以探索性思維導學培養學生的有“度”思維
——以高三數列二輪復習課為例

馬喜君, 趙琴學

(1.元濟高級中學,浙江 海鹽 321004;2.海鹽高級中學，浙江 海鹽 321004)

縱觀歷年的浙江省數學高考試題，具有新穎、靈活、概念的理解性強、重本質等特點，對學生核心素養的要求很高，因此對高三課堂的教學提出了重概念、重本質、重思維、重素養的高要求.高三二輪復習講究的是高效、精準，優策略，抓本質.如果二輪復習僅僅以基本知識、方法為線索，穿插例題分析的固定微專題模式，也許能比較系統地解決一類問題，但是缺乏對學生的自主思維、數學學科素養的培養，也就是如果遇到新穎、靈活、概念性強的題目，學生缺乏自主思考、分析的能力，很難找到解題的突破口.因此高三二輪復習是要突破固定的課堂教學方式，采取在教師思維導學的指引下以培養學生有“度”思維為目的的學生自主探究型課堂教學.下面以高三數列二輪復習課為例，對探索性思維導學在課堂教學中培養學生思維廣度、思維角度、思維深度、思維高度這4個角度進行初步探究.

1 框圖式知識網絡梳理，拓展學生的思維廣度

大單元中知識框架就如人體的骨骼，是支撐整個知識模塊的核心知識，為學生設計知識與方法相結合的思維導圖，為學生構建完整、系統的知識網絡，從整體上把握基礎知識及技能，為進一步探究高精尖的問題打好基礎.框圖式知識網絡具有直觀性、系統性等特征，有助于學生明確該知識模塊需要掌握的知識技能的同時，還能清楚地了解該知識點可以解決的問題類型、處理方式與方法等.

例如對于求和可分為三大方向：通項公式可知型、通項公式未知需放縮型、數學歸納型.數列求和的知識網絡可以梳理如下：

圖1

熟悉了以上的知識網絡，學生遇到求和便可以從頭腦中搜索出主要的解決策略，同時能分辨出各種不同方法適用的條件以及限用的要求等，可以快速地制定出解題路徑，很大程度上避免“雷區”，節約時間，優化解題過程.因此通過對框圖式知識網絡的梳理，可以拓展學生的思維廣度、思維面，讓知識有聯系地形成記憶進行存檔，便于“搜索”.對于交匯知識的梳理將知識網絡模塊化、個性化的同時更趨于聯系化、整體化，有效地幫助學生應對綜合性問題的考查.

2 探索性問題導學引領，開拓學生的思維角度

傳統的二輪復習課以解決一個專題為主，是一種完全按照劇本演練的實踐操作，并不能滿足對學生核心素養的培養要求，因此需要改善這種固化的教學方式，在二輪復習課中按照制定好的教學目標，教師要敢于以問題做引導，鼓勵學生自主探究研究方向，在不斷完善和進階的研究過程中，從本質上考查學生對知識的理解，同時開闊學生的思維角度，將邏輯推理、數學運算、數據分析等素養落實到位.

2.1 開放性問題，引導學生發散思維

我們所碰到的問題基本都是完整的題干、固定的條件、明確的求解，即使解法是多樣化的，思維也都是被框死在一個區域內的，因此一題只能解決一個或一類，最多是一個區塊的問題，并不能真正達到觸類旁通的效果.解決問題若缺少思維的可變性、多樣性，則會影響學生對所學知識和思想方法的理解和掌握，學習效率大打折扣，因此我們要以開放性問題作為引導學生思維的驅動力，放飛禁錮的思想，這樣往往會得到意想不到的收獲.

探究1若{bn}為等比數列，b1=1，公比q>0，且b1+b2=6b3，你能提出什么問題？先想一想，然后與同伴交流.

生2：還可以求前n項積的最值以及此時n的取值.

師：如果將題中的條件“公比q>0”改為“公比q<0”，那么我們還可以研究其他什么問題呢？

生3：如果b1=1，q<0，那么該數列為擺動數列，我們可以根據數列的圖像研究數列的收斂情況.

生4：可以求{cn}的通項公式和前n項和.

生5:要求{cn}的通項公式，還需要知道c1的值，不妨設c1=1，則可求得cn=4n-1.

當特殊數列的基本量確定之后，數列便是確定的，可以多角度去研究此數列，可以增添不同的條件，從而達到不同的考查效果.

2.2 結構不良性問題，引領學生理解本質

2020年山東省數學高考卷出現了結構不良試題，這引起了各方重視.結構不良試題具有界定不明確、結構不完整、邏輯斷層等特征，是一個考查學生發散性思維的有效平臺，是一種考查學生靈活變通能力和知識遷移能力的高效方式，也是一種能較好地評價學生核心素養的新題型.教師如果平時在課堂教學中重視結構不良問題的設置，讓學生通過對已有條件和所求解結果的運算、推理、反思、聯想等活動，預設解決問題需要增加的條件，這就需要理解問題的本質，才可能得到多種條件，產生多種解題方法和途徑.

生6：若{bn}是常數列，則{cn}是等比數列，便可以用累加法求出{an}的通項公式.

生7：若{bn}是等比數列，則{cn}也是等比數列，同理也可以用累加法求出{an}的通項公式.

