找準進階點，挖掘數學本質

孔繁晶

摘 ?要：函數的概念是貫穿數學學科各個學段的重要概念，高中學段的學習必然是前期學習的延續和拓展. 根據學習進階理論，教師結合學生的認知基礎和發展規律，遵循數學概念建立的邏輯性和層次性，逐級搭建適宜學生的“階”，進而實現函數概念的再認識.

關鍵詞：函數的概念;學習進階;概念的再認識

托馬斯指出，函數的概念是近代數學思想之花. 函數的概念是貫穿數學課程的主線，從數學啟蒙到初等數學再延伸至高等數學，從函數的一般性質到常見函數研究再延伸至三角、數列等領域，縱深發散，成為現代數學知識體系中的重要一環，也是學習物理等其他學科的重要基礎和研究工具. 函數概念教學的優化對幫助學生逐步完善數學概念、掌握常用的數學研究方法、形成嚴密的數學邏輯思維具有重要的代表性和示范性.

學習進階理論源于美國科學教育領域，適用于學生在較大的時間跨度內對某一學習主題的認識、理解和實踐，具有從簡單到復雜，從低水平到高水平的發展特征. 近年來，學習進階理論逐步進入數學等學科教學領域.

鑒于“函數的概念”的內容特點，教師可以基于學習進階理論，找準學生的學習進階點，有序引導學生建構，最終實現核心概念有層次地生成. 下面筆者以蘇教版教材為例，就此略談一二.

一、基于學習進階理論的教材與學情分析

1. 教材分析

函數的概念貫穿于數學學科的各個學段，高中學段的學習必然是前期學習的延續，也必將成為下一學段學習的先導. 因此，教師在進行教材分析時，不可割裂知識體系的一貫性，單純考慮當下學段，建議要做到“厘清來路，了解去處”，才能在宏觀處構建函數的概念進階體系，如表1所示.

由此可見，各學段教材對于函數概念的組織與安排是隨著學生認知發展水平的提升而提高的，且螺旋上升. 再重點分析、對比“動態變量研究階段”和“靜態對應研究階段”，初中與高中階段函數的概念呈現特點對比如表2所示.

2. 學情分析

經過初中階段的學習，學生能夠運用運動的觀點認識函數，并且通過對一次函數、二次函數等具體函數的研究建立了較為感性的認識. 到了高中階段，學生又經歷了集合內容的學習，初步形成了集合觀點，熟悉了集合語言. 但“函數的概念”一課具有較高的抽象性，結合學生的認知發展水平來看存在著一定的難度. 具體分析如下.

（1）為何要以集合與對應的觀點重新定義函數？（學習的動因.）

（2）如何以集合語言描述實例中的對應關系，進而抽象出函數概念，探尋數學本質？（學習的核心.）

（3）如何理解初、高中函數概念的關系，是完全不同的定義，還是概念的深化和拓展？（學習的關聯.）

（4）能否運用函數的概念對以多種形式表達的對應進行判斷？（學習的應用.）

以上結合教材和學情提出的關注點正是進階設計的障礙點，教師只有清楚了學生所在的“階”，才能為學生構建更合適的“階”.

二、基于學習進階理論的過程設計

基于學習進階理論的過程設計，應該找準進階的起點，高度重視進階序列的搭建，通過逐級完成和評測，達到進階終點.

1. 復習舊知，回顧初中函數的概念——學習進階的起點

問題1：在初中，我們是如何定義函數的？

師生共同回顧初中函數的定義：在一個變化的過程中有兩個變量x和y，如果對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數.

問題2：我們學習過哪些函數？能舉些例子嗎？

【設計意圖】教師提出問題幫助學生回顧舊知，突出函數“變量說”的要點，即兩個變量、y隨x的變化而變化、每個x對應唯一的y. 通過復習，使學生明確學習的起點. 在這個過程中也可以看出經過初中學習，學生對于函數概念的認識仍停留在具體函數，并依賴于解析式刻畫變量關系，抽象水平較低.

