鋼-玄武巖纖維樹脂混凝土結合面法向接觸剛度數值計算研究

徐 平 徐戍廷 沈佳興,2 于英華

1.遼寧工程技術大學機械工程學院，阜新，1230002.遼寧工程技術大學礦產資源開發利用技術及裝備研究院，阜新，123000

0 引言

近年來，我國航空航天、軌道交通、船舶制造、核電等領域發展迅速，進而要求我國機床設備應具有更優越的加工性能[1-3]。玄武巖纖維樹脂混凝土(basalt fiber polymer concrete，BFPC)材料是一種高阻尼、熱穩定的礦物復合材料，用于制造機床能夠有效提高機床減振抗振性能。經過機械加工的BFPC表面是粗糙的[4-5]，因此結合面的實際接觸面積只是名義接觸面積的一部分[6]，導致機床中不同零部件間接觸表面的接觸剛度等性能明顯區別于實體材料。對于BFPC機床而言，鋼-BFPC結合面的接觸性能對整機性能有重要影響，因此研究BFPC機床結合面接觸剛度等性能具有重要意義。

采用理論分析結合面接觸剛度的核心問題是確定結合面的實際接觸面積，結合面的實際接觸面積的傳統計算方法是通過分形理論計算得到[7-8]，但需要確定最大接觸點的面積，該面積往往難以獲得，給接觸剛度的理論計算帶來困難。為解決這一問題，本文建立了一種基于離散法的實際接觸面積計算方法，并將該方法與結合面接觸剛度理論模型結合，建立了一種新的鋼-BFPC結合面接觸剛度計算方法。

1 鋼-BFPC結合面實際接觸面積計算

1.1 BFPC試件制造及參數獲取

采用實驗法獲取BFPC材料參數及結合面拓片。玄武巖纖維樹脂混凝土是由膠黏劑、骨料、填料以及玄武巖纖維組成。本文所選用的膠黏劑為環氧樹脂E44和E51，二者比例為40∶60；骨料為玄武巖碎石骨料，其中骨料顆粒按照粒徑大小分為五個等級，玄武巖骨料粒徑分別為0.55～0.85 mm、0.85～1.2 mm、1.2～2.5 mm、2.5～5 mm、5～10 mm，質量比分別為7%、10%、20%、56.7%、6.3%；填料為粉煤灰；固化劑為T-31；增韌劑為鄰苯二甲酸二丁脂；玄武巖纖維直徑為0.015 mm。BFPC的最佳質量配比為：玄武巖礦物骨料80%、粉煤灰填料9%、環氧樹脂6.5%、增韌劑1.5%、固化劑2.6%、玄武巖纖維0.4%[8]。采用澆筑的方法制造實驗試件，試件為100 mm×100 mm×100 mm的立方體，如圖1所示。在BFPC試件的接觸表面采用車削的方式進行機械加工，經過機械加工的BFPC表面是粗糙的，如圖2所示。

圖1 BFPC試件

圖2 粗糙表面

采用粗糙度測試儀測得試件表面的粗糙度為6.3 μm。將實驗試件的機械加工表面涂覆上一層涂料，再通過YAM-2000C微機控制電液伺服壓力機分別施加0.2 MPa、0.4 MPa、0.6 MPa、0.8 MPa和1.0 MPa的壓力，并保留涂料印記拓片，如圖3所示。利用ANS-CMT5205微機控制電子萬能試驗機以及配備的延伸儀器進行軸向壓縮試驗，將試件水平放置到液壓機的載物臺上，調整好其位置，設置液壓機的活動壓頭以0.5 mm/min的加載速度進行加載，與試驗機連接的電腦就可直接測得BFPC材料的抗壓基本參數，壓縮試驗如圖4所示，鋼、BFPC材料基本參數如表1所示。

圖3 預載荷為0.8 MPa時BFPC結合面拓片

圖4 軸向壓縮試驗

表1 材料參數

1.2 實際接觸面積的離散數值法計算

基于結合面的印記拓片，采用離散法計算實際接觸面積。該方法是將鋼-BFPC接觸面積的問題轉化為離散單元類型判斷問題[9]。假設目標區域面積共有N2個離散單元，名義接觸面積為An，每個離散單元面積為(Δx)2。如圖5a所示，離散接觸點分為兩類：內接觸點Ni，該點上、下、左、右相鄰點均為接觸點；邊界接觸點Nb，該點上、下、左、右相鄰點存在非接觸點;其中接觸點的數量Na等于內接觸點的數量Ni與邊界接觸點的數量Nb之和。對于數值法，一般認為N→∞時，計算精度最高。假設離散單元數量N2趨于無窮大，則實際接觸面積Ar與名義接觸面積An之比為

