雙向液壓式調速器系統數學建模與仿真

湯斯佳， 陶邦明， 董 群， 蔣君俠

(1.惠陽航空螺旋槳有限責任公司， 河北 保定 071025； 2.浙江大學 機械工程學院， 浙江 杭州 310027)

引言

飛機螺旋槳的調速器系統是在飛機飛行過程中起到調節螺旋槳槳葉角，保持發動機轉速恒定作用的重要裝置，要研制螺旋槳飛機，就離不開對調速器系統的研究，特別是液壓式調速器系統具有很高的研究價值。

國外對調速器系統的研究開始較早。1928年HELE-SHAW H S提出了液壓式飛機螺旋槳調速系統[1]；1937年MARTIN E提出了恒速螺旋槳， 對液壓式調速系統進行了細致的說明[2]；1984年STEINETZ B提出了混合動力牽引的先進螺旋槳調速系統[3]；1985年ANDERSON R D對現有的調速系統進行了結構優化[4]。這些研究都對調速器系統進行了詳盡的論述，但都沒有涉及其具體結構的數學建模，同時因為時代因素也未與Simulink等仿真軟件結合對調速系統的動態特性進行分析。

相比國外，國內對于飛機螺旋槳調速系統的研究起步晚，相關研究較少，其中王凱等[5]對SR20飛機螺旋槳系統工作原理及典型故障分析；林建平等[6]對飛機螺旋槳液壓調速系統的流量特性進行了數學建模和仿真分析；關世超[7]對DA42NG型飛機螺旋槳變距工作原理進行介紹。目前國內關于調速器系統方面的研究主要集中在柴油機調速器和船用螺旋槳調速器方面。陳堅[8]進行了船用發電柴油機調速器的數學建模；謝清程等[9]對船舶螺旋槳調距速率特性進行了分析。鄭安賓等[10]對幾種有代表性的船用調距槳液壓系統進行了簡要分析；賈富等[11]對船舶螺旋槳進行了數學建模。也有一些比較分散的相關研究，段登燕等[12]對無人機的變距螺旋槳進行了系統功率優化控制。聞德生等[13]通過AMESim對變量泵的新式調速回路的特性進行了分析和實驗；羅艷蕾等[14]利用MATLAB進行微分方程求解得到了調速平衡回路的動態特性。費望龍等[15]設計了風力發電機的液壓變槳系統。這些研究的總體數量少，同時對具體結構的研究和分析較缺乏。

本研究以螺旋槳飛機的雙向液壓式調速器系統為研究對象，根據牛頓力學和流量連續方程建立調速器系統的數學模型，利用Simulink與數學模型結合進行仿真，對調速器系統的動態特性進行完整分析。

1 雙向液壓式調速器系統結構原理

如圖1所示為雙向液壓式調速器系統的結構，調速器作為核心部件通過飛塊支架與發動機連接，其壓力油路、回油路與液壓控制系統相連通，液壓控制系統控制油路油壓，大距油路與液壓缸連通，控制活門為控制油路的閥芯，液壓缸通過活塞與螺旋槳連接。

圖1 調速器及其系統結構圖Fig.1 Governor and its system structure diagram

調速器作為調速系統的核心部件，以飛塊作為敏感元件，感受發動機的轉速變化，并將其轉速變化量轉化為相應的控制活門的位移，再通過閥芯閥體的液壓功率放大功能改變調速器輸出的壓力信號，通過液壓缸運動改變螺旋槳的槳葉角，使螺旋槳在給定轉速下的旋轉阻力矩與發動機軸扭矩相平衡，來保證發動機的轉速恒定。

當飛機飛行狀態穩定時，發動機的輸出功率與螺旋槳吸收的功率相等，發動機傳遞給調速器的為平衡轉速。在平衡轉速下，控制活門受力平衡不發生運動，控制活門中部凸肩封閉大距油路，從而螺旋槳槳葉角保持不變。

當因飛行狀態變化造成螺旋槳吸收的功率與發動機的輸出功率不平衡時，發動機的轉速會發生變化，偏離平衡轉速，這時，調速器將自動使發動機轉速恢復到平衡轉速。在轉速增大時，飛塊因受離心力抬起控制活門，壓力油進入大距油路，液壓缸向右運動使槳葉角增大，轉速下降，直至恢復平衡轉速，大距油路重新被控制活門中部凸肩封閉為止；在轉速減小時，控制活門下移，大距油路與回油路相通，液壓缸向左運動使槳葉角減小，轉速上升，直至恢復平衡轉速為止。

