基于高保真度目標函數的直齒圓柱齒輪優化設計

盛文達，李顯培，林濤，任宜青，張瑋，孫夢

基于高保真度目標函數的直齒圓柱齒輪優化設計

盛文達，李顯培，林濤，任宜青，張瑋，孫夢

（長安大學 工程機械學院，陜西 西安 710048）

在使用遺傳算法對直齒圓柱齒輪進行優化設計計算時，通常采用近似模型替代齒輪模型建立目標函數，但經數次迭代計算后，誤差被放大，會影響全局尋優的準確性。本文提出一種建立高保真度目標函數數學模型的方法，用于保證遺傳算法全局尋優的準確，不僅考慮腹板、減重孔和軸質量的基礎上增加考慮齒輪傳動中大小齒輪齒寬不等、齒輪軸長度、頂隙、鍵槽等因素，還引入齒頂高、齒根高、鍵槽長寬、修正系數等參數。在設計材料數據相同條件下，相比傳統優化設計，使用本文提出的高保真度目標函數進行遺傳算法優化計算得出的優化結論在重量上減輕了11.67%，且經過ANSYS分析校核，該優化設計結論模型滿足設計要求。

高保真度；優化設計；直齒圓柱齒輪；目標函數

在齒輪的設計過程中，存在著目標函數多、約束條件復雜等特點，因此，齒輪設計在學術研究中備受青睞，推動著齒輪設計生產過程和產品性能的不斷優化[1]。

結合運動學、強度設計、計算機技術等，采用迭代方法對齒輪設計參數進行優化設計，在兼顧設計參數的同時，還能縮短設計周期[2]。還有學者通過開發軟件、算法優化和增加約束條件等方式求解直齒圓柱齒輪系設計系數的最優組合問題，從而對直齒圓柱齒輪進行優化設計[3-4]；R.C.Sanghvi等[5]利用多目標優化技術（NSGA-II）以面寬、模量和齒數為設計變量對二級斜齒輪傳動進行了優化，通過帕累托最優（Pareto Optimality）兼顧體積和負載能力達到雙目標最優設計；任建華等[6]利用Matlab優化工具箱進行優化設計，通過選取設計參數、構建目標函數、確定約束條件，驗證優化工具箱對于齒輪優化的可行性；陳強等[7]通過Matlab軟件對二級斜齒輪減速器進行中心距、總重量、螺旋角的多目標優化設計，通過歸一化處理、分配適當的權值，實現多目標優化設計；Brahim M等[8]提出了基于GA（Genetic Algorithm）和RBF（Radial basis function）的兩級優化方法，將齒輪的最優重量進一步優化。

遺傳算法是一種全局搜索的優化方法，通過選擇、交叉和變異進行優化重組，從而實現全局搜索，得出全局最優解[9-14]。

學者們利用計算機對齒輪進行了優化設計，根據優化設計對象的不同，可分為：一級、二級圓柱齒輪和斜齒輪、圓錐齒輪、齒輪箱、齒輪系、減速器等[15-29]。

同類型齒輪的應用場所不同，則優化設計時所選目標函數也不盡相同。近年來，由于高性能動力傳輸（如汽車、航空航天等）的廣泛應用，齒輪傳動的最小重量設計問題成為了研究熱題，在材料不變的前提下轉化為體積優化問題，最終體現在目標函數的建立上，目標函數模型對于齒輪物理模型的保真度，決定了優化結論的準確性。傳統優化設計往往采用近似模型替代齒輪模型建立目標函數，通過迭代計算后誤差被放大，最終影響優化結論。為了使優化結論數據與物理測試數據達到相當的精度水平，數學模型也應盡可能地接近真實物理模型。因此本文對比傳統優化設計，建立直齒圓柱齒輪重量優化的高保真度目標函數，通過Matlab遺傳算法進行迭代優化計算，得出優化設計結論。

1 直齒圓柱齒輪及傳統優化設計

直齒圓柱齒輪是工業上廣泛應用的功率傳遞機械裝置，其嚙合如圖1所示，其中：腹板減重孔數量＝6，0≈1.62，I＝2.5（為模數），3＝2－2I－2h（h為齒根高系數），2＝1（為傳動比），b＝3.5，d＝0.25(3－0)，1＝1。

b1、b2為小齒輪、大齒輪齒寬，mm；bw為腹板厚度，mm；d0為大齒輪輪轂直徑，mm；d1、d2為小齒輪軸、大齒輪軸直徑，mm；Iw為輪緣厚度，mm；D1、D2為小齒輪、大齒輪分度圓直徑，mm；D3為大齒輪邊緣內徑，mm；dp為減重孔直徑，mm。

傳統優化設計在建立目標函數時，選取模數（按標準模數系列選取）、小齒輪齒數1（整數型）、小齒輪齒寬1（浮點型）、小齒輪分度圓直徑1、大齒輪分度圓直徑2五個參數作為設計計算變量參數。目標函數的建立主要分為兩大類：第一類是以分度圓為底、齒寬為高的圓柱體模型建立目標函數，第二類則考慮大齒輪腹板和減重孔而建立的目標函數。

