學科融合 數(shù)學建模

?甘肅省民樂縣第一中學 陳國輝

1 引言

在創(chuàng)新新情境數(shù)學試題中，數(shù)學與其他學科的融合問題是其中最亮麗的一道風景線，巧妙把物理、化學、生物、地理、歷史等其他學科中的相關(guān)知識與數(shù)學知識相結(jié)合，合理數(shù)學建模，充分體現(xiàn)數(shù)學教育的基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，以及相關(guān)的數(shù)學知識、數(shù)學方法作為其他學科研究的思想與方法，備受各方關(guān)注.

2 數(shù)學與物理

例1在線段A1A2的兩端點各置一個光源，已知A1，A2光源的發(fā)光強度之比為1∶2，則該線段上光照度最小的一點到A1，A2的距離之比為______.(光學定律：P點的光照度與P到光源的距離的平方成反比，與光源的發(fā)光強度成正比.)

分析：設(shè)線段A1A2的長度為l，A1，A2光源的發(fā)光強度分別為k，2k，并設(shè)出線段A1A2上光照度最小的一點P到兩端點的距離分別為x，l-x，建立點P處的光照度H的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)，求H的最小值，進而確定兩對應(yīng)距離的比值即可.

點評：合理巧妙借助物理知識與數(shù)學知識加以融合交匯，以生活實際為問題背景，通過數(shù)學建模，借助數(shù)學中的相關(guān)知識來考查數(shù)學中的最值問題.問題極具創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識，有效聯(lián)系知識與實際.

3 數(shù)學與化學

例2如圖1，C60是一種由60個碳原子構(gòu)成的碳原子簇，其結(jié)構(gòu)是以正五邊形和正六邊形組成的凸32面體，它形似足球，因此又名足球烯，則C60結(jié)構(gòu)中正六邊形個數(shù)為______.

圖1

分析：結(jié)合C60的結(jié)構(gòu)圖確定其對應(yīng)的每個頂點同時在3個面內(nèi)，則知正五邊形的頂點個數(shù)與正六邊形的頂點個數(shù)之和為60個頂點的3倍，設(shè)出兩種正多邊形的面的個數(shù)，建立方程組來分析與處理即可.

故填答案：20.

點評：合理巧妙借助化學知識與數(shù)學知識加以融合交匯.以化學中特殊的C60的結(jié)構(gòu)圖與生活實際中的足球加以聯(lián)系，通過數(shù)學建模，結(jié)合空間幾何體中頂點與面的關(guān)系，利用方程組的求解來解決立體幾何中的相關(guān)數(shù)學實際應(yīng)用問題.

4 數(shù)學與生物

例3面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風險，某地防疫防控部門決定進行全面入戶排查，過程中排查到一戶5口之家被確認為新冠肺炎密切接觸者，按要求進一步對該5名成員逐一進行核酸檢測.若任一成員出現(xiàn)陽性，則該家庭定義為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性相互獨立，且概率均為p(0

分析：設(shè)出相應(yīng)的事件A與B.根據(jù)相互獨立來確定各自的概率，進而建立概率函數(shù)關(guān)系式f(p)，通過求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的變形與轉(zhuǎn)化，利用條件中當p=p0時，f(p)最大，進而來確定p0的值.

點評：合理巧妙借助生物知識與數(shù)學知識加以融合交匯，通過數(shù)學建模，結(jié)合概率中的相互獨立建立概率關(guān)系式，綜合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來確定相應(yīng)的最值問題，進而確定滿足條件中的參數(shù)值.

5 數(shù)學與地理

例4臺灣是中國不可分割的一部分，解放軍在臺海地區(qū)組織實兵演練，展現(xiàn)的是捍衛(wèi)國家主權(quán)和領(lǐng)土完整的決心和能力.如圖2為我空軍戰(zhàn)機在海面上空繞臺巡航.已知海面上的大氣壓強是760mmHg，大氣壓強p(單位：mmHg)和高度h(單位：m)之間的關(guān)系為p=760e-hk(e是自然對數(shù)的底數(shù)，k是常數(shù))，根據(jù)實驗知500m高空處的大氣壓強是700mmHg，則我戰(zhàn)機在1 000m高空處的大氣壓強約是(結(jié)果保留整數(shù))( ).

圖2

A.645mmHgB.646mmHg

C.647mmHgD.648mmHg

分析：通過閱讀理解題目條件，結(jié)合關(guān)系式p=760e-hk中相關(guān)參數(shù)的分析，通過特殊的一組數(shù)值代入，得到相應(yīng)的關(guān)系式，進而再次代入對應(yīng)的數(shù)值，利用指數(shù)冪運算加以轉(zhuǎn)化，從而確定對應(yīng)的大氣壓強值.

點評：合理巧妙借助地理知識與數(shù)學知識加以融合交匯，通過數(shù)學建模，綜合指數(shù)冪等代數(shù)運算，巧妙處理實際生活中的數(shù)學問題.

6 數(shù)學與歷史

例5在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為a，當a∈[1，500]時，則符合條件的所有a的和為______.

分析：根據(jù)題目中歷史問題加以翻譯轉(zhuǎn)化，設(shè)整數(shù)a所表示的關(guān)系式a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，通過新參數(shù)之間關(guān)系式的建立，結(jié)合分類討論確定兩參數(shù)之間的關(guān)系，進而合理數(shù)學建模，引入等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和來確定.

解析：由題目條件，可設(shè)a=3m+2=5n+3，m，n∈N，則有3m=5n+1.

當m=5k，k∈Z時，n不存在；

當m=5k+1，k∈Z時，n不存在；

當m=5k+2，k∈Z時，n=3k+1，滿足題意；

當m=5k+3，k∈Z時，n不存在；

當m=5k+4，k∈Z時，n不存在；

所以k=0，1，2，3，……，32，共有33個數(shù)，且這些數(shù)組成以8為首項，15為公差的等差數(shù)列.

點評：合理巧妙借助歷史知識與數(shù)學知識加以融合交匯，通過數(shù)學建模，把歷史中數(shù)學著作問題與實際數(shù)學相結(jié)合，通過條件的轉(zhuǎn)化確定相應(yīng)的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和來解決實際問題.

7 結(jié)束語

數(shù)學與其他學科相融合的創(chuàng)新新情境數(shù)學試題，往往緊密聯(lián)系生活實際，滲透物理、化學、生物、地理、歷史等其他學科中的相關(guān)知識，數(shù)學建模，巧妙轉(zhuǎn)化，以考查考生的基礎(chǔ)知識和基本能力為主線，注重數(shù)學的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性，強調(diào)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，突出考查數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，深受命題專家的青睞.