2 雙向液壓式調速器系統數學建模

2.1 控制活門力-運動數學模型

控制活門頂邊受到彈簧力，底邊受到飛塊施加的力，中間受到流體作用力，如圖2所示。

圖2 控制活門受力圖Fig.2 Control valve spool force diagram

則根據牛頓第二定律，建立受力與運動的關系，得到控制活門的動態運動方程為[16-18]：

(1)

式中，FT—— 單個飛塊對控制活門的作用力

k—— 調速器彈簧的彈性系數

u—— 平衡狀態下調速器彈簧預壓縮量

x1—— 控制活門相對于平衡位置的位移

Fc—— 黏性摩擦力

Ff—— 液動力

m2—— 控制活門質量

1) 飛塊作用力FT求解

飛塊是調速器感應速度的元件，其結構如圖3所示。其主要作用為通過離心原理以及特殊的結構將轉速大小轉變為向上的推力大小。

圖3中，ω為飛塊角速度；L為飛塊與控制活門接觸點到飛塊自身旋轉軸的距離，L=11 mm；Y為飛塊質心到飛塊自身旋轉軸的距離，Y=5.63 mm；R為飛塊質心到飛塊支架旋轉軸的距離，R=17.85 mm；FR為作用于飛塊質心(圖中空心圓點為飛塊質心)的離心力。

調速器運行時，作用在單個飛塊的離心力為：

FR=mRω2

(2)

式中,m—— 單個飛塊質量。

圖3 飛塊運動與受力圖Fig.3 Flying block motion and force diagram

根據杠桿定律，得單個飛塊提供的向上推力FT為：

FT=CFR

(3)

聯立式(2)、式(3)，結合飛塊轉速與飛塊角速度的關系，得：

(4)

式中，n(t) —— 發動機的轉速。

2) 彈簧預緊壓縮量求解

平衡狀態下調速彈簧預壓縮量u可由設定的螺旋槳轉速計算得到：

(5)

式中，ω0—— 平衡角速度，ω0=2πn0

n0—— 平衡時發動機轉速，n0=5670 r/min

代入所有參數數值，解得：

u=6.98 mm

3) 黏性摩擦力求解

由于安裝時閥芯與閥體之間存在間隙，二者間有液體流動，存在黏性摩擦力，其方向始終與速度相反。

(6)

式中，B—— 黏性阻尼系數，其值由間隙大小、閥體直徑和液體黏度共同確定[16]，本調速器為5 N/(m·s-1)。

4) 液動力求解

液動力是流體通過閥口時作用在閥芯上的力，分為穩態液動力和瞬態液動力：

Ff=Fs+Fi

(7)

式中，Fs—— 穩態液動力

Fi—— 瞬態液動力

穩態液動力求解公式[19-21]：

Fs=2CvCdwx1Δp1cosθ

(8)

式中，Cv—— 流速系數，一般取0.98～0.99，此處取0.98

Cd—— 流量系數，一般取0.6～0.8，此處取0.6

w—— 閥口節流邊周長，w=πd=50.265 mm，d為控制活門與閥體配合部分的外徑，d=16 mm

Δp1—— 閥口前后的穩態壓差，考慮到穩定情況下大距油路的油壓變化，此處Δp1=0.01 MPa

θ—— 射流方向角，對于理想滑閥一般取69°

瞬態液動力求解公式[19-21]：

(9)

式中,L1—— 閥口距離，L1=6.1 mm

ρ—— 油液密度

Δp2—— 閥口前后的瞬態壓差，考慮到瞬態情況下大距油路的油壓變化，此處Δp2=3.73 MPa

2.2 液壓缸與螺旋槳的力-運動數學模型

大距油路的油液進入液壓缸推動活塞運動，活塞通過連桿滑塊機構與螺旋槳相連接，使槳葉角變化，如圖4所示。

圖4 液壓缸-螺旋槳結構圖Fig.4 Hydraulic cylinder-propeller structure diagram

圖4中：p2為大距油路油壓；p4為小距油路油壓；θ為螺旋槳角度；其余均為對應尺寸的長度。

忽略連桿運動對液壓缸的作用力，則根據牛頓第二定律建立液壓缸的運動數學模型，有：

(10)

