基于Kriging 模型和網格變形的翼型優化

胡勇軍 高一星

（貴州貴飛飛機設計研究院有限公司，貴州 安順 561000）

機翼通常是飛行器產生升力和阻力的主要部件，而在機翼設計中作為基本要素之一的翼型對飛行器氣動特性和飛行性能都有很大的影響，因此選用擁有突出的氣動特性的翼型對飛行器氣動設計非常重要。早期，傳統的翼型設計方式都是首先取得已有翼型的試驗資料，然后再結合翼型理論和一定的設計經驗等，加以剪裁和修形，最后才通過風洞試驗進行驗證。該設計過程往往要求工程設計人員必須具備較高水平的專業技術知識和較豐富的工程設計經驗，隨著現代飛機設計中設計周期的急劇降低，這種方法使用的越來越少。二十世紀七十年代起，由于計算機技術的快速發展，計算流體力學（CFD）同時獲得了飛速發展，并成為空氣動力學中發展最快的方向之一，也成為了飛行器設計過程中必不可少的技術手段。CFD 為飛機翼型設計帶來了全新的技術手段，將原由風洞完成的大量試驗變為了基于CFD 的大量仿真計算再加少量風洞試驗驗證，從而大大縮短了周期，同時提高了獲得具有優秀氣動特性的翼型的可能性。

在基于CFD 的翼型設計方法中，數值優化設計方法是常用的方法之一[1-2]。該方法可以選取目標翼型的指定迎角的升力系數、升阻比、阻力、俯仰力矩等氣動特性作為設計目標，疊加諸如相對厚度分布等設計約束，通過遺傳算法等方法，快速獲得滿足要求的翼型。國內外均有許多學者進行了該方向的研究。氣動外形優化設計的基本過程就是不斷調用參數計算模型進行計算的過程，如果該過程使用高精度模型用于計算，計算過程將會變得非常復雜，為降低優化過程計算的復雜程度，使用的模型最好使用近似方法建立，即用一個簡單近似函數代替高精度的復雜的計算模型，比如采用局部近似、全局近似等。在全局近似法中，Kriging 模型因其所具有的非線性擬合能力強、近似模型參數選取靈活性高等優勢，在翼型優化等氣動優化設計實踐中得到了廣泛應用，如Meunier 就通過該方法建立了機翼氣動力模型[3]等。

本文在基準翼型上，采用網格變形和CFD 方法獲得試驗樣本點數據，通過Kriging 模型優化設計[4-5]出具有要求的目標特性的翼型，采用該翼型設計的機翼隨全機一起進行風洞試驗，飛機氣動特性滿足全機設計要求，成功驗證了翼型設計。

1 Kriging 模型

響應面法的基本思想是假設一個包含一些未知參數的相對簡單的顯式函數表達式，通過試驗設計對給定的設計集合進行試驗，然后用插值等方式確定表達式中的未知參數，得到顯式的響應面模型以逼近目標函數，用來估計非試驗點的目標響應值。Kriging 模型方法屬于一種響應面法，在1951 年由南非的Krige 首次提出，該方法由于有對試驗點無偏估計、非線性逼近能力較好等優點，在高度非線性的優化問題中得以大量應用。該方法主要利用對未知點附近的信息的加權線性組合來估計該點的值，其本質就是通過將估計值的誤差方差最小化來確定加權系數。

Kriging 模型[6]由線性回歸部分（多項式部分）和非參數部分（多項式的偏離部分）組成。假設在一個d 維設計空間中，有n 個樣本點的集合X=[x1，x2，…，xn]T，單個樣本點為xi=[x，x…，x]，樣本點處的響應值為Y=[y1，y2，…，yn]T，則采用kriging 函數構造如下形式近似模型。

其中，f (X，β) 為用線性組合的多項式表示的回歸函數，是線性回歸部分，β 為回歸模型系數，整個部分也可理解為在設計空間中建立的全局近似，該多項式的階次通常可取零階、一階、二階等，一般不會取高于二階，而據尹大偉等研究[7]，通常回歸模型的階次對精度的影響并不是很明顯；z(X)是均值為零的非參數模型，屬于隨機函數部分，它也可理解為平均數為零的隨機的服從正態分布但協方差不為0 的局部逼近。隨機函數z(X)代表了真實響應與假設的全局逼近的局部偏差，其統計學特性及樣本點之間協方差為：

其中，σ2為隨機過程方差；R 是相關函數矩陣；r 則是與二個樣本點xi，xj之間的距離相關的空間相關函數；θ為空間相關函數的比例參數向量，代表了兩個樣本點之間的相關性隨兩點距離增大而衰減的程度。空間相關函數可以是高斯函數、指數函數、樣條函數等。在使用高斯函數時，輸入向量xi、xj的第k 個分量的空間相關函數為：

其中，θk是組成向量θ 中的第k 個量，dk為：

相關函數的選取既具體決定了代理模型中如何擬合數據,也反映了與全局逼近的局部偏差,一般選取相對比較簡單的相關函數。在本文中，選擇的是ANSYS WORKBENCH 自帶的高斯函數。

2 網格變形

在翼型優化中，對翼型的處理和描述有很多種方法，比如采用CST 參數化描述翼型[8]，采用網格變形獲得翼型等。采用CST 參數化方法描述翼型時，參數化表示方法直接影響翼型設計方法的合理性，進而使得翼型表示方法成為采用該方法設計翼型的重要領域之一。而網格變形是通過對網格模型的形狀進行修改的幾何處理技術，網格變形技術避免了反復進行CAD 設計更改和再生成網格的環節，是近年來幾何處理領域的熱點研究問題之一。用于網格變形的方法通常有自由變形技術、骨架驅動變形技術、基于網格曲面變形技術、基于徑向基函數的網格變形技術等。

