數(shù)學活動：在深度參與中獲得深切體驗
——以蘇科版數(shù)學八（上）活動課“探尋勾股數(shù)”為例

■鐘 鳴 胡秉中

數(shù)學活動課是課程內(nèi)容“綜合與實踐”的基本實施方式。開展數(shù)學活動的目的是拓寬學生的知識面，培養(yǎng)學生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，幫助學生積累基本活動經(jīng)驗，提高學生解決實際問題的能力。下面，筆者以蘇科版八年級上冊數(shù)學教材第三章“勾股定理”的數(shù)學活動課“探尋勾股數(shù)”為例，基于課程基本理念，圍繞深度參與，設(shè)計了一堂數(shù)學活動課，旨在讓學生深度參與活動，獲得對數(shù)學知識、方法和思想的深切體驗。

一、活動構(gòu)思

勾股數(shù)相伴勾股定理而產(chǎn)生，在數(shù)學發(fā)展史上具有獨特的文化價值。帶領(lǐng)學生探尋勾股數(shù)，感受數(shù)學家構(gòu)造勾股數(shù)的基本方法，既是對勾股定理知識的復(fù)習和鞏固，又能夠訓練和發(fā)展學生的數(shù)學思維，幫助學生領(lǐng)略數(shù)學的文化價值，激發(fā)學生的好奇心和求知欲。

學生學習了勾股定理，知道了一些簡單的勾股數(shù)、勾股定理及其逆定理，也能夠利用勾股定理解決簡單的問題，但對于大量的勾股數(shù)及其構(gòu)造方法還不了解。學生雖然具備聯(lián)想的基本能力，但對于一些不太明顯的勾股數(shù)的形式特征和跨度較大的知識，聯(lián)想能力較弱。由勾股數(shù)的形式特征聯(lián)想到完全平方公式，對于學生而言是一個難點，需要教師在探尋的過程中對學生加以引導(dǎo)。

基于以上認識，筆者確定本節(jié)課的活動目標：經(jīng)歷運用已有知識解決問題的過程，體會數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系；經(jīng)歷用多種方法探索勾股數(shù)，體會勾股定理的文化價值；經(jīng)歷克服困難、取得成功的過程，獲得一些研究問題的經(jīng)驗和方法。

二、活動過程

1.課前活動：奠定深度參與的基礎(chǔ)。

［活動1］以“勾股數(shù)”為關(guān)鍵詞，進行網(wǎng)絡(luò)搜索，查閱文獻，了解“勾股數(shù)”的發(fā)展歷史和構(gòu)造方法。

［設(shè)計意圖］深度參與是“全員、全程、全面”的“三全”參與。在借助信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)搜集學習資源的環(huán)節(jié)中，所有學生都能投入到現(xiàn)實的學習活動中，為課上交流提供了豐富的學習素材。

2.課上交流：促進深度參與的形成。

［問題1］根據(jù)你的課前研究，說一說你已經(jīng)知道的勾股數(shù)有哪些？

生：3、4、5；3k、4k、5k；5、12、13；5k、12k、13k；7、24、25；7k、24k、25k；9、40、41；9k、40k、41k……

隨后教師給出一些數(shù)，讓學生判斷這些數(shù)是不是勾股數(shù)。

［問題2］歷史上，不少數(shù)學家都對勾股數(shù)的構(gòu)造進行了積極的探索，你能跟大家分享數(shù)學家探索的結(jié)果嗎？

生1：柏拉圖給出了一個計算公式，a=n2-1，b=2n，c=n2+1，其中n為大于1的整數(shù)。

追問：你能證明a、b、c是勾股數(shù)嗎？

師總結(jié)：歷史上，數(shù)學家對勾股數(shù)的探索很多，不少數(shù)學家給出了不同的勾股數(shù)的計算公式，每個公式都可以計算出無數(shù)多組勾股數(shù)。那么，這些計算公式是怎么構(gòu)造出來的呢？

［設(shè)計意圖］深切體驗是“深刻、切實、親身”的具體化體驗。從勾股數(shù)類別、數(shù)學史的角度介紹勾股數(shù)，將數(shù)學文化滲透其中，學生的感受是切實的，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，自然地引出了課題。

［活動2］用學過的知識探尋怎么構(gòu)造勾股數(shù)。

［問題3］構(gòu)造勾股數(shù)，就是要找到3個正整數(shù)，使它們滿足“兩個數(shù)的平方和（或差）等于第三個數(shù)的平方”，即滿足如下形式：（ ）2±（ ）2=（ ）2。想想看，在我們學過的知識中，哪類知識也有這種形式？

生2：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2。

生3：（a+b）2-（a-b）2=4ab。

師：哪個式子最接近a2±b2=c2的形式？

生4：生3給出的式子。

師：a、b既可以表示數(shù)，也可以表示式子。當a、b表示什么式子的時候，可以讓ab變成平方式呢？

生5：a=b3時，此時原式變?yōu)椋╞3+b）2-（b3-b）2=（2b2）2。

師：很好，這時我們得到勾股數(shù)：b3+b，b3-b，2b2。

生6：老師，這和柏拉圖公式是一樣的：b（b2+1），b（b2-1），b·2b。

師：對的，你看得非常仔細。a、b還可以表示什么式子，從而使ab變成平方式呢？

生7：a=m2，b=n2。

師：很好，這樣得到的勾股數(shù)計算公式，就是古希臘數(shù)學家丟番圖的計算公式：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m>n，m、n為正整數(shù)。如果在古代，你們就是大數(shù)學家了。

