二次函數(shù)增減性性質(zhì)新說及其應(yīng)用

?福建省武夷山市第二中學(xué) 林夢雨

1 引言

增減性是拋物線的一條非常重要的性質(zhì)，也是重要的考點，下面就對性質(zhì)及其應(yīng)用歸納如下，僅供學(xué)習(xí)時借鑒.

2 引理

(1)當(dāng)a>0時，若d1>d2，則y1>y2；

(2)當(dāng)a<0時，若d1>d2，則y1

下面以a>0為例加以證明.

證明：如圖1.

圖1

綜上所述，當(dāng)a>0時，若d1>d2，則y1>y2成立.

3 引理運用

3.1 判斷最小值是否正確

A．2 B．3 C．4 D．5

由a>0，得c<0，則abc<0，故①正確.

所以正確的個數(shù)有5個.故選：D．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)與x軸的交點情況、二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，綜合性較強，需靈活運用二次函數(shù)的以上相關(guān)知識點．

3.2 根據(jù)最大值計算參數(shù)值

圖2

由拋物線y=ax2-2ax+c過點A，可得c=1.

點評：解答時，有三點需要把握好.一是用好配方法確定拋物線的對稱軸；二是用好“ady”法則計算距離d并準(zhǔn)確比較大小；三是靈活運用分類思想，結(jié)合“ady”法則計算即可.

3.3 判斷結(jié)論的正誤

例3(2021·日照)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸是直線x=-1，其圖象如圖3所示．下列結(jié)論：①abc<0；②(4a+c)2<(2b)2；③若(x1，y1)和(x2，y2)是拋物線上的兩點，則|x1+1|>|x2+1|時，y1

圖3

A．4 B．3 C．2 D．1

解析:由拋物線圖象開口向上，可得a>0.又對稱軸在y軸左側(cè)，所以a，b同號，即b>0.

由拋物線與y軸交點在x軸下方，得c<0.所以abc<0，故①正確．

(4a+c)2-(2b)2=(4a+c+2b)(4a+c-2b)，當(dāng)x=2時ax2+bx+c=4a+c+2b，由圖象可得4a+c+2b>0，當(dāng)x=-2時，ax2+bx+c=4a+c-2b，由圖象可得4a+c-2b<0，所以(4a+c)2-(2b)2<0即(4a+c)2<(2b)2.故②正確．

|x1+1|=|x1-(-1)|，|x2+1|=|x2-(-1)|.由|x1+1|>|x2+1|及a>0，得y1>y2，故③錯誤．

因為拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1，m)且a>0，所以y≥m，即ax2+bx+c≥m，即拋物線與直線y=m有交點，而m-1位于直線y=m下方，故拋物線與直線y=m-1無交點，方程ax2+bx+c=m-1無實數(shù)根.故④正確.

綜上所述，①②④正確.故選：B．

點評：解答時，有兩個關(guān)鍵點要把握好.一是“ady”法則的理解和運用，這可以準(zhǔn)確判斷結(jié)論③；二是靈活運用函數(shù)的最小值以及數(shù)形結(jié)合思想判斷方程的根，這一點也是很重要的.

3.4 比較函數(shù)值的大小

例4已知二次函數(shù)y=ax2-3ax+c(a<0)的圖象上有三個點(-1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是( ).

A.y2

C.y1

故選：D．

點評：解答時，準(zhǔn)確計算拋物線的對稱軸以及點的橫坐標(biāo)與對稱軸的距離是解答的基礎(chǔ)性條件，熟練掌握“ady”法則是解題的關(guān)鍵．

4 解后反思

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，熟練掌握其性質(zhì)更是學(xué)習(xí)的重點之一，特別是增減性尤其重要.為此，要做到如下三點.

(1)掌握增減性的基本描述方式，這是掌握性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是性質(zhì)變形的根本依據(jù).

(2)靈活掌握創(chuàng)新的“ady法則”，法則與原性質(zhì)對比有兩大優(yōu)點：一是不需要判斷點與對稱軸的位置關(guān)系，不需要分其在對稱軸的左側(cè)還是右側(cè)，避免了解答時易出現(xiàn)的錯誤；二是解決了二次函數(shù)圖象上所有的點的函數(shù)值的大小比較問題，提高了解題效率.

(3)通過性質(zhì)的運用，數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、絕對值思想都得到了充分的展示和應(yīng)用，這也是解題時必須要牢記的.