中考中三角形面積問題的解決策略

文／龔 輝

（作者單位：江蘇省太倉市高新區中學）

三角形的面積問題因變化多端、解法多樣，經常出現在中考試卷上。三角形面積問題又經常與動點相結合，產生兩大難點：一是導致了圖形的不確定性，考查分類思想以及對動態圖形的想象和處理能力；二是會引入參數，考查含參坐標或含參線段的運算。倘若三角形的底和高均含參數，則三角形面積的代數式會呈現二次函數關系，中考時常?？勺鲞M一步的研究，如最值問題、取值范圍和定值問題等。下面選取中考試卷中的幾道典型試題從三個角度進行剖析。

一、直接利用面積公式

例1（2020·山東濟南）如圖1，拋物線y=-x2+bx+c過點A（-1，0），點B（3，0），與y軸交于點C。在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜3），過點E作直線l⊥x軸，交拋物線于點M。

圖1

（1）求拋物線的表達式及C點坐標；

（2）連接BM并延長交y軸于點N，連接AM、OM，設△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1=2S2，求m的值。

【解析】（1）用待定系數法即可求解，易得y=-x2+2x+3，C（0，3）。

（2）∵E（m，0），

【點評】第（2）問中△AEM和△MON，均有一條邊是軸上線段（線段AE和ON）。求這樣的三角形面積，主要的解題策略就是直接運用三角形的面積公式，用含參線段得到關于面積的方程后求解。本題的難點是含參表達式、含參坐標和含參線段之間的轉化與運算。

二、利用相似三角形轉化比例

例2（2016·江蘇蘇州）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分別是AD、CD的中點，連接BE、BF、EF。若四邊形ABCD的面積為6，則△BEF的面積為（ ）。

圖2

【解析】連接AC，如圖3，易得S△ABC=4。

圖3

【點評】直接用三角形面積公式求△BEF的面積有一定的難度，因此考慮面積割補法：S△BEF=S四邊形BEDF-S△DEF。在計算△DEF的面積時，連接AC可達到一舉兩得的效果：一方面得到了等腰直角△ABC，另一方面可以構造三角形相似，然后利用相似三角形的性質得到。我們總結的解題策略是：當直接用面積公式求解困難時，不妨用面積割補法進行轉化；在求解時還可以優先尋找相似三角形，利用面積比等于相似比的平方這一性質求解。

三、利用同底等高模型轉移比例

例3（2020·四川成都）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，-2）。

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖4，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD、BC交于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值。

圖4

圖5

圖6

綜上可知，中考關于面積的問題通常有三條解決途徑可供選擇，由于題目背景、圖形類型、設問方法等變化較多，需要同學們在學習中不斷整理、提煉和總結，形成行之有效的解題策略，從而在解題時游刃有余。