基于高階思維的單元教學設計研究
——以平面解析幾何為例

?云南師范大學 彭先琦 孔德宏

1 問題提出

為響應2014年教育部發布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，落實“以人為本”的基本教學理念，《普通高中數學課程標準(2017年版)》(后文簡稱課標)凝練了六大數學核心素養，其中高階思維是數學核心素養體系的關鍵[1].學生高階思維的形成建立在對問題的深度研究與知識的本質把握之上，同時對教學設計提出了更高的要求.當前，我國數學教材采用章節化的編排體系，存在知識點之間邏輯不清晰，章節內在聯系不深入等問題.其中，瀘教版和人教版數學教材的 “平面解析幾何”部分都存在小節內容之間銜接不連貫、公式推導與學生認知邏輯有差距等問題[2].在這一背景下，本文中提出基于高階思維的單元教學設計研究.

2 高階思維的生成機制

高階思維指利用高階規則在環境中求解問題的一種認知策略，其中高階思維活動具有主動的、意圖的、建構的、真實的和合作的五個特性.了解高階思維的生成機制有助于培養高階思維，本研究對高階思維生成機制的應用主要參照段茂君等提出的高階思維生成的四個階段[3]，具體生成機制如圖1所示.

圖1 高階思維生成機制

階段一：情景設置——激活問題.在真實情景中遇到不符合認知的元素從而激發思考，牽動高階思維.該階段是高階思維生成的前提.

階段二：綜合探究——分析問題.運用分析、判斷、創新等思維技能對問題進行分析.該階段是高階思維生成的基礎.

階段三：深度學習——解決問題.通過對問題的分析，概括新的知識或技能，進一步習得與掌握，提升高階思維.該階段是高階思維生成的主體.

階段四：心理機能——反思問題.在問題解決后，回顧整個過程，凝練問題解決的途徑與方法，并運用元認知能力評估自身心理機能變化情況.該階段是對高階思維生成的鞏固.

3 “平面解析幾何”的高階思維單元設計

“平面解析幾何”位于課標選擇性必修的“幾何與代數”主題，《普通高中教科書數學·選擇性必修一(A版)》第二章和第三章，內容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發展(選修)[4].本次高階思維單元設計基于高階思維生成機制與單元教學設計原則，按照確定基本問題、設計學習活動、制定評估方式的順序生成.

3.1 階段一：確定基本問題

由于學生的高階思維是在探究問題的過程中生成，因此單元教學設計應首先確定能引發學生對該單元本質思考的基本問題.基本問題設計需要考慮兩方面內容：(1)關于學生認知，應考慮是否位于學生的最近發展區內及是否與已有認知產生沖突；(2)關于教學內容，是否能夠體現與滲透本單元所包含的數學思想與核心素養.這兩方面內容的確定依靠分析教學要素及確定教學目標.教學要素的分析應包括數學分析、課標分析、學情分析、教材分析、重難點分析、教法分析六個方面.以學情分析為例，應涵蓋：(1)學生對平面解析幾何的原有認知程度；(2)學生對圓錐曲線的了解程度；(3)學生對平面解析幾何的情感態度；(4)學生學習平面解析幾何的方法、習慣以及風格.教學目標在突出發展高階思維的基礎上從知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個方面制定.基于上述分析，階段一的詳細設計如下.

(1)確定教學目標.

從現實和數學兩個角度認識直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，掌握相應的幾何特征與代數表達式；

能運用代數法和幾何法判斷上述五類方程的位置關系，并能求解相關的幾何數值；

能夠運用平面解析幾何解決一些數學問題或現實問題；

能根據問題情境，建立合適的直角坐標系；

掌握代數幾何化與幾何代數化的方法與技巧；

體會與感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.

(2)確定基本問題.

為什么需要平面解析幾何？

如何進行平面解析幾何的研究？

平面解析幾何中幾何與代數有哪些聯系？

圓錐曲線的價值是什么？

代數法和幾何法各自有什么優勢與弊端？

3.2 階段二：設計學習活動

根據高階思維生成機制，結合已確定的基本問題，從情景認知、綜合探究、深度學習、心理機能四個方面對學習活動的主要環節設計如下.