問題3：思考y = 1，x ∈ R是函數嗎？函數關系是不是必須通過解析式來刻畫？

學生爭論不休，一時無法決斷. 教師亦不下結論，鼓勵學生帶著疑問開始本節課的探究.

【設計意圖】認知沖突是學習的源動力. 學生認為，在y = 1，x ∈ R中，y似乎不隨x的變化而變化，按照已知函數定義無法進行準確判斷. 可見初中函數概念存在著無法完成的任務，這就成為我們進一步發展函數概念的原因和動力.“函數關系是不是必須通過解析式來刻畫？”這個問題則指向對函數本質的思考——兩個變量到底是什么樣的關系？并為函數表示方法的學習進行鋪墊.

2. 問題引導，逐級生成函數概念——學習進階的路徑

（1）第一階——實例探究概念.

活動：閱讀三個實例.

實例1：人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據. 從中國統計年鑒中可以查得我國1979—2014年（年末）人口數據資料如表3所示，你能根據該表說出我國人口的變化情況嗎？

實例2：一物體從靜止開始下落，下落的距離y（單位：m）與下落時間x（單位：s）之間近似地滿足關系式[y=4.9x2，] 若一物體下落2 s，你能求出它下落的距離嗎？

實例3：圖1為某市一天24小時內的氣溫變化圖.

【設計意圖】三個實例來源于生活及相關學科，易于引發學生的注意與興趣，同時對應函數的三種表示方法，成為可以一以貫之的案例，有利于體系化的學習.

學生逐個閱讀后，教師引導學生以整體眼光繼續分析.

問題4：上述三個實例中各有幾個變量？你能描述各個實例中變量之間的關系嗎？變量之間能構成函數嗎？

【設計意圖】問題串引導學生對三個實例進行整體思考. 預設學生會以最為熟悉的以解析式刻畫兩個變量關系的實例2入手，實例1和實例3雖然會費一些周折，但可以判斷三例均是函數. 由此拓展了認識：除了解析式，函數的變量關系也可以用表格、圖象來刻畫，并體會所謂的“對應”.

問題5：我們學習了集合這種重要的現代數學語言，能否用集合語言分別描述這三個實例？

學生沉默.

問題6：能否試著將這個問題進行分解？① 用集合語言來描述這兩個變量;② 用集合語言來描述這兩個變量之間的關系.

【設計意圖】教師先拋出大問題，學生無法著手，此時引導學生以集合語言為基礎分解問題、探究結論. 如此設計是為了在注重知識傳授的同時，滲透思想方法的養成.

教師鼓勵學生先從三個實例中選取一個來研究，然后展示交流.

【設計意圖】引導學生建立探究問題的一般路徑：由簡入難，從特殊到一般.

大部分學生選擇實例1，師生共同探究如下.

首先，分別用集合A，B表示年份和對應年份的人口數：

[A=1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014，]

[B=975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368.]

其次，用集合語言描述集合A中元素與集合B中元素的對應關系，如圖2所示.

集合A中的每個年份在集合B中都有一個人口數與之對應.

少部分學生選擇實例2和實例3，研究流程與實例1類似，但在交流中發現：在實例3中，集合A（時間組成）中的元素7和23均對應集合B（溫度組成）中的0，這與實例1有所差別. 說明對應關系可能是一對一，也可能是多對一.

【設計意圖】充分相信學生是開展教學的基本要素. 適時引導后，學生運用集合語言分析三個實例，在其“跳一跳，夠得到”的范疇，發現一對一、多對一的差別，令人驚喜.

（2）第二階——抽象生成概念.

問題7：能用集合語言闡述上述三個實例的共同特點嗎？

預設回答：三個實例都涉及兩個集合，且集合A中的每個[x]在集合B中都有一個[y]與之對應.

