2022年全國新高考Ⅰ卷數學第18題解析

?江蘇省如東縣掘港高級中學 張必榮

解三角形問題經常與平面幾何、函數與方程、三角函數、平面向量、基本不等式等相關知識交匯與融合，充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的指導思想，是高考數學命題中的一個基本考點，倍受各方關注.

1 真題呈現

2 真題剖析

本題通過兩小題的合理設置，以題設中的三角函數關系式為背景，通過三角恒等變換公式的應用與轉化來求解對應的角的大小；并通過角之間的關系構建，以及正弦定理或平面幾何知識的應用，化邊為角，利用基本不等式來確定對應代數式的最值等.

借助問題的設置，很好地考查邏輯推理、數形結合、數學運算等數學核心素養.破解問題的關鍵在于善于審題，妙用定理(三角形的內角和定理、正弦定理等)，借助公式(誘導公式、三角恒等變換公式等)，采用有效的策略，合理化歸與轉化，優化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解法1：倍角公式法.

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用二倍角公式加以展開，通過兩角和的余弦公式進行變形與轉化，結合條件中角的信息求解即可；利用角之間的關系，綜合正弦定理化邊為角，結合誘導公式與二倍角公式的轉化，利用基本不等式來確定相應的最值.二倍角公式是問題破解的關鍵，同時綜合誘導公式、兩角和與差公式等.

解法2：函數單調性法.

(1)由題意得

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用誘導公式加以同構化處理，利用求導法確定對應三角函數的單調性，進而構建角之間的關系，并利用條件中角的信息來求解；利用角之間的關系，綜合正弦定理化邊為角，結合誘導公式與二倍角公式的轉化，利用基本不等式來確定相應的最值.三角函數關系式的同構并結合函數單調性的判定，合理構建角之間的關系，是破解問題的關鍵.

解法3：半角公式法.

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用半角公式、兩角差的正切公式等加以變形，結合正切函數的單調性，構建角之間的關系，并利用條件中角的信息來求解；而求解三角形的邊所對應的關系式的最值問題，同樣可以利用基本不等式來確定相應的最值問題.半角公式的巧妙應用與轉化，為角之間的關系構建提供更加廣闊的思路.

解法4：平面幾何法.

圖1

點評：根據題設條件中的三角函數關系式，利用三角形的內角和公式加以轉化，通過兩角差的正弦與余弦公式以及二倍角公式加以展開，進而化簡三角關系式，求得對應的角；確定角B的大小以及對應角之間的關系后，要求解三角形的邊所對應的關系式的最值，可以借助平面幾何圖形，引入參數，結合三角函數的定義、勾股定理等，結合幾何直觀轉化，通過關系式的變形與參數的構建，借助基本不等式來確定最值.利用平面幾何法分析與解決一些解三角形的相關問題，更加直觀形象.

4 教學啟示

4.1 思維視角歸納

破解解三角形問題的兩種常見思維視角：

①代數角度.根據題設條件，利用正弦定理或余弦定理等，實現三角形中邊與角之間的巧妙轉化，進而構建關于三角形的角或者邊等元素之間的關系進行分析與求解；利用平面直角坐標系的構建，通過相應的坐標表示來尋找三角形的角或者邊等元素之間的關系來應用.代數角度中，經常還要綜合三角函數、不等式、平面解析幾何等相關知識來分析與處理.

②幾何角度.根據題設條件，作出相應的平面幾何圖形，合理尋找平面幾何圖形中蘊藏的邊或者角等元素之間的幾何關系，通過直角三角形以及平面解析幾何知識等來分析與求解.

4.2 思維能力培養

數學學習不能只注重“刷題”，做題要注重質量，少而精.通過做題掌握數學基礎知識，提升數學思維能力，培養思維的多角度，避免思維定式，做到舉一反三，是我們“促雙減”過程中必須要思考的問題.