(1)情景設置.

目的：通過情景設置引導學生提出相關數學問題，激發學生主動思考，提高學生的學習興趣.

環節：

了解解析幾何的數學史；

了解阿波羅尼烏斯研究中介紹三種曲線與圓錐曲線的聯系；

了解航天器飛行軌跡與橢圓之間的聯系；

利用工具探究圓錐曲線的現實意義；

了解圓錐曲線在現實中的應用，如航天器飛行軌跡、通風塔等.

(2)綜合探究.

目的：通過設置探究活動，培養學生團隊協作能力，激發學生高階思維.

環節：

學生分別運用和不運用平面直角坐標系研究物體運動軌跡；

探究確定直線的最少要素有哪些？分別可以組成幾組？

探究橢圓參數對橢圓的影響與橢圓扁平程度的決定因素；

探究雙曲線漸近線的方程；

判斷二次函數、平拋運動是否是拋物線？為什么？

(3)深度學習.

目的：總結探究活動成果，得出數學概念或原理，并在相關問題中創造性使用，提高學生高階思維.

環節：

總結直線、圓和圓錐曲線的定義、方程與性質；

利用代數法求解幾何中的位置、距離、對稱、角度等問題；

利用幾何法求解直線、圓及圓錐曲線的方程.

(4)心理機能.

目的：激發學生元認知能力，總結深度學習成果，鞏固學生高階思維.

環節：

分析直線在代數和幾何之間是如何聯系的；

根據問題情境選擇合適的代數方程；

創造性地將代數法和幾何法進行結合；

總結如何簡便地實現直線、圓及圓錐曲線的幾何特征與代數特征的相互轉換；

總結如何根據問題情境最大化使用代數法和幾何法.

基于高階思維培養的單元教學，對階段二的設計需注意以下兩個問題：(1)課程內容設置是否能體現大單元的核心思想與培養相應的能力；(2)課程進度設置是否與學生認知發展相適應.設計的基本思路為：(1)通過追溯平面解析幾何的歷史再結合初中相關的學習，介紹什么是平面解析幾何并滲透其核心思想，體會學習與掌握平面解析幾何的必要性；(2)在初中對直線與圓的認知基礎上，深化其教學，初步培養學生將幾何問題轉化為代數問題，再從代數分析中提煉出幾何性質的思想與習慣；(3)從現實與數學兩個角度進行學生未接觸過的圓錐曲線教學，在這一過程中幫助學生建立幾何與代數更加緊密的聯系，深化點與坐標一一對應的思想；(4)反思與總結所學知識，提煉出平面解析幾何所滲透的數學思想并考察自身心理機能的變化情況.

3.3 階段三：制定評估方式

高階思維貫穿整個學習過程，因此制定評估方式應從不同方面進行綜合評估，本文中選擇探究活動成果、隨堂檢測、課題匯報、觀察與談話、課后作業、單元測驗、自我評價與反思七種方式進行，具體內容見表1.其中，評估內容的設置應主要針對：(1)能夠解決數學、其他學科和現實生活中相關問題的能力；(2)將數學作為交流工具的能力；(3)將數學作為一種推理方式的能力.評估內容應基于以下原則：(1)問題有非單一的答案；(2)問題的解決需要許多概念；(3)問題可以用很多方法來解決.這些原則旨在讓學生多維思考問題，而非單一思維.使用幾個概念來解決問題的目的是讓學生運用所學知識，建立知識聯系，從而獲得解決方案.

表1 評價體系

(續表)

4 總結

基于高階思維的單元教學設計的特點為：(1)在傳統教學設計的基礎上依據高階思維生成機制將教學活動分為情景認知、綜合探究、深度學習、心理機能四個模塊，加強對學生高階思維的開發與培養；(2)在此過程中將“大單元”的核心思想融入整個教學設計，以包含“大單元”核心思想的基本問題驅動整個單元教學，有利于教學實施的連續性與一致性；(3)深度落實學生的數學核心素養,高階思維是數學核心素養體系的關鍵，而發展數學核心素養是培養高階思維的落足點.