問題8：有沒有補充？兩個什么樣的集合？“都有一個”是什么含義？

預設回答：是數構成的集合，不能是空集，“都有一個”指的是“有且只有一個”.

師生共同總結，給出集合視角下的函數概念：給定兩個非空實數集合A，B，如果按照某種對應關系[f，]對于集合A中的每一個實數[x，] 在集合B中都有唯一的實數[y]和它對應，那么就稱[f：] A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作[y=fx，x∈A.] 其中，[x]叫做自變量，集合A叫做函數的定義域. 我們將所有輸出值[y]組成的集合[yy=fx，x∈A]稱為函數的值域.

問題9：能否圈出函數概念中的關鍵詞？

預設回答：兩個非空數集、每一個、唯一、對應.

回應問題3，依據函數新定義可以判斷y = 1，x ∈ R的確是函數，且函數關系除了可以用解析式描述外，還可以通過列表、畫圖描述.

【設計意圖】函數概念的生成是這節課的核心，通過一系列的鋪墊引導，學生從三個實例中歸納共性，抽象概念已經水到渠成，圈畫關鍵詞有利于學生抓住概念核心，突出函數的本質——對應.

問題10：① 怎樣理解符號[y=fx ？]②[fx=x2，][x∈0，+∞]與[ft=t2，t∈0，+∞]表示的是同一個函數嗎？

師生共同探討，明確[fx]是一個整體，是對應關系[f]對[x]的作用，形象理解為將[x]投入加工機器[f]生成產品[y，] 如圖3所示.

例如，[fx=x2-1，] 可以理解為將x投入加工機器[f，] 進行“先平方，再減1”的運算，最終輸出結果[y.] 不同的機器[f]對放入的[x]進行不同的加工處理，而對于同一機器[f，] 放入不同的[x]也會生成不同的[y.] 至此，問題10的第②問迎刃而解，并明確函數三要素的從屬關系.

【設計意圖】函數概念的生成、符號[fx]的引入凸顯了數學的抽象特征，既是重點，也是難點. 為了幫助學生深刻理解，借用機器加工的形象比喻，化抽象為形象，揭示函數的本質.

（3）第三階——借史深化概念.

師：同學們，回顧我們構建函數概念的過程實在是漫長且不易. 而縱觀數學發展史，函數概念則歷經了300多年的變遷. 下面我們一起來了解一下函數的前世今生.

變量說：1718年，約翰·貝努利給出函數定義：一個變量的函數是由該變量和一些常數以任何方式組成的量. 但僅僅局限于代數式. 1748年，歐拉首次提出用“解析式”定義函數：變量的函數是一個解析表達式，它是這個變量和一些常量以任何方式組成的所謂解析式，它是通過算數運算、三角運算及指數運算連接變量和常量的分子. 這里打破了代數式的局限. 1755年，歐拉再次定義函數：如果一些變量以這樣一種方式依賴于另一些變量，當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數. 與現代定義很接近，破除了用解析式表達函數的局限性，畫在坐標系上的曲線也叫做函數.

對應說：1823年，柯西給出定義：對于[x]的每一個值，如果[y]有完全確定的值與之對應，則[y]叫[x]的函數. 破除了用解析式表達函數的局限性，避免了“變化”，提出了“對應”. 1837年，狄利克雷進一步定義：對于在某一區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的函數. 這是公認的函數經典定義. 黎曼加強定義：若對于x的每一個值，有完全確定的y值與之對應，不管建立起這種對應方式如何，都稱y叫x的函數. 強調函數概念的本質是“對應”.

對應說→關系說：19世紀末，康托創立集合論，成為現代數學的基礎，體現了現代數學的思想. 一系列的現代數學概念都建立在集合論之上，函數的概念也不例外. 20世紀初，維布倫提出用“集合”和“對應”給出函數定義，通過集合語言描述函數的對應關系、定義域及值域之間的關系，且打破了“變量是數”的極限. 注意：變量可以是數，也可以是其他對象（點、線、面、體、向量等）.

