在有效教學活動中建構數學模型

?江蘇省蘇州市彩香實驗中學 楊愛霞

數學核心素養既是數學課程目標的集中體現，也是促進學生長期發展的必要品質，在學生的自主發展中有著不可替代的重要意義.數學建模的過程能夠培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，通過建構數學模型還能提升學生解決問題的能力，因此在教學中可以依托培養學生建構數學模型的能力落實核心素養的培養.筆者將結合教學實踐談一談在教學中如何培養學生的建模能力，使學生感受數學之美，提升學生的綜合品質和核心素養.

1 在數學活動探究中建構數學模型

數學模型是對數學本質的建構，在教學中通過設計教學活動引導學生主動發現和分析問題，從而學會總結歸納數學知識，并掌握數學推理的思想方法，建構起知識體系[1].教師要注重設計突出數學本質的問題，挖掘數學知識之間的聯系，在建構縱橫知識聯系的基礎上理解數學知識的內涵，學會用數學符號建構具體問題的數學表達形式.

案例1七年級數學“握手問題”數學建模設計

筆者根據“握手問題”的本質，設計了一系列貼合學生實際生活的具體事例，引導學生進行探究.

問題1同學們，老師打算坐高鐵去北京，在購買車票的時候想到一個問題：從南京到上海方向，中途要停靠常州、無錫、蘇州、南翔北，假設從沿途各站上車，請問要準備多少種不同的單程火車票？

問題2我們班一共有46名同學，大家玩一個彼此相互握手的游戲，請問一共需要握手多少次？

問題3上個星期，我們七年級的10個班一起進行籃球比賽，第一輪采用單循環淘汰制，請問一共需要進行多少場比賽？

問題4春節來臨，同學們互相贈送祝福卡片，我們班一共有46名同學，請問一共需要多少卡片才能保證同學們之間能夠做到互相贈送呢？

分析說明：以上這些問題都可以稱為“握手問題”，貼合學生的實際情況也容易理解.在處理這類問題時要引導學生在n個變量中通過確定兩個定量進行組合的方式確定組合的總數量，并注意不要遺漏和重復，由此逐漸引導學生確定解決這類問題的數學模型.在此基礎上設計相似的圖形類問題，進行進一步的探究.

問題5在平面內有n個點，請問經過這些點，最多可以畫多少條直線？

問題6我們知道兩條相交直線有且只有一個交點，請問n條直線兩兩相交，最多可有多少個交點？

問題7在一個角的內部從頂點出發，引出(n-2)條射線，請問一共可以組成多少個角？

如圖1，直線l和n條射線之間有n個交點，一條線段對應著一個角，那么換言之直線l上有多少線段就有多少個角.

圖1

問題8請問圖1中一共有幾個三角形？

分析說明：以上圖形類問題的設計與“握手問題”的本質是一致的.在教師的引導下，學生學會將解決生活中“握手問題”的知識遷移到圖形類問題的解決中，能夠熟知解決此類問題的策略，即確定基本的定量之后再進行相應的不同數量的組合，注重邏輯性和順序性，建構起基本的數學模型.

案例1中的“握手問題”是七年級學生理解的難點，對學生來說較為抽象，在解題過程中由于邏輯混亂常常會出現遺漏，導致各種錯誤.因此在教學設計時，筆者聯系學生的生活實際進行了舉例和模擬操作，這些具體的實例與學生的實際生活緊密聯系，更容易讓學生入手和理解.通過“購買單程車票”進行導入，幫助學生初步認識這類問題的解題策略，進而通過“圖形的初步認識”進行深入研討，實現由淺入深、由表及里的思考和探究，引導學生逐漸抓住“握手問題”的本質.“握手問題”的本質是從n個參數中選擇兩個參數進行組合，求組合的數量.抓住問題的本質才能掌握解題的規律，深化知識理解，從而激發學生參與學習活動的積極性和主動性，增強學習的信心.