本文在基準翼型網格基礎上，使用ANSYS 自帶的網格快速變形技術，建立局部網格變形區域的拓撲控制參數，通過參數值變化控制網格的隨移變形，改變網格節點位置，實現基于純網格的設計變形，獲得不同的氣動外形網格。

3 流動控制方程及邊界條件

本文CFD 計算使用的控制方程組為基于Reynolds時均法的方程組，湍流模型為SST K-ω 模型，邊界條件為壓力遠場邊界條件。方程組的求解方法則選擇了基于壓力求解的方法，通過耦合隱式方法進行有限體積離散，而梯度離散方法采用基于網格點的Green-Gauss 方法。本文采用NASA-LANGLEY LS(1)-0413 作為初始翼型，進行多目標和約束的翼型優化設計。

4 翼型氣動優化設計

4.1 設計變量選取

初始翼型網格見圖1。圖中同時給出了翼型上部網格的變形區域，變形區域從翼型前緣到后緣，可用于上部網格變形的7 個控制點均勻分布在弦線上且不含前后緣點，變形方向為上下變形，從前往后分別為控制點1至控制點7。同理，用于翼型下部網格變形的7 個控制點也均勻分布在弦線上且不含前后緣點，變形方向也為上下方向，從前往后分別為控制點8 至控制點14。控制點合計14 個，控制點變形參數作為輸入變量。為了分別控制翼型上表面和下表面變形，雖然控制點分布相同，但區分用于上下表面控制的控制點。網格變形過程中前后緣點位置保持不變。為避免極端情況下出現負體積和上下表面交錯的情況，各允許變形控制點的變形參數范圍需在優化前通過網格變形測試獲得，控制點參數設置時作為限制條件。控制點1 至控制點12 的輸入參數均為0.05、控制點13 輸入參數為0.03、控制點14 輸入參數為0 時，網格變形結果見圖2。在輸出變量中，包括設計目標所需的2 個迎角的升力系數、阻力系數。此外，為了控制厚度分布，控制點2 與控制點9 的差量，控制點3 與控制點10 的差量，控制點4 與控制點11 的差量，這3 個量也作為輸出變量。輸出變量合計7 個。

圖1 基準翼型網格

圖2 某輸入參數下網格變形結果

4.2 目標和設計約束

目標翼型在Ma=0.4 巡航狀態需具有較高的升阻比、較小的阻力以具有較長的航時，在Ma=0.15 大迎角狀態還需具有較高的升力系數。由于飛機目標為按照機翼安裝角-3 度設計并在0 度迎角附近巡航，翼型設計目標為：（1）Ma=0.4，在迎角-3 度升力系數不低于0.15 且盡量大，阻力系數不高于0.0053；（2）Ma=0.15，在迎角10 度時升力系數不低于1.7 且盡量大。設計約束條件主要是厚度條件，相對厚度可以減小但不能低于12%。

4.3 樣本分布生成

在建立Kriging 模型前，需要完成試驗設計（DOE）以獲得樣本點。試驗設計中，通過取樣策略確定樣本點的數量和樣本空間分布。常用的樣本設計方法一般有正交設計、中心復合設計、均勻設計、隨機取點設計、拉丁超立方設計等方法,也可以自己創建樣本設計方法。抽取的樣本點希望覆蓋比較均勻，又希望顯著減少樣本數量以降低計算規模和計算周期。本文中，采用的是ANSYS WORKBENCH 中的Custom+Sampling 方法先建立總數為300 的初始試驗樣本，在必要時將后續優化驗證結果也添加到試驗樣本中以有效填充設計空間。

4.4 優化設計結果與分析

在ANSYS WORKBENCH 中采用上述方法建立優化流程，并采用CFD 方法獲得試驗樣本作為訓練樣本。在獲取了各樣本點的具體數據之后，采用Kriging 模型構建通過翼型設計參數計算氣動特性的近似模型，在上述約束條件下采用多目標優化方法進行翼型優化，不進行目標函數歸一化處理以便直接獲得設計點處的設計值。優化設計前后翼型的氣動特性結果對比見表1，優化設計前后的翼型形狀對比見圖3。優化后，翼型相對厚度從13%減小到12.5%。從表1 可見，經過優化設計后，在Ma=0.4 時，阻力系數增加較小，但升力系數顯著提高，升阻比提高較多；低速大迎角時的升力系數也有所增加。

表1 優化設計前后對比

圖3 優化前后翼型

5 全機試驗驗證

采用上述優化后的翼型生成機翼，裝配于機身，按照1:7.5 的比例縮比設計和制造了風洞試驗模型，在FL-8風洞中完成了全機風洞試驗。全機試驗模型見圖4，全機典型狀態試驗結果見圖5、圖6。采用優化后的翼型設計生成的機翼及全機，在典型狀態的氣動力試驗結果滿足了設計要求，達到了預期目的。

圖4 試驗模型圖

圖5 風洞試驗結果（升力系數～阻力系數）

圖6 風洞試驗結果（升力系數～迎角）

6 結論

本文通過使用網格變形技術和CFD 方法獲得翼型優化的試驗樣本，采用Kriging 模型進行了多目標多約束條件下的低速翼型優化設計研究，獲得了滿足設計目標的翼型。將優化獲得的翼型隨全機進行了風洞試驗驗證，全機氣動特性滿足設計目標要求。上述方法設計的翼型通過全機試驗驗證，表明該翼型優化設計方法可以快速有效地用于飛機翼型設計，極大地推動了目標飛機進一步的氣動設計工作。