式中，A2—— 大距油作用在活塞上的面積

A4—— 小距油作用面積

m2—— 活塞質量

x2—— 活塞位移

液壓缸運動通過連桿機構改變螺旋槳角度，根據幾何知識，有：

(11)

(12)

聯立式(11)、式(12)解得螺旋槳角度為：

(13)

式中，b=9 mm；l1=45.75 mm；l2=71.8 mm；x0=85.6 mm。

2.3 流量數學模型

當控制活門產生上下位移時，與閥體產生交錯，大距油路的槽口開啟，如圖5所示。

根據流量連續方程建立大距油路與壓力油路、回油路的流量數學模型[22]：

(14)

圖6 控制活門仿真模型Fig.6 Control valve spool simulation model

式中，Qf—— 閥口流量

Qx—— 泄漏流量

E—— 油液彈性模量，E=1200 MPa

當控制活門沿x1正方向移動，V=V1，V1為出口至大距油路的管路容腔體積；p=p1，p1為壓力油路油壓。當控制活門沿x1負方向移動，V=V2，V2為大距油路至回油路的管路容腔體積；p=p2。

閥口流量為：

(15)

式中， Δp—— 閥口油壓差值，取正值。

其中，大距油路的油壓求解需要使用液體壓縮公式：

(16)

式中， ΔV—— 大距油路體積變化量。

3 雙向液壓式調速器Simulink仿真

MATLAB/Simulink可根據數學模型搭建仿真模型來對二階微分方程進行分析。利用MATLAB/Simulink建立仿真模型分析，通過調整不同參數來找到影響調速器運動的主要因素，從而有方向性地尋找優化的方向。

3.1 控制活門運動數學模型仿真

將表1的參數代入式(1)，得到控制活門的數學模型如下：

(17)

表1 螺旋槳調速系統主要參數Tab.1 Propeller governor system main parameters

根據式(17)，搭建如圖6所示的Simulink仿真模型；輸入如圖7a所示的轉速，得到控制活門的位移曲線如圖7b所示。

圖7 發動機轉速發生變化時控制活門位移的變化Fig.7 Control valve spool displacement due to rotational speed changes

從控制活門仿真結果可以看出：當轉速為設定的平衡轉速5670 r/min時，活門位移為0 mm，此時控制活門不運動，大距油路無流量進入；當轉速突然增大100 r/min時，控制活門位移迅速增大并發生短時間的振動，之后恢復平衡，此時彈簧力與液動力、飛塊作用力平衡；當轉速減小時，也可以得到相似的曲線。

3.2 整個調速器系統的數學模型仿真

添加油路、液壓缸和螺旋槳的數學模型，得到整個調速器系統的數學模型，如圖8所示。

圖8 整個調速器系統仿真模型Fig.8 Whole governor system simulation model

其中控制活門輸出位移控制大距油路流量和油壓，大距油路輸出的大距油壓控制液壓缸運動；液壓缸的活塞位移控制螺旋槳角度，螺旋槳角度通過螺旋槳與空氣阻力的關系改變發動機負載，從而反饋控制發動機轉速，最終得到的調速器系統仿真結果如圖9所示。

圖9 發動機轉速變化時轉速變化和螺旋槳角度變化Fig.9 Motor rotational speed and propeller angle diagram due to motor speed changes

從整個調速器系統仿真結果可以看出：轉速很快恢復到平衡轉速，之后保持不變。螺旋槳角度增大到一定值后也保持不變，因為此時螺旋槳的功率與發動機的功率一致，轉速已經平衡。

4 結論

結合某型螺旋槳飛機雙向液壓式調速器系統具體結構，對調速器系統在不同發動機轉速變化下的工作原理進行分析，通過力學和數學分析，搭建出控制活門、液壓缸和螺旋槳的運動數學模型，以及系統油路的流量數學模型。結合真實可靠的參數值，利用MATLAB/Simulink軟件進行控制活門運動仿真和整個調速器系統仿真。仿真實驗結果表明： 發動機轉速變化會導致控制活門的位移發生振蕩，同時，在完整調速器系統作用下， 轉速偏離后發動機的轉速會很快恢復平衡值，并與螺旋槳角度發生的變化相對應，證明了所建立的系統數學模型的有效性及可行性，并為后續設計優化提供了思路。