為有源頭活水來

文／楊曉彬

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）

很多同學會覺得，中考試題有一層神秘的面紗。其實，大部分中考題都是由教材中的例題改編而來。從例題出發，改變情境，深度拓展，例題就變成同學們做過的中考試題啦。下面，老師將與同學們分享教材中的一道典型例題及其變化而出的三道中考試題。

例題（蘇科版數學教材九年級下冊第30頁問題2）某魚塘里飼養了魚苗10千尾，預計平均每千尾魚的產量為1000kg。若再向該魚塘里投放魚苗，每多投放魚苗1 千尾，每千尾魚的產量將減少50kg。應再投放魚苗多少千尾才能使總產量最大？最大總產量是多少？

教材在“用二次函數解決問題”這一節中安排此例題，一是引導同學們掌握數學建模的思想，二是讓同學們體會數學模型是數學與外部世界聯系的橋梁。此實際問題考查了二次函數的最大值問題。我們還要考慮此最值是否符合實際意義。解題過程見教材。

變式一（2021·江蘇淮安）某超市經銷一種商品，每件成本為50 元。經市場調研，當該商品每件的銷售價為60 元時，每個月可銷售300 件，若每件的銷售價每增加1 元，則每個月的銷售量將減少10 件。設該商品每件的銷售價為x元，每個月的銷售量為y件。

（1）求y與x的函數表達式；

（2）當該商品每件的銷售價為多少元時，每個月的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【分析】本題是在教材例題的基礎上直接改編問題情境，根據等量關系“利潤=（每件售價-每件進價）×銷量”列出函數表達式，再根據表達式求得利潤最大值。

【簡要解答】（1）根據題意，得

y=300-10·（x-60）=-10x+900。

（2）設每個月的銷售利潤為w。由（1）知w=-10x2+1400x-45000=-10（x-70）2+4000，

∴每件銷售價為70 元時，獲得最大利潤，最大利潤為4000元。

變式二（2021·江蘇連云港）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12 元、8元，每天賣出份數分別為40份、80份。該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤。售賣時發現，在一定范圍內，每份A種快餐利潤每降1 元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2 份，如果這兩種快餐每天銷售總份數不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是________元。

【分析】本題除了改變問題情境，變量的數量也發生了變化。設每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80-2b）份，由于這兩種快餐每天銷售總份數不變，可求得a與b之間的關系，從而用a表達出一天的總利潤W，再結合二次函數的性質就可以得到結論。

【簡要解答】設每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80-2b）份。

由題意得40+2a+80-2b=40+80，化簡得a=b，

∴總 利 潤W=（12-a）（40+2a）+（8+a）（80-2a）=-4a2+48a+1120=-4（a-6）2+1264。

∵-4＜0，

∴當a=6時，W取得最大值1264，

即兩種快餐一天的總利潤最多為1264元。

變式三（2021·江蘇揚州節選）甲、乙兩家汽車出租公司均有50 輛汽車對外出租，下面是兩家公司經理的一段對話：

甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費3000 元，那么50 輛汽車可以全部租出。如果每輛汽車的月租費每增加50 元，那么將少租出1 輛汽車。另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元。

乙公司經理：我公司每輛汽車月租費3500 元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元。

說明：①汽車數量為整數；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤。

在兩家公司租出的汽車數量相等的條件下，根據上述信息，解決下列問題：

（1）當每個公司租出的汽車為10 輛時，甲公司的月利潤是________元；當每個公司租出的汽車為________輛時，兩公司的月利潤相等。

（2）求兩家公司月利潤差的最大值。

【分析】本題在變量關系的表述上更加復雜，除了用“月利潤=數量×利潤”之外，還有額外支付的費用。在第（2）問中，設兩家公司的月利潤分別為y甲、y乙，月利潤差為y，由（1）可得y甲和y乙的表達式，再基于哪個公司利潤較大進行分類討論，列出y關于x的表達式，根據二次函數的性質，結合x的范圍求出最值，再比較即可。

【簡要解答】（1）48000；37。

（2）設每個公司租出的汽車為x輛，月利潤分別為y甲、y乙，月利潤差為y。

綜上，兩家公司月利潤差的最大值為33150元。