(1)

即

式中，β為接觸邊界修正系數，0<β<1。

離散單元的接觸邊界周長ld=MΔx與邊界接觸點的數量直接相關，其中M是在水平或豎直方向與接觸區域相鄰的白色格點的邊的數量；Δx為離散單元的邊長。離散化處理時，為提高計算精度，應將接觸區域和非接觸區域之間的矩形邊界用光滑曲線邊界代替，如圖5b所示。故接觸邊界周長ld和平滑邊界周長l之間的轉化關系為

(a)離散化處理 (b)曲線轉化

(2)

所以，實際接觸面積與名義接觸面積之比可按下式估算：

(3)

式中，Aa為離散化后的接觸面積。

1.3 接觸邊界修正系數

對于過渡接觸區，假設接觸分割線將單個離散單元劃分為非接觸區和接觸區，如圖6所示，圖中白色區域為非接觸區，陰影區域為接觸區，A為接觸單元內接觸面積；t為接觸分割線與單元下邊線交點到單元格角點的距離；θ為接觸分割線與單元邊的夾角。有t∈[0,Δx]，θ∈[0,π]；且假設t與θ均為均勻分布。綜上可得

圖6 離散單元接觸面積

A=

(4)

A(t,θ)函數結果如圖7所示，因t與θ均為均勻分布，可以得出針對單個過渡接觸單元，A的積分均值即為β：

圖7 函數彩虹圖

(5)

結合式(3)可以進一步得到

Ar≈Aa-0.1181ldΔx

(6)

根據實驗獲得的結合面拓片，統計出拓片中邊界接觸點面積和內接觸點面積,再根據式(6)計算可得不同面壓下結合面實際接觸面積。

根據式(6)，采用MATLAB軟件結合圖像判別技術，開發適用于三維粗糙面的接觸面積數值分析程序，流程如圖8所示。首先將拓片圖像導入MATLAB中生成圖像矩陣數據，利用程序判別是否為接觸位置、哪種接觸類型，然后對各種類型的接觸點進行統計，最后將數據代入公式求解。

圖8 粗糙面接觸面積數值分析流程圖

分別對接觸區域和非接觸區域的數據點的個數進行統計，經過統計得到在結合面面壓為0.2 MPa、0.4 MPa、0.6 MPa、0.8 MPa和1.0 MPa時的邊界接觸點數量、內接觸點數量以及總的數據點的數量。利用程序計算得到的鋼-BFPC結合面實際接觸面積如表2所示。

表2 數據點數量統計

根據表2繪制出結合面實際接觸面積隨法向載荷增大的變化曲線，如圖9所示。

圖9 實際接觸面積隨法向載荷變化曲線

2 結合面的法向接觸剛度分形模型

研究表明,經機械加工的人造礦物表面微觀輪廓具有分形特征[10],故本節采用分形理論建立粗糙表面的接觸模型。通過對地形學的研究，MANDELBROT[11]發現海洋中島嶼的面積分布符合冪函數規律，即

N′(A′>a′)=(a′)-D/2

(7)

式中,N′(A′>a′)為面積A′大于面積a′的島嶼總數量;D為島嶼海岸線的分維。

假設最大接觸點的面積為al，數量為1，代入式(7)中,有

(8)

因此接觸點的面積分布密度為

(9)

臨界接觸面積為

(10)

k=H/σyφ=σy/E

式中,H為較軟材料的硬度，本文中即BFPC材料的硬度，H=45 MPa；σy為BFPC材料的屈服強度；E為復合彈性模量[12]；G為特征長度尺度參數。

當BFPC和金屬形成結合面時，可以視作粗糙表面和剛性平滑表面相接觸，如圖10a所示。對于粗糙表面上的單個微凸體，可以將其近似等效為球體，等效曲率半徑為R。當球體在法向載荷作用下與剛性平滑平面保持接觸時，將產生法向接觸變形δ，接觸狀態如圖10b所示[13]。

(a)接觸示意圖(b)微凸體接觸狀態

若接觸區域半徑為r，則有

(11)

(12)

(13)

式中，p′為微凸體上的法向載荷；δ為法向接觸變形；E1、E2和ν1、ν2分別為鋼和BFPC材料的彈性模量和泊松比。

根據式(11)和式(12)，單個微凸體與平面接觸的法向接觸剛度kn可以由下式表示：

kn=2Er

(14)

由于接觸區域的接觸面積a可以表示為

永磁同步電機矢量控制實驗系統調試及故障分 析 ………………………………………… 徐 婷，戴 怡（27）

a=πr2

(15)