Yokota等[14]建立的齒輪重量目標函數表達式如式（1）所示；Brahim M等[8]建立的齒輪重量目標函數表達式為如式（2）所示。

式中：為齒輪密度，g/cm3；為齒寬，mm；為傳動比；D為輪轂內徑，mm；0、1分別為凸臺外徑、凸臺長度，mm；gear、shaft分別為齒輪、軸密度，g/cm3；為大、小齒輪軸的軸長，mm。

式（1）、式（2）中目標函數數學模型的建立為第二種類型，雖然優于第一類，如張少軍[30]以大小齒輪分度圓柱體積之和為目標函數的數學模型，但存在以下問題：

（1）大小齒輪齒寬統一取值為，未考慮實際情況中為保證裝配精度、防止齒輪傳動中扭矩的傳遞能力降低，可能發生的齒輪接觸面積減小、齒輪磨損不均勻、齒輪發生異響等狀況。通常選取小齒輪齒寬1比大齒輪齒寬2多5～10 mm，即1＝2＋（5～10） mm。

（2）未考慮由于齒頂高系數與齒根高系數取值不同而導致的頂隙存在，與實際情況不符。可將頂隙所占重量引入目標函數中，增大目標函數的精確度。

（3）未考慮齒輪與軸連接處鍵槽的存在。通過引入齒輪輪轂處鍵槽的重量，也能增加目標函數數學模型的精度。

（4）大小齒輪的軸長統一取值為，與實際設計情況不符。齒輪軸大多為階梯軸，其軸長的取值是由裝配齒輪的齒寬決定的，在齒輪的設計過程中屬于未知參數，不影響齒輪的設計計算，因此不應考慮該齒輪軸段重量。

2 高保真度目標函數的建立

本文建立了一種對于齒輪物理模型具有高保真度的目標函數數學模型，用于保證目標函數的保真度對于迭代遺傳算法全局尋優的準確性。在目標函數數學模型構建中考慮到齒輪嚙合傳動過程中大小齒輪齒寬不同、頂隙、鍵槽等因素，引入齒頂高、齒根高、鍵槽長寬、腹板減重孔、修正系數等參數進行構建。

結合傳統目標函數及其新增因素，建立高保真度目標函數數學模型如式（3）所示：

式中：1、2分別為小齒輪、大齒輪的齒寬，mm，其中1＝2＋5 mm；1、2分別為小齒輪、大齒輪的齒數。

以重量最小為目標函數進行優化設計時須考慮以下條件：

（1）大小齒輪的齒根彎曲強度＜許用彎曲強度，即：

（2）大、小齒輪間的接觸應力＜許用接觸應力，即：

（3）大、小齒輪輪轂的抗扭強度＜許用扭轉切應力，因為大小齒輪輪轂半徑不同，因此需要分開計算，即：

式中：τ、[τ]分別為扭轉切應力、許用扭轉切應力，MPa；、1分別為齒輪傳動功率、小齒輪轉速，r/min。

選擇齒輪材料17Cr2Ni2Mo，其密度齒輪＝7.8 g/cm3，彈性模量＝210 GPa，泊松比＝0.28，許用彎曲應力σ＝224.16 MPa，許用接觸應力σ＝766.77 MPa。

結合齒輪材料和設計參數，查設計手冊取K＝1、K＝1、K＝1.0、K＝1.34、Y＝2.65、Y＝1.58、ε＝1.711、K＝1.421、Z＝2.5、Z＝189.8。

3 基于遺傳算法的齒輪優化設計方法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是基于分析模型的低成本計算方法，用一個有限固定長度的二進制字符串表示每一個單獨的解決方案（染色體，即直齒圓柱齒輪中1、1、2、1、），然后通過計算適應度值（即目標函數計算值取倒數）來評估每個單獨的解（對比適應度值的大小）。

遺傳算法結合直齒圓柱齒輪優化計算流程如圖2所示。

圖2 直齒圓柱齒輪遺傳優化計算流程圖

遺傳算法在每一個親代生成子代的過程中，遵循自然選擇中選擇、交叉、變異的規則，能夠保留優良組合、產生新的數據、增加子代多樣性。本文將交叉率選為0.6、變異率選為0.1進行迭代計算，各參數變量在不斷迭代中逐步趨近于最優解，根據Yokota等[14]和Brahim M等[8]使用參數和多次試驗結合考慮，在本文中選擇初始種群大小為250、迭代次數選擇為500。且對變量參數1、1、2、1、限定取值范圍為：25≤1≤40、20≤1≤40、20≤2≤40、18≤1≤25、＝（2.5, 2.75, 3, 3.5, 4）。

