基于工程理論的模擬地震動研究

畢佳偉 李水龍

(1、中國地震局工程力學研究所，黑龍 江哈爾濱 150080 2、中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍 江哈爾濱 150080 3、福建省地震局，福建 福州 350003)

地震是發生較為頻繁的自然災害之一，每年因地震都會造成巨大的傷害和經濟損失。地震發生是隨機且不可預測的，這就給防災減災帶來了極大困難。所以，模擬出與實際地震動與特定場地相符合的地震記錄能減少地震帶來的損害，也對未來可能發生地震時結構或社會提供預防措施。地震動模擬可分為兩大理論體系：一種是基于地震學方法，另一種是基于工程方法[1]。地震學方法又可分為確定性方法、隨機方法和寬頻帶模擬方法，其中應用最為廣泛的是隨機有限斷層法。地震學方法考慮地震動在傳播過程中物理本質，但因地球內部構造以及地震傳播過程中是未知和復雜的，所以地震學方法要利用大量物理參數才能模擬出相應的地震記錄。工程方法把地震動時程記錄看作為隨機過程并且利用以前記錄到的強震記錄，從數學統計關系的角度分析地震動參數與模型參數之間的關系。工程學方法操作簡單，需要的參數少，在實際地震動模擬中應用最為廣泛。工程方法依賴于提出的隨機過程模型，由強度非平穩模型逐步發展到同時具有強度非平穩性和頻率非平穩性的模擬方法，如基于傅里葉譜或功率譜的三角級數法、小波變換法以及小波包變換等。本文以工程法中地震動模擬方法為基礎，介紹了不同發展階段出現的模擬模型，并且對工程上常用的三角級數法進行介紹和研究。

1 工程地震動模擬

在模擬地震動的早期發展階段，僅考慮了真實地震動的強度非平穩特性，即地震動時程記錄從初始階段上升為強震平穩極端，再由平穩階段逐步衰減到0 的過程。隨著相關學科的發展，地震動頻率非平穩性也得到廣泛關注。地震動模擬模型出現考慮不同特性的階段。

1.1 強度非平穩模型

Housner[2]把地震動描述成大小一定在時間上隨機分布的脈沖的疊加，即

1.2 頻率非平穩模型

真實地震記錄在頻率上也存在非平穩特性，Kanai 最早注意到將白噪聲通過線性濾波器可表征地震動的頻率分量的非平穩性。在此基礎上Kanai 提出了現被廣泛使用的金井清譜。

1.3 強度和頻率非平穩模型

隨著人們對于地震動的認識不斷加強，模擬的地震動也都要求同時包含強度和頻率非平穩特性，這也使得人工合成的地震動記錄與真實記錄更為相似。傅里葉變換、小波變換和小波包變換等頻譜表示方法可合成同時具有強度和頻率非平穩性的地震動記錄。對于傅里葉譜和功率譜可通過三角級數法合成地震動記錄，計算公式如下所示：

圖1 顯示了利用三角級數法合成的地震動記錄，可以看出合成的地震動記錄與真實地震動差距很小。分析上述公式可知，三角級數法中只有三個參量：強度包絡函數、幅值譜和相位譜。故若能計算出與實際地震動記錄相似的三個參量即可模擬出同時具有強度和頻率非平穩性的地震動記錄。

圖1 實測地震動和模擬地震動比較

此外，小波變換和小波包變換為新興的頻譜表示方法，相比于傅里葉變換這種只能展示出單一的頻域信息，小波變換和小波包變換能表示頻率隨時間變化的特征，小波變換和小波包變換分別如公式(9)和(10)所示。公式(11)為小波包系數重構過程，相比于三角級數法把地震動看作是非平穩隨機過程，計算得到的僅為近似值，而通過小波系數或小波包系數重構得到的記錄完全等價于實際強震動記錄。圖2 顯示了宮城縣地震中IWTH04 臺站垂直向強震記錄的小波包系數。Spanos[5]利用小波變換并選取諧小波作為母小波，得出地震動時變譜。孔凡[6]通過對地震動進行小波變換，從而估計出非平穩隨機過程的功率譜密度。Yamamoto[7]通過13 個參數表征了小波包系數的分布，再對擬合后的小波包系數重構生成模擬地震動記錄。結合以往學者們的研究可以得出：小波變換用于估計地震記錄的時變功率譜密度，而小波包變換則直接用于模擬地震動。然而，小波變換或小波包變換產生的小波包系數難以匹配合適的模型對其擬合。所以在實際工程中多用三角級數法合成地震動。

圖2 實測地震動和模擬地震動比較

2 相位差譜概述

在三角級數法中，相位譜表現了地震動在傳播過程中頻率分量的變化特點。以往只是簡單地把相位譜看作是[-π ,π]范圍內的均勻分布。圖3(a)為兩個不同臺站記錄的相位譜比較，從圖中可以看出兩個地震記錄的相位譜有很大差距且均不符合均勻分布。相位差譜為相位譜的一階差分，日本學者Ohsaki[8]最早注意到相位差譜的分布特點。圖3(b)顯示了兩個示例地震動記錄的相位差譜的分布，相位差譜比相位譜存在明顯的分布特征。依據相位差譜的分布特點，Thráinsson 按照幅值譜的大小將相位差譜分為三組，發現每組相位差譜的部分均符合貝塔分布。趙新風利用平滑后得到的脈動相位差的分布，發現其滿足對數正態分布，由此可隨機生成相位差譜。把相位差譜看作是某一概率分布，雖然符合自身的分布特點，但生成的時候具有很大的隨機性，因此對于相位差譜隨頻率分布的特點仍需進一步研究。

圖3 相位譜和相位差譜示例說明

3 結論

本文對基于工程理論的地震動模擬方法進行研究，介紹目前應用較多的三角級數法、小波變換及小波包變換的優缺點并結合實際地震動時程的計算結果，說明小波變換和小波包雖在頻率特性的表現上優于三角級數法，但因其參數復雜，不易擬合，故應用范圍較小。另外，對相位譜和相位差譜的研究，表明相位譜簡單地看作均勻分布是不符合實際的，而相位差譜的分布規律較為明顯。雖然現階段模擬方法已能完全表征地震動的非平穩特性，但在時程幅值的準確性上有待加強。因此，小波變換和小波包變換模型的發展以及與地震學結合的方法都是未來模擬地震動的主要發展方向。