教師引導學生簡單談一談閱讀感悟.

師：我們不難看出函數概念的形成和發展是不斷被挖掘、豐富、精確的過程. 在這個過程中，無數數學家付出了艱辛的勞動，彰顯了嚴謹、堅毅的數學精神. 追尋他們的足跡，我們對照自己的學習，終于明確：① 初、高中函數定義是遞進的、發展的關系;② 用集合的視角進一步定義函數是因為集合論是研究現代數學的基石，集合語言是現代數學的普適語言;③ 至此，函數概念的發展仍未停歇，今日學習的定義也只是學習過程中的一個站點.

【設計意圖】M.克萊因認為，歷史順序是教學的指南. 學習函數概念的過程與函數概念的歷史發展過程基本吻合，而函數發展史上的困惑也與學生學習中的困惑基本吻合. 因此，將概念發展的歷史融入課堂，可以幫助學生理解函數概念發展的必然性，并且在大歷史背景下提升對“集合”“對應”的認識，以突破本節課的難點，并滲透數學精神.

（4）第四階——練習鞏固概念.

練習：試判斷下列對應關系是否是函數.

① 某小組此次數學測試的分數如表4所示.

②[x→y，y2=x，x∈N，y∈R.]

③ 當[x]為有理數時，[x→1;] 當[x]為無理數時，[x→0.]

④ 如圖4.

練習①強化函數是兩個數集之間的對應. 可以補充追問，如何修改使其成為函數？學生指出將缺考記為0即可;練習②以解析式描述對應關系，考查“任一對應唯一”的判斷;練習③為經典的狄利克雷函數，考查函數關鍵屬性的同時，引入分段函數的認識;練習④中蘊含數形結合思想，確定y不是關于x的函數. 學生提出換個角度考慮問題，x是關于y的函數也未嘗不可.

【設計意圖】練習題組擴充了教材例題單純以解析式形式刻畫對應關系的辨析，而融入表格、圖象的形式，旨在加強學生對函數對應本質的理解，并為后續學習做鋪墊. 正例與反例的辨析有利于學生鞏固對概念的理解，反例尤其有助于學生加深對函數概念的關鍵特征的認識. 教師需充分發揮學生的主觀能動性，經由熱烈的爭論與交流實現知識的內化.

3. 總結梳理，深化升華函數概念——學習進階的終點

問題11：經歷以上研究，你對于函數的概念有了哪些新的認識和想法？

知識內容層面：歸納抽象得出用集合語言刻畫的函數概念，深挖數學本質，掌握關鍵屬性，運用符號語言，并了解函數概念的發展歷史.

思想方法層面：在生成概念的過程中，感受從具體到抽象、由已知探未知的研究方法，提升學生的抽象能力、數學語言能力等.

數學精神層面：通過概念探索和數學史回顧，體會數學家的堅韌、執著，追求數學理性精神.

【設計意圖】教師鼓勵學生進行全方位的梳理和思考，最終達到學習進階的終點. 這里需要特別注意，設置開放性的總結和思考有助于學生整體審視學習過程，內化、升華學習成果. 需要留給學生足夠的時間，不要讓其流于形式.

三、基于學習進階理論的評估與反思

本節課的教學設計運用了學習進階理論，根據學生的進階起點，以初中函數的概念順應高中函數的概念，引導學生從具體到抽象、從特性到共性，針對概念的生成設置層層遞進的“階”，幫助學生逐級構建并加深集合視角下函數概念的再認識，同時使得學生探究問題的能力得到提升，實現從知識到思維的全面進階. 整體過程如圖5所示.

在這個過程中，學生的主體地位得到了充分彰顯，教師的主導作用也得到了有效體現. 基于學習進階理論的教學嘗試有利于促進數學學科核心素養的落地生根.

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