4 基于高保真度目標函數的齒輪優化計算及強度校核

4.1 優化計算結果

結合文獻[8]，本文設置初始設計條件為：傳動比＝4，齒輪傳遞功率＝7500 W，1＝35 mm，1＝23 mm，2＝26 mm，1＝22，＝2.5，輪轉動速度1＝1500 r/min，設計中心距＝140 mm。結合本文的目標函數、約束條件和初始設計參數，利用遺傳算法進行直齒圓柱齒輪迭代優化計算，得出優化數據結論，如表1所示。通過比較，在同參數條件下，本文優化數據的最優解相較于文獻[8]在重量上優化了11.67%。

表1 優化結論數據

根據優化結論數據，結合實際加工情況，進行相應的圓整處理，最終得到參數取值為：1＝35 mm，1＝23 mm，2＝26 mm，1＝22，＝2.5。

4.2 強度校核

利用SolidWorks進行三維建模，然后導入ANSYS進行有限元分析，以驗證由該方法優化計算得出的齒輪在使用強度上是否滿足實際需求。首先用網格劃分單元對模型進行網格劃分，劃分出輪齒嚙合單元、輪轂受力單元和腹板部位單元，劃分后的模型如圖3所示，并對輪齒接觸部分做網格細分，以增加輪齒接觸部分有限元分析精度和準確度，如圖4所示。

圖3 齒輪嚙合網格劃分

圖4 輪齒接觸部位網格劃分

根據設計初始條件及齒輪參數、計算載荷加載進行有限元分析，得出齒輪接觸部位和大齒輪輪轂處兩個敏感部位受力如圖5、圖6所示，以及齒輪嚙合傳動過程變形和輪齒處變形如圖7、圖8所示。

由ANSYS分析結果可知，由該目標函數進行遺傳算法迭代優化設計計算得出的齒輪能夠滿足承載量需求，且在重載情況下的變形量在可接受范圍內，因此該齒輪滿足使用需求。

圖5 輪齒接觸部位von Mises stress

圖6 大齒輪輪轂處受力分析

圖8 輪齒接觸部位變形

5 結論

本文總結前人進行計算機齒輪優化設計計算實例，針對傳統目標函數建立過程中由近似模型替代齒輪物理模型的不足，提出一種建立高保真度目標函數的方法。通過對目標函數的改進，使得目標函數的數學模型貼近于實際齒輪嚙合傳動物理模型，結合計算機優化設計計算迭代尋優的特性，這一方案的優勢得以發揮。

對比兩個優化結論數據可知，本文通過改進目標函數，即提高目標函數的數學模型對于齒輪嚙合傳動物理模型的保真度，在遺傳算法優勝劣汰的角逐方式下，影響迭代過程中每一個子代的選擇，最終得出最優解的設計參數組合。試驗證明，改進目標函數對于迭代尋優的影響是存在且明顯的，目標函數對于物理模型的保真度能夠影響全局尋優的準確性。由實例驗證，相同初始設計參數，在滿足約束條件和使用條件下，重量相比傳統優化計算數據減輕約11.67%。通過利用遺傳算法對齒輪嚙合傳動重量優化設計可知，遺傳算法能夠很好地應用于多參數的優化問題上，找尋全局最優解。但在使用過程中，最優解的準確度也受目標函數數學模型保真度的影響，因此應注意使用精確的數學模型以提高遺傳算法結論的準確性。

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Optimal Design of Spur Gear Based on High Fidelity Objective Function

SHENG Wenda，LI Xianpei，LIN Tao，REN Yiqing，ZHANG Wei，SUN Meng

( School of Construction Machinery, Chang'an University, Xi'an710048, China )

When domestic and foreign scholars use genetic algorithm to optimize the design and calculation of spur gear, the approximate model is usually used to replace the gear model to establish the objective function, and after several iterative calculations, the error is magnified, which affects the accuracy of global optimization. Therefore, a mathematical model of high fidelity objective function is proposed in this paper to ensure the accuracy of the global optimization of genetic algorithm. When establishing the mathematical model of objective function, on the basis of the traditional practice that only the web, weight loss hole and shaft mass are concerned, factors such as the difference of tooth width of big and small gears in gear transmission, the length of gear shaft, top clearance and keyway are added into the model. Parameters such as tooth tip height, tooth root height, length and width of keyway and correction coefficient are introduced to construct the high fidelity objective function. With the same initial design parameters and design material data, compared with the traditional optimization design, the optimization conclusion obtained by using the high-fidelity objective function proposed in this paper for genetic algorithm optimization calculation reduces the weight by 11.67%, and the ANSYS analysis and verification shows that the model of the optimization design meets the design requirements.

high fidelity；optimization design；spur gear；objective function

TH132.417

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2022.03.008

1006-0316 (2022) 03-0046-07

2021-10-29

盛文達（1995－），男，安徽阜陽人，碩士研究生，主要研究方向為機電液一體化、機械傳動控制，E-mail：arlenlxp@163.com。