的是( ).

(4)下列表格中的x與y能構成函數的是( ).

學生活動:由學生自主完成的同時分別找四個學生在黑板上各完成一題，而后師生共同評價完善.

設計意圖:本環節一是進一步深化對函數概念的理解，二是進行教學效果檢測與評價.

6.6 反思總結，提高認識

問題7：回顧上述學習過程，請從知識和思想方法等方面來談談你的想法和感悟.

設計意圖：對本節課所學的主要內容和所涉及到的思想方法，應先由學生自己去歸納總結，并說出來，而后老師作適當點撥，這樣既深化了學生對所學知識的理解，又培養和鍛煉了學生的概括與語言表達能力等，從而實現深度學習，發展核心素養.

6.7 布置作業，分層落實

作業：(1)運用今天所學的知識，請列舉日常生活中函數的實例(至少列舉三個)，并用集合與對應的語言來描述函數.

(2)①(必做題)教材第24頁第2,4,5,6題.

②(選做題)已知函數f(x)滿足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，則

設計意圖：分層次要求，分層次作業，使所有學生鞏固所學知識，使不同層次的學生都能得到提高.根據因材施教的原則，布置必做題和選做題，必做題要求學生全部完成，選做題要求學有余力者完成即可.

7 教學思考

高中數學概念教學要樹立以發展學生數學核心素養為導向的教學意識，著力創設有利于發展學生核心素養的教學情境，啟發學生探究，體會其中蘊含的數學思想，教會學生“數學地思考”，引導學生把握數學概念的本質.上述教學設計基于學生現有認知能力，關注學生數學核心素養的培養，以問題引導學生學習，體現的是深度學習，具體體現在以下幾個方面：

(1)在突出重點、突破難點的過程中培養學生的核心素養.

上述教學過程設計圍繞函數概念的“對應關系說”定義這一重點和難點，通過三個具體問題情境和5個問題(問題1到問題5)來突出重點，突破難點.其中，引發認知沖突是概念生成的動力(問題1及其追問)，搭建“支架”是從三個具體問題情境概括出其共同屬性，從而抽象出函數的本質所采取的恰當的教學方式(問題2到問題5)，對抽象符號“f:A→B,y=f(x),x∈A,y∈B”的理解應以實際問題為依托，通過堅實的具體實際背景，使學生更好地體會它所包含的具體信息(例1及其變式).通過對這一系列漸次遞升問題的思考與探究，學生經歷圖形語言、文字語言、符號語言等轉換過程，體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數學研究方法，使教學在突出重點、突破難點的過程中培養學生的直觀想象、數學抽象等數學核心素養.

(2)在強化概念的理解和運用的過程中發展學生的核心素養.

上述教學過程設計圍繞強化對函數概念的理解與運用，設計了5道試題、2個問題(問題6到問題7)及其6個追問、1道例題以及4個變式.其中通過背景實例充分感知函數定義中的“注意事項”，概念的理解呈螺旋上升是恰當的處理方式(問題5到追問8)，通過總結反思，及時訓練，能夠強化對概念更深層次的理解(4道實例和問題7).通過對這一系列漸次遞升試題、問題及其變式的思考與探究，進一步強化了學生對函數概念的理解，既深化了對函數概念的認識，又提高了學生對函數概念的運用遷移能力，有利于發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據處理等數學核心素養.

(3)在滲透數學文化提升課堂品質的過程中提高學生的核心素養.

上述教學過程設計了兩次滲透數學文化(追問2和例1變式3之后).在數學教學中適時滲透數學文化，有助于學生深切感受到數學與自然及社會的緊密聯系，促使學生從文化層面理解數學及其作用，增強學生學好數學的信心，從而提升學生的數學與人文素養.

總之，上述教學過程設計著力于函數概念的形成，致力于讓學生經歷由以前的“變量關系說”到現在的“對應關系說”的轉換過程，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般、從定量到定性的數學研究方法.使學生在問題情境中、在探究建構中以及在概念運用中培養學生的數學核心素養，這充分體現了培養學生核心素養的教學追求.