關于Pα漸近線

劉仕田

(四川文理學院 數學學院，四川 達州 635000)

1 背 景

曲線的漸近線能夠很好的控制圖形，因而給出其漸漸線尤為重要.李曉萍[1]給出了平面的切線與漸近線的關系，并提出了下面的問題:設函數y=f(x)在區間(a,∞)連續，過點(x,f(x))和(x+1,f(x+1))的割線方程為：Y=f(x)=(f(x+1)-f(x))(X-x).當x→∞時，割線與函數的漸近線有什么關系？

在本文中，一方面給出了Pα漸近線存在性定理，其次對問題進行了回答.

2 基本概念及其基礎知識

定義1[4]若曲線C上動點P沿著曲線無限地遠離原點時，點P與定直線L的距離區域0，那么稱直線L為曲線C的漸近線.

根據定義1， 可以得到下面的常見定義.

我們對斜漸近線和P2推廣，得到下面的定義.

定義3假設a0,a1,a2是常數且常數α2≥α1≥0.若當曲線f(x)上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時，點P與某曲線y=a2xα2+a1xα1+a0的距離趨于0.如果a2≠0,那么稱曲線y=a2xα2+a1xα1+a0為曲線的Pα2-漸近線;如果a2=0但a1≠0，那么稱y=a1xα1+a0為Pα1-漸近線；如果α2=α1=0，那么y=a0是水平漸近線.

注釋1若α2=2,α1=0或1，則Pα2漸近線就是P2-漸近線；若a2=0,α1=1，則Pα1漸近線就是斜漸近線.

注釋2顯然若存在Pα2漸近線，必然有α2>α1≥0.

定義4假設ai，αi是常數，i=1,2,…,n且滿足αn>αn-1≥…≥a0≥0.若當曲線f(x)上的動點P沿著曲線無限地遠離原點時，點P與某曲線y=anxαn+an-1xαn…+a1xα1+a0的距離趨于0，那么稱y=anxαn+an-1xαn…+a1xα1+a0是曲線的Pαn漸近線.

3 Pαn漸近線存在性

本節主要就定義3，討論曲線漸近線存在性問題.

由此可知，存在Pα1-漸近線y=a1xα1+a0.

由極限運算法則，可得:

注釋由命題2，同樣地可以得到Pαn漸近線存在性的命題.

4 問題的解答

于是我們可得漸近線為：

可以驗證,當n=1,2,3時，可以得到文[2]的形式.

結 語

本文討論關于漸近線的一個推廣.我們對以直線或以二次多項式為漸進線的函數做了進一步的考慮，并且將其推廣到是αn次多項式為漸近線(這里分數次多項式是如下的形式的多項式：anxαn+an-1xαn-1+…+a0這里an≠0且αn>αn-1≥…≥α1≥0≥0).對于存在性命題2，是否可以利用泰勒公式了考慮？因此我們就此提出一個問題：

問題：如果考慮函數的導數，那么如何得出相應的存在性定理？