生8：若{bn}是等差數列，則可以用累乘法求出{cn}的通項公式，還可以用累加法求出{an}的通項公式.

生9：其實無論{bn}是什么數列，只要它的每一項都是非零實數，都可以用累乘法求出{cn}的通項公式，再用累加法求出{an}的通項公式.

……

由此可見，教師借助結構不良試題，引領學生分析、推理、聯想以及進行同伴間的合作、互助，從而產生多維度的思考空間，開拓了思維角度，拓展了思維廣度，還能從本源出發，理解題目背景以及考查的知識點，讓本來不明確的開放性問題，為學生展示出一種豁然開朗的境界.這種思維的訓練，遠比灌輸式的知識方法教學高效得多.

3 類比型變式教學探究，挖掘學生的思維深度

變式教學是學科教學中培養學生高階思維能力的重要路徑.變式的有效設計與運用能促進深度學習的開展[1].類比型變式主要分兩種類型，即同構型(題目條件、結論等結構類似型)變式和同源型(數學本質相類似型)變式.通過類比型變式的教學，逐步引導學生探究問題的本源，挖掘思維的深度，以此培養學生對數學的理解能力、探究能力、應用能力，落實學生邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養.

3.1 同構型變式，深化知識縱向發展

同構型變式一般從改變、優化條件或結果入手，通過對比分析，挖掘并便于學生理解知識本質，從而達到深度教學的效果.

探究4在探究3的基礎上，如何更改已知條件，求數列{an}的通項公式？

……

師：根據這幾位同學的思路分為4個小組，請大家商量一下，看看如何賦予數列條件，使得題目能完整、正確地求解？

學生參與同構變形，有助于他們對知識點的進階理解.同構變形不僅能系統地掌握累加法、累乘法的含義及其具體運算過程，而且還能通過推理得出各種變式下符合題意的適用條件，以高階的思維角度認識累加法、累乘法，加強學生對知識的本源理解，深化對知識的認知.

3.2 同源型變式，加強知識橫向聯系

波利亞說過：“教師的首要職責之一是不要給學生以下錯覺，即數學題目之間很少有聯系，和任何其他事物則完全沒有什么聯系.”[2]同源型變式是指數學本質一致或類似的變式.通過同源型變式的探究分析，可以幫助學生通過對比不同的條件、不同的知識點，撥開題目本身的“偽裝”，更清楚地尋找到相同或相類似的數學本質，找到相同本源下各知識點之間千絲萬縷的聯系，使知識交匯點在知識網絡中擴大其交匯的作用，以提高學生數學綜合運用技能和素養.

此類同源型，基于同源題根、目標精度不等提升的進階變式，可以提升學生自主辨析思維的能力，結合數列求和放縮的特點，理性把握放縮的“跨度”與“起點”，達到思維進階、挖掘深度的目的.

1)若{bn}為等比數列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及數列{an}的通項公式；

(2020年浙江省數學高考試題第20題)

變式3已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3,a5的等差中項，數列{bn}滿足b1=1，數列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n.

1)求q的值；

2)求數列{bn}的通項公式.

(2018年浙江省數學高考試題第20題)

看似完全沒關系的兩道題，其本質都是求通項公式，而它們呈現的形式是完全不同的.探究6是借助累加法、累乘法實現了3個數列之間的關聯，而互相鉗制的嵌套關聯使題目變得錯綜復雜，如果沒有發現其本質特征，那么就無法理清思路，很難找到解題的突破口.變式3的本質有很大的隱蔽性，要突破已知Sn求an、累加法、錯位相減法等重重障礙，才能看清目標，在有限的解題時間內，如何做到迅速理清思路，設計運算策略，這就需要教師平時對學生進行本源型變式的訓練，讓學生通過揭示數學的本質尋找它們之間的共通點以及區別，提高學生邏輯推理以及數學抽象能力.

4 回歸性數學本質提煉，提升學生的思維高度

在課堂小結時，通過問題式思維導學的探究，學生不僅掌握了特殊數列——等差、等比數列的基本量求解，通項公式的求解方法以及前n項和的求解方法等基礎知識，而且學生通過自主探究各種通項公式的求解方法、前n項和的求解方法所適用的特征與要求以及通項公式與前n項和的關聯，站在數學本質的高度，歸納提煉知識，提高了學生的思維高度.從根源上尋找解題方向，讓考題千變萬化，讓學生擁有以不變應萬變的思維高度，從而讓素養教育真正落地.

5 綜合性問題導學突破，推進學生“四度”進階

對學生數學學科素養的評價，落腳于對綜合問題的處理，挖掘數學本質，看透數學背景，在數學學科核心素養的頂層設計下，研究解題策略、總結方法、歸納思辨，養成思維的生產、辨析、歸納、延伸，用合理的數學方法突破問題.

( )

(2021年浙江省數學高考試題第10題)

故

可知

從而

即

于是

故

因此

從而

于是

數學教學是數學思維活動的教學.在教師探索性思維導學的指引下，基于問題、有效設計、動態生成，在師生與生生對話、思考、討論、質疑、共鳴中，實現“以生為本”的思辨、歸納、拓展、延伸的思維進階，引領學生拓展思維廣度、開拓思維角度、挖掘思維深度、提升思維高度，即進行有“度”思維，激發學生的探索能力，提升學生的思辨能力，培育學生的數學核心素養[3].