數學抽象視角 核心素養引領

?安徽省合肥一六八中學 張 禹

1 引言

數學抽象是數學新課標中創新性指出的六大核心素養之一，是指舍去數學問題的一切外在的物理屬性，進而揭示數學問題本質與數學研究對象的一種基本素養.數學抽象是借助多個層面的視角，綜合問題情境抽象出問題的一般規律和結構等，應用數學語言予以表征，為數學問題的解決提供條件，是貫穿于整個數學教學與學習的一條隱形、思維性的鏈條.下面結合2021年高考數學真題，從多個視角層面，合理抽象出數學的概念、命題、方法和體系，闡述數學抽象的培養與滲透方法，引領與指導數學教學與學習，拋磚引玉.

2 借助創新定義進行數學抽象

例1(2021年高考數學新高考Ⅱ卷第12題)(多選題)設正整數n=a0·20+a1·21+……+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+……+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

分析：根據創新定義進行數學抽象，借助相應的創新公式，結合各選項中的取值情況合理分析.

解析：由于2n=a0·21+a1·22+……+ak-1·2k+ak·2k+1，則有ω(2n)=ω(n)=a0+a1+……+ak，故選項A正確；

當n=2時，2n+3=7=1·20+1·21+1·22，可得ω(7)=3，而2=0·20+1·21，則有ω(2)=0+1=1，所以ω(7)≠ω(2)+1，故選項B錯誤；

由于8n+5=a0·23+a1·24+……+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+……+ak·2k+3，可得ω(8n+5)=a0+a1+……+ak+2，

而4n+3=a0·22+a1·23+……+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+……+ak·2k+2，

所以ω(4n+3)=a0+a1+……+ak+2=ω(8n+5)，故選項C正確；

由于2n-1=1·20+1·21+……+1·2n-1，可得ω(2n-1)=n，故選項D正確.

故選擇答案：ACD.

點評：信息創新的多選題，往往借助創新信息給出合理創設，解決此類問題的關鍵是合理分析與理解相關題目條件中的創新信息，理解與掌握“新信息”的實質，借助數學抽象得出新概念、新公式、新運算、新方法、新對應法則等創新元素，用合適的數學思維與方法去理解與應用“新信息”要素，挖掘隱含其中的數學基礎知識、思想方法和基本技能等，合理轉化，巧妙應用.

3 借助數學公式進行數學抽象

分析：合理借助題目條件中的奇函數的性質以及抽象函數的關系式f(1+x)=f(-x)，加以數學抽象，通過邏輯推理與轉化，確定函數的周期性，再結合所求函數值加以變形與轉化，進而得以邏輯推理與化歸.

解析：由于f(x)是定義域為R的奇函數，則有f(-x)=-f(x).

結合f(1+x)=f(-x)，可得f(1+x)=-f(x).

所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函數f(x)是周期為2的周期函數.

故選擇答案：C.

點評：借助奇函數的性質結合抽象函數奇偶性的定義，并利用抽象函數所滿足的關系式加以數學抽象，進而有效合理轉化與變形，確定抽象函數的周期是破解的關鍵一環，在此基礎上進行合理變形，巧妙求值.

4 借助性質特征進行數學抽象

例3(2021年高考數學上海卷第12題)已知ai∈N*(i=1，2，……，9)，對ak=ak-1+1或ak=ak+1-1(2≤k≤8)中有且僅有一個成立，且a1=6，a9=9，則a1+a2+……+a9的最小值為________.

分析：基于對題目條件的直觀理解，結合任意相鄰三項中僅有兩項是相鄰正整數，從數列中相關項的性質特征視角切入，結合數列從前到后(或從后到前)的不同情況分類討論，逐一確定數列中各項的取值情況與相互數量關系，進而加以求和處理，通過各項的取值條件確定對應的和式的最小值，比較兩者不同情況下所得的最小值，即可得所求的答案.

解析：由題可知，任意相鄰三項中僅有兩項是相鄰正整數.

(1)若a2=a1+1=7，則a3≠8，a4=a3+1，a5≠a3+2，a6=a5+1，a7≠a5+2，a8=a7+1.

所以a1+a2+……+a9=6+7+a3+(a3+1)+a5+(a5+1)+a7+(a7+1)+9=25+2(a3+a5+a7)≥25+2(1+1+1)=31,此時a3=a5=a7=1，a4=a6=a8=2時取等號.

(2)若a8=a9-1=8，則a7≠7，a6=a7-1，a5≠a7-2，a4=a5-1，a3≠a5-2，a2=a3-1.

所以a1+a2+……+a9=6+(a3-1)+a3+(a5-1)+a5+(a7-1)+a7+8+9=20+2(a3+a5+a7)≥20+2(2+2+2)=32，此時a3=a5=a7=2，a4=a6=a8=1時取等號.

綜上所述，a1+a2+……+a9的最小值應該是31.故填答案：31.

點評：通過數列中相關項的性質特征分析處理，充分領會題目創新定義的實質，抓住數列對應項之間的關系建立關系式.正確分析題意，抽象出問題的性質特征，這是破解此類問題的關鍵所在.

5 借助圖形直觀進行數學抽象

例4(2021年高考數學全國甲卷文、理科第2題)為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖，根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是( ).

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

分析：利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過直觀圖形加以數學抽象，進而求解頻率即可判斷選項A，B，D，利用平均值的計算方法，即可判斷選項C.

解析：對于選項A，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率約為(0.02+0.04)×1×100%=6%，故選項A正確；

對于選項B，該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率約為(0.04+0.02×3)×1×100%=10%，故選項B正確；

對于選項C，估計該地農戶家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5，故選項C錯誤；

對于選項D，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率約為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5，故估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項D正確.

綜上分析，故選擇答案：C.

點評：該題以我國脫貧攻堅工作取得全面勝利和農村振興為背景，通過圖表給出了某地農戶家庭收入情況的抽樣調查結果，以此設計問題進行數學抽象，考查頻率分布直方圖的應用，以及分析問題的能力與數據處理能力，解題的關鍵是掌握頻率分布直方圖中頻率的求解方法以及平均數的計算方法.

6 借助方法歸納進行數學抽象

分析：合理分析題目情境，抓住實質進行數學抽象，通過三角函數問題的逆向思維，利用三角函數圖象的平移變換的逆向操作過程來分析與處理，進而得以確定原三角函數的解析式.

故選擇答案：B.

點評：根據題目條件進行數學抽象，采用逆向思維，結合三角函數的圖象平移變換規律加以分析，分步處理，一步一步到位，合理化簡，思路自然，解法常規.方法技巧合理科學，思維方法簡捷.

借助高考真題實例多視角層面展示，在數學教學與學習中，數學抽象能合理有效抽象出相應的數學概念、公式、命題、性質、圖形、方法和思維體系等，養成分析問題、思考問題、探究問題等的一般性習慣，進一步歸納總結，有效把握數學問題的本質屬性，全面抽象概括、以簡馭繁，進而有效借助數學抽象的核心素養與思維方式來思考、分析與解決問題，優化思維品質，提升數學能力.