“源代碼”重組：教材例題的引申

文／王 磊

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）

在做練習時，我們常常會對某道題感覺很熟悉，但又不知在哪里見過，抑或者熟悉知識框架，但是對具體數字陌生。其實，這是非常正常的現象。我們所遇到的題目，有很多是來自教材上的例題，如果將問題情境改變，或者融合一些其他的知識點，就能變成一道新題。教材上的例題往往具有典型性、代表性，凝聚著重要的數學思想，有著較強的示范性，是很多新題的“源代碼”。

一、例題再現

（蘇科版數學教材八年級下冊第131 頁例3）已知反比例函數的圖像與一次函數y=x+1的圖像的一個交點的橫坐標是-3。

（1）求k的值，并畫出這個反比例函數的圖像；

（2）根據反比例函數的圖像，指出當x＜-1時，y的取值范圍。

解：（1）把x=-3 代 入y=x+1，得y=-2。

圖1

（2）由函數圖像知，當x＜-1時，-6＜y＜0。

二、“源代碼”重組

一次函數與反比例函數的組合問題，是常見的考試題型。我們要抓住此類題交點的特殊性，利用函數圖像的性質來解決。

【基礎重組】（2021?山東棗莊）如圖2，正比例函數y1=k1x（k1≠0）與反比例函數的圖像相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標為1。當時，x的取值范圍是 。

圖2

【解析】因為正比例函數與反比例函數的圖像均關于原點對稱，點A的橫坐標為1，所以點B的橫坐標為-1。觀察函數的圖像，我們發(fā)現，當x＜-1或0＜x＜1 時，反比例函數圖像在正比例函數圖像的上方，所以當y1＜y2時，x的取值范圍是x＜-1或0＜x＜1。

【點評】本題考查了正比例函數與反比例函數的基本性質，利用軸對稱性推導出另一個交點B的橫坐標，再利用函數圖像的分布特點，分析得到滿足條件的x的取值范圍。

三、“源代碼”升級

與函數有關的綜合題，常常伴隨著復雜的問題情境，這類題既考查同學們的審題能力，也考驗同學們的邏輯思維和綜合學力。

【升級重組】（2021?浙江金華）背景：點A在反比例函數的圖像上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，分別在射線AC、BO上取點D、E，使得四邊形ABED為正方形。如圖3，點A在第一象限內，當AC=4時，小李測得CD=3。

圖3

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現點D、A的橫坐標之間存在函數關系。請幫助小李解決下列問題。

（1）求k的值。

（2）設點A、D的橫坐標分別為x、z，將z關于x的函數稱為“Z函數”。如圖4，小李畫出了x＞0時“Z函數”的圖像。

圖4

①求這個“Z函數”的表達式；

②補畫x＜0 時“Z函數”的圖像，并寫出這個函數的性質（兩條即可）；

③過點（3，2）作一直線，與這個“Z函數”圖像僅有一個交點，求該交點的橫坐標。

【解析】（1）∵AC=4，CD=3，

∴AD=AC-CD=1。

∵四邊形ABED是正方形，

∴AB=1。

∵AC⊥y軸，AB⊥x軸，

∴∠ACO=∠COB=∠OBA=90°，

∴四邊形ABOC是矩形，

∴OB=AC=4，

∴A（4，1），

∴k=4。

（2）①由題意得A（x，x-z），

∴x（x-z）=4，

∴z=。

②圖像如圖5所示。

圖5

性質1：x＞0 時，y隨x的增大而增大；

性質2：圖像是中心對稱圖形。

③設直線的表達式為z=kx+b。

把（3，2）代入，得2=3k+b，

∴b=2-3k，

∴直線的表達式為z=kx+2-3k。

消去z，得（k-1）x2+（2-3k）x+4=0。

當k≠1，Δ=0時，

（2-3k）2-4（k-1）×4=0，

解得x1=x2=6；

當k=2時，

方程為x2-4x+4=0，

解得x1=x2=2。

當k=1時，

方程的解為x=4，符合題意。

另外，直線x=3，也符合題意，此時交點的橫坐標為3。

綜上所述，滿足條件的交點的橫坐標為2、3、4、6。

【點評】本題是反比例函數綜合應用題，涉及的知識點較多，比如一次函數、二次函數、一元二次方程等。解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會把問題轉化為方程組，再利用一元二次方程的根的判別式解決問題。