師總結(jié)：利用已經(jīng)學習過的平方差公式，可以構(gòu)造勾股數(shù)的計算公式——柏拉圖公式和丟番圖公式。

［設(shè)計意圖］引導(dǎo)學生展開聯(lián)想、對比、探索，了解勾股數(shù)計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷類似數(shù)學家的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，感受數(shù)學的魅力，激發(fā)學生的探究興趣。

［活動3］請在表1中填寫對應(yīng)的勾股數(shù)。

表1

［問題4］觀察勾股數(shù)3、4、5，16、63、65，20、99、101……它們有什么共同點？你能借助之前得到的勾股數(shù)的計算公式，探索并構(gòu)造這樣的勾股數(shù)嗎？

師總結(jié)：丟番圖計算公式雖然可以計算出無數(shù)多組勾股數(shù)，比如勾股數(shù)“3、4、5”，但是卻不能計算出勾股數(shù)“9、12、15”。

［設(shè)計意圖］通過填表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，了解勾股數(shù)計算公式的局限性。

［活動4］一位數(shù)學家在他找到的勾股數(shù)的表達式中，用2n2+2n+1（n為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù)。你能找出另外兩個數(shù)的表達式嗎？

生8：假設(shè)c=2n2+2n+1=（n+1）2+n2。根據(jù)丟番圖計算公式，可以寫出a=（n+1）2-n2，b=2（n+1）n；根據(jù)畢達哥拉斯計算公式，可以寫出a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1。

師總結(jié)：畢達哥拉斯計算公式可以由丟番圖計算公式推導(dǎo)出來。

［設(shè)計意圖］通過對c進行因式分解，經(jīng)歷依據(jù)丟番圖計算公式推導(dǎo)畢達哥拉斯計算公式的過程，感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.活動小結(jié)：顯化深度參與的感悟。

［小結(jié)］請你分享這節(jié)課的學習心得。

［設(shè)計意圖］引導(dǎo)學生在分享中，將自己對知識、方法和思想的深切體驗和深刻領(lǐng)悟表達出來。通過外部言語將內(nèi)部思想的結(jié)果顯化出來，是積累基本活動經(jīng)驗的基本方式。

三、活動反思

1.增加課堂趣味性，促進學生深度參與。

初中數(shù)學課的設(shè)計要符合學生的心理特征，而本階段的學生對新的事物具有極強的好奇心，因此要想學生深度參與到活動課中去，首先要改變課堂開展的形式，比如在活動教室進行授課，或者將學生分成多人小組，采用面對面的形式。這樣不僅有利于學生合作交流，還能激發(fā)學生的學習興趣，促進學生的深度參與。

當然，課堂內(nèi)容的趣味性才是激發(fā)學生學習興趣的根本。增強課堂趣味最為簡單實用的教學手段就是進行學科滲透。本節(jié)課中，筆者從數(shù)學史、數(shù)學文化等視域開發(fā)課程資源，在講述勾股數(shù)的發(fā)展歷史和構(gòu)造方法時，配以趣味性的幻燈片，運用講故事的方法引出相應(yīng)的計算公式，以激發(fā)學生的求知欲，促進學生深度參與。

2.設(shè)計核心問題，促進深切體驗的發(fā)生。

學生深度參與的前提是主動參與、積極參與、自然參與，其核心在于思維參與。教師應(yīng)注重啟發(fā)，設(shè)計核心問題，將學生的思維帶入課堂，讓學生以問題為載體，積極主動地參與課堂。

本節(jié)課中，筆者從探索勾股數(shù)入手，引導(dǎo)學生復(fù)習勾股數(shù)的有關(guān)概念，從判斷是不是勾股數(shù)，到能不能想出表示勾股數(shù)的方法，再到如何將4ab表示成平方的形式，師生互動良好，教學過程流暢。在課堂上，只要舍得給學生機會和時間，學生就能夠給出很多有創(chuàng)意的思路。當然，前提是教師要設(shè)計好問題。例如問題“怎樣使4ab變成平方式”，使得學生以不同的想法探索下去并獲得不同的結(jié)論，而這些結(jié)論中，有些恰恰是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的。學生知道后，成就感、自豪感獲得激發(fā)，情緒狀態(tài)變得非常飽滿，促進了深切體驗的發(fā)生。再如，讓學生理解柏拉圖、丟番圖以及畢達哥拉斯給出的計算公式之間的聯(lián)系是一個難點，對于這個難點，教師設(shè)計問題進行啟發(fā)很重要。此外，還要留時間給學生化簡驗證，讓學生充分理解不同公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。

3.開展即時評價，保障參與和體驗。

在數(shù)學活動課上，為了確保學生深度參與和深切體驗，教師需熟練運用即時的課堂評價。所謂“即時”，就是“當下、立即”的意思，即教師在各個課堂環(huán)節(jié)中隨時對學生的課堂表現(xiàn)做出相應(yīng)的評價，時刻觀察、了解學生的課堂參與情況，以語言或獎品的形式對學生進行表揚或鼓勵。評價的形式包括教師評價、同學評價、自我評價，旨在最大限度地讓學生認識自我，增添信心。

比如，本節(jié)課中，筆者采用了小組實時計分的即時評價方法，以問題和活動為計分點，一方面根據(jù)學生在各個環(huán)節(jié)的表現(xiàn)進行打分，另一方面讓學生利用教材提供的數(shù)學活動評價表，從課堂內(nèi)容掌握情況、課堂表現(xiàn)、課堂體驗三個角度，進行自我評價、同學評價、小組評價，最終得分高的小組獲得相應(yīng)的獎勵。課堂上學生討論激烈，課堂氛圍濃郁。課后，教師還可以結(jié)合課堂觀察與小組得分情況，賦予評語或給予獎勵，以提高學生的學習積極性。