“一元二次方程”單元教學設計研究

張學聯

(貴州省遵義市習水縣第八中學 貴州 習水 564600)

一元二次方程是初中階段在“數與代數”內容中的重要組成部分，可以構建出現實數量關系的模型。但是，在人們的現在的實際生活中，接觸的方程模型不都是線性的，一元二次方程在此發揮著重要價值，是學生學習過程中不能缺少的一部分。另外，在新課程標準中，對于一元二次方程的內容，做出了全面的概述，為后期學生們學習一元二次不等式、二次函數、圓的方程等知識的學習奠定基礎，為學生學習起承前啟后的作用。由此可知，一元二次方程單元的學習，是要求學生熟練掌握的知識點。所以，教師在教學一元二次方程的時候，為了防止此部分內容與其他知識點分割，一定要在教學前了解學生的心理認知發展規律與學習情況，分析單元內容，梳理有關知識，整合零散的知識實施備課，保證教學活動的順利進行。在此背景下，本文分析了一元二次方程單元設計的內容。

1.“一元二次方程”單元包含的數學核心素養

數學學科教學中，要迎合新課程標準，緊密聯系核心素養，從縱向、橫向角度入手，充分擴展數學學科教育的深度與廣度。《高中數學課程標準》中，提出要培養高中生的數學核心素養。下面對初中一元二次方程單元中的數學核心素養進行梳理，涉及的內容有：

第一，推理能力。在一元二次方程單元教學設計中，推理能力主要體現在方程式根的判別式、韋達定理的推導等。在此結合教單元教學目標，推導一元二次方程韋達定理的過程。

上述為韋達定理的證明過程，教材中是讓學生先猜想，然后利用一元二次方程與其根的判別式，證明了根與系數的關系，在此過程就是對學生推理能力的培養。

第二，運算能力，在一元二次方程單元中有很多是使用正確的方法解方程。如問題：多種方法解方程x(2x-5)=6x-15

上述兩種解方程的方法之間有緊密的聯系，學生在解答一元二次方程的時候，要結合方程的形式，選擇適合的方法。

第三，模型思想。建模思想是學生感受數學，建立數學與世界聯系的主要途徑。一元二次方程單元教學中對學生模型思想的培養，可助學生理解一元二次方程的模型，體現實際問題中的數量關系，以此求出結果并討論。

例題，你能用一條長為40厘米的繩子，圍成一個面積為75平方厘米的矩形，能否圍成一個面積為101平方厘米的矩形？

解：設圍成75平方厘米的矩形的長為x厘米，列出方程x(20-x)=75，解得x1=15，x2=5(舍去)，20-x1=5，所以長為15厘米，寬為5厘米。

設圍成101平方厘米的矩形的長為x厘米，列出方程x(20-x)=101，判別式△=-1<0.

所以可以圍成面積為75平方厘米的矩形，但是不能圍成101平方厘米的矩形。

第四，數學知識的應用，此就是運用意識，即學生在實際生活中，能夠從數學的角度思考問題，然后解決問題。在一元二次方程單元中，對學生應用意識的培養，主要體現在將一元二次方程運用于實際生活與生產中。

例題，兩年前，在還沒有改進生產技術時，生產一噸零件甲的成本為5000元，生產一噸零件乙的成本為6000元。現在，生產一噸零件甲的成本降到3000元，生產一噸零件乙的成本為3600元，請問哪種零件的成本降價幅度大？

解，假設現在生產一噸零件甲的年平均下降率為x，由此可得兩年后，一噸甲零件的成本為5000(1-x)2，可得5000(1-x)2=3000，解方程，得到x1≈0.225，x2≈1.775(舍去)，所以可得甲零件的年平均下降率為22.5%。同理，列式，得到乙零件成本的年平均下降率也是22.5%。兩種零件的成本年平均下降率相同。

2.“一元二次方程”單元教學設計

2.1 確定單元教學目標。單元教學目標是學生在單元學習后，要達到的標準與要求。作為初中數學教師，在設計單元教學目標的時候，要遵循新課程標準中，提出的對學生核心素養的要求[1]。基于此，在設計一元二次方程教學的時候，需要將教學目標與核心素養相結合，以數學核心素養為根本，確定本單元教學要培養學生哪些核心素養，只有單元與素養互相結合，才能設計適合的教學環節。在此教師需要注意，確定教學目標的時候，不一定要體現所有的數學素養，只要迎合教學內容即可。另外，教學目標的確定還需與教材中前后知識點相聯系。基于此設計的單元教學目標為：第一，知識與技能。學習一元二次方程的概念；掌握一元二次方程根的判別式，并使用多種方法解一元二次方程；學會韋達定理，并利用其解決簡單的問題；運用一元二次方程解決實際的問題。第二，過程與方法。學生能夠在實際生活事例中，抽象出一元二次方程，并以此了解方程是對現實生活中，數量關系模型的刻畫；在一元二次方程學習過程中，能夠從特殊到一般，然后再到特殊，通過教學設計可以提升學生的類比與轉化等多種數學思想；經過對一元二次方程，根判別式與偉達定理的推導，能夠增強學生的推理能力。第三，情感態度與價值觀。在學生們學習一元二次方程的時候，能夠從整體到結構，感知一元二次方程的內在知識，激發學生學習數學的激情；加強一元二次方程與生活生產的聯系，增強學生的知識運用能力。

結合一元二次方程單元中的內容分析，得知此部分涉及的數學核心素養有推理能力、運算能力、運用能力、模型思想，具體如圖1。

圖1 一元一次方程單元三維目標與涉及的數學核心素養

2.2 科學設置單元課時。結合人教版一元二次方程單元中的教學要素與教學單元，結合本學習的數學課時數量，本單元一共可使用13課時，具體包括，認識一元二次方程、解一元二次方程、應用一元二次方程解題、復習與小結[2]。