教師通過設計有效的數學活動，促使學生能夠從不同的角度和不同的層次進行思考分析，從而找到解答問題的思路，鍛煉了思維能力.在數形的相互轉化中學生能夠體會數學的“化歸”思想，突出了問題的本質，建構起數學模型，提升了解決問題的能力，真正落實了核心素養[2].

2 在拾階而上的數學探究中掌握數學模型建構

數學模型的建構建立在學生的知識儲備、解題技能和思維能力的基礎上，在教學中數學教師要基于初中學生的認知規律和特點，從初中生的思維習慣出發，關注全體學生的發展，尊重學生的差異性，設計分層問題，做到由淺入深，拾階而上.通過問題設計激活學生思維，用問題啟發學生思考，在課堂教學中要給學生充分思考的時間和空間，使學生能夠進行充分的深度思考，提升思維能力，從而進行數學建模，落實核心素養.

案例2九年級“直角三角形中的折疊問題”專題復習之數學建模設計

問題1如圖2，直角三角形ABC中，∠C為直角，BC和AC的長度分別為8和6，將直角三角形ABC沿著AD進行翻折，使點C與AB邊上的點E重合，請問怎樣才能求出折痕AD的長度？

圖2

問題2如圖3，將直角三角形ABC沿著BD進行翻折，使點C與BA邊上的點E重合，請問怎樣才能求出折痕BD的長度？

圖3

師生共同討論解決問題，總結數學模型.解決這類問題可以先將已知條件集中到一個直角三角形中，使直角三角形的一邊成為已知量，另外的兩條邊之間具有特定的數量關系，然后利用勾股定理進行求解.

問題3如圖4，將直角三角形ABC沿著CD進行翻折，使點A和BC邊上的點E重合，請問怎樣才能求出折痕CD的長度？

圖4

師生共同總結數學模型，將直角平分后產生了兩個45°的角，過點D向兩條直角邊分別作垂線段，由此構成了正方形，進而利用相似三角形解決正方形的邊長.

問題4假設三角形在翻折時的折線不經過任一頂點，應該如何求折痕的長度呢？如圖5，將直角三角形ABC沿著某一條直線進行翻折，使頂點A和B重合，請問怎樣才能求出折痕DE的長度？

圖5

問題5假設再換兩個頂點重合又會是什么情況？

問題6假設讓三角形的某一個頂點與指定的某個點重合會怎么樣呢？將直角三角形ABC沿著某一條直線進行翻折，使頂點A和BC邊上的中點F重合，請問怎樣才能求出折痕DE的長度？

師生共同總結數學模型，在直角三角形EFC中可以利用勾股定理列方程求得CE和EF的長度，再過點F作AB的垂線段FH.在直角三角形DFH中可以通過同樣的方法求得DF或者AD的長度，DE的長度自然可以求得.

問題7將直角三角形ABC沿著某一條直線進行翻折，使頂點B和AC邊上的中點F重合，請問應該怎樣才能求出折痕DE的長度？

設計意圖：本例中的設計層層遞進，符合學生的認知規律.首先，從三角形經過某一頂點的折線翻折后的情況進行討論，引導學生學會利用勾股定理加以定量分析之后解決問題.其次，討論三角形不經過某一頂點的折線進行翻折后出現的情況，求折痕的長度.

問題設計由易到難，滿足了不同學生的需求，在層層遞進的探究中提升了學生對這類問題的認識，激發了學生的學習興趣，同時培養了學生建構數學模型的能力，在潛移默化中掌握解決這類問題的策略是先構造直角三角形，根據已知條件利用勾股定理最終獲得解題的思路[3].

綜上所述，建構數學模型是解決數學問題的關鍵與核心，也是提升思維能力的重要途徑.學生在學習數學模型的建構中能夠理解知識的發生和發展過程，使知識的學習與運用形成更加完美的結合，促進學生的全面發展.教師要樹立課程目標意識，以學生的認知水平為基礎，以核心素養為目標，有效設計教學活動，引領拾階而上的數學探究，促進學生積極參與學習活動，開展深度學習，實現數學核心素養的提升.