于是有

(16)

假設粗糙表面上各微凸體之間的相互作用忽略不計[14]，則結合面法向接觸剛度可由下式計算：

(17)

將式(16)、式(9)代入式(17)得

(18)

整理得

(19)

(20)

對圖2所示的實驗試件利用圖11所示NANOVEAP550非接觸式三維表面形貌測試儀觀測表面形貌，得到粗糙表面的分形參數D=1.169，G=2.78×10-13。

圖11 微觀形貌數據采集實驗現場圖

表3 法向接觸剛度理論計算

3 實驗驗證

本實驗通過測定鋼-BFPC結合面固有頻率來推導出結合面剛度。鋼和BFPC試件受到法向載荷作用擠壓形成結合面，如圖12a所示。結合面剛度由結合面間相互接觸的微凸體的接觸特性決定，每一組相互接觸的微凸體都可視為一組彈簧阻尼單元，因此鋼-BFPC結合面模型可以表示為圖12b的理論模型。

(a)組件結合面示意圖 (b)等效動力學模型

通過電子秤測得BFPC試件的質量為m1，設BFPC試件自身與地面接觸形成的總剛度為k1；鋼試件的質量為m2，因為鋼試件的剛度遠大于鋼-BFPC結合面的接觸剛度,故忽略鋼試件的剛度，設鋼-BFPC結合面剛度為k2。由機械系統動力學可知，阻尼對系統固有頻率影響較小，因此忽略其影響,將此模型看作兩自由度無阻尼自由振動系統。根據圖12b可得鋼-BFPC試件的振動微分方程:

(21)

式(21)的特征方程為

(22)

k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2

式中，ωn為系統角頻率。

展開此行列式得

(23)

(24)

式中，f為系統頻率；K為系統剛度；m為系統質量。

所以，通過實驗測得式(23)中的ωn、m1、m2后即可求得鋼-BFPC結合面剛度k2。

采用力錘激振系統測試鋼-BFPC結合面的法向接觸剛度，實驗原理如圖13所示。首先通過力錘對鋼試件施加一個法向的脈沖激勵，兩個加速度傳感器分別用于檢測鋼試件和BFPC試件的振動曲線，將加速度傳感器檢測的實時數據傳遞到DH5922N動態信號測試系統中進行記錄，最后在計算機終端對數據進行處理。實驗裝置如圖14所示。應用錘擊法對試件進行激振,當結合面的面壓為0.4 MPa時組件的模態響應測試結果如圖15所示。

圖13 實驗原理示意圖

圖14 結合面實驗實物圖

圖15 預載為0.4 MPa時的振動曲線

根據實驗測得的數據利用MATLAB軟件求解式(23),得到鋼-BFPC結合面剛度k2，然后通過實驗測得不同面壓時的振動曲線，再通過同樣方法計算不同面壓時的鋼-BFPC結合面剛度，結果見表4。根據式(20)中理論計算的量綱一結合面法向接觸剛度與有量綱接觸剛度的關系，推導出有量綱的理論法向接觸剛度，結果見表4。因為二者皆為同單位制下的剛度所以具有可比性，對比得到圖16所示的法向接觸剛度與接觸載荷之間的關系。

表4 結合面法向接觸剛度實驗數據

圖16 預載荷對結合面剛度的影響規律

由表4和圖16可以發現，結合面法向接觸剛度隨著預載荷的增大而增大。這是因為隨著法向載荷的增大，結合面間的實際彈性接觸面積增大。理論值和實驗值之間的誤差來源主要有兩點：①在獲得結合面拓片的過程中，由于人為因素與環境因素的干擾，導致獲取的拓片不準確，比實際的接觸面積小；②在對試件施加預載荷時，預載荷的大小存在一定誤差，導致獲取的拓片不能很好地反映實際接觸面積。通過理論計算和實驗得到的不同預載荷下鋼-BFPC結合面剛度的相對誤差均小于6.0%。

4 結論

(1)提出了一種計算結合面實際接觸面積的新方法，并通過MATLAB軟件與粗糙面三維數據開發了適用于三維粗糙表面的接觸面積數值分析程序，計算得到在結合面面壓為0.2 MPa、0.4 MPa、0.6 MPa、0.8 MPa和1.0 MPa時鋼-BFPC結合面的實際接觸面積分別為471.21、562.13、738.15、912.28、970.73 mm2。

(2)將實際接觸面積計算方法與結合面分形接觸剛度理論結合，得到新的結合面接觸剛度計算模型，并通過實驗檢驗理論結果，得到實驗和理論兩種方法的相對誤差均小于6.0%，證明了該計算方法的正確性和有效性。