將一元二次方程單元分為認知、理解與運用三個模塊，因此在實際教學的時候，要貫穿使用一元二次方程，構建數學模塊，讓學生能夠真實解決實際問題。第一部分，讓學生在生活中的事例，發現數學，了解一元二次方程的概念，并知道其中的項與系數的關系。形成數學模型。在此可借助2-3個實際問題，引出列方程，然后引導學生分析方程的特點，與之前學習的一元一次方程作比較，得出結論。

解一元二次方程環節中，教學是重點，其本質是引導學生學習“降次”思想，然后接觸一元二次方程。教師在教學的過程中，要遵循人教版教材中設置的內容，引導學生從簡單知識向復雜知識學習，思想上，也從特殊到一般。教學安排上也是引入實際問題，汲取教材內容，一元二次方程根的辨別式和公式法這一節的內容分割成兩節課，先讓學生學習辨別式知識，然后按再學習公式法解一元二次方程。以此減輕教師的教學壓力，幫助學生加強對方程辨別式對方程根的影響，達到能正確地解一元二次方程。因為此部分內容較多，所以解一元二次方程的環節占了七節課，除了新授課，還有練習課，幫助學生規范性解方程的每一個步驟[3]。

最后的總結與復習階段，一是幫助學生梳理一元二次方程單元知識的整體結構，助學生組成學習網絡。二是尊重單元的整體性，引導學生在本單元整體知識基礎上，解決實際問題。

2.3 單元教學案例分析。初中生的學習動力，來自于其對現實生活中復雜問題解決的渴望，進而主動參與學習活動，逐漸掌握知識，提升能力。數學知識來自于對現實世界的抽象，又是對數學知識的一般化。在此可以聯系實際生活情境，進而在課堂中自然引入生活中的教學資源，吸引學生的注意力，促使其自然產生學習動力，主動分析一元二次方程中的內容。在此過程中嘗試讓學生以數學的眼光看待世界，主動探究，在數學語言表征下，分析與解決數學問題，發展數學思維，提升核心素養。如現實生活中有大量與一元二次方程有關的問題，此為學生學習提供了大量的生活素材。在此教師可以生活中的情境做導入，科學設計單元教學。

以單元中“認識一元二次方程”一課的教學設計為例，先確定教學目標：學習一元二次方程的概念、一般形式，可以精準區分出一元二次方程中的“項”和“系數”。在實際問題解答中，學生可以將數量關系，轉化為數學模型，以此感悟模型思想；在實際生活中感知一元二次方程，知道數學的價值。教學重點為：一元二次方程的概念與一般形式。教學難點為：如何將一元二次方程，轉化為一般形式。具體教學的過程為：

第一，引入情境。

情境一，為學生呈現數學古書中內容，如“一群猴子分兩隊做游戲，八分之一再平方，在樹林里蹦蹦跳跳。剩余十二嘰喳渣，總數一共有多少，兩隊猴子在一起？”假設猴子的數量有x只，你能列方程解決這個問題嗎？

情境二，一次足球比賽中，每兩個隊伍之間都要進行一次比賽，一天安排四場比賽，一共比賽7天，請問有多少個隊伍參賽？假設參加隊伍有x個，你能列出方程嗎？

設置多個問題，分別借助古代歷史問題、實際問題、模型問題，在此可以借助多媒體創建生活情境，讓學生感受到數學來自于生活，數學問題的解答就是解決生活問題[4]。

第二，新知講解。

讓學生思考上面教師提供的問題，并嘗試列出方程解答問題，分別是：x2-64x+768=0；x2+12x-15=0；x2-x=56.針對這三個方程，教師提出問題：(1)這三個方程是整式還是分式方程？(2)這三個方程的“元”和“次”分別是幾，他們與一元一次方程有什么不同？(3)這三個方程有什么共同點？(4)將這三個方程與一元一次方程的定義類比，你能給他們定義嗎？在多個層次性問題的引導下，讓學生慢慢了解一元二次方程，并掌握其概念。并依據此可以通過數學符號列出一元二次方程式，知道ax2為二次項，bx為一次項，c為常數項。根據這個一般式，教師繼續追問“為什么在這個一元二次方程式中的a為什么不能等于0？

在此環節中，讓師生之間及學生與學生之間產生了良性的互動，通過此可以訓練學生的團隊合作能力、交流能力。另外，問題中通過一元一次方程的引入與比較，讓學生能夠更快了解一元二次方程的本質，在類比的思想下掌握知識。

第三，講解例題。

例1，請你將方程3x(x-3)=5(x+3)化簡，讓其變為一元二次方程的一般形式，并標記出一次項與二次系數、常數項。

解：3x(x-3)=5(x+3)的化簡，先去括號，得到3x2-3x=5x+15，然后移項，合并同類項，得到一元二次方程的一般式，即3x2-8x-15=0.這里面，常數項為-15，一次項系數為-8，二次項系數為3。

通過例題的展示，讓學生加深對一元二次方程式概念的認知[5]。

結論

對于初中生來說，一元二次方程單元中有很多知識是抽象，不容易掌握的，此對于學生核心素養與綜合解決問題的能力有很高的要求。從新課程標準中三維教學目標、數學核心素養等方面思考，科學設計一元二次方程單元的教學設計。此為一線教師要求較高，需要掌握有關專業知識和心理學、教育學等方面知識，通過此才能保證學生明確學習主線，構建對單元內容的完整認知，建立完整的知識結構體系，增強數學思維與數學素養。