巧用“數學模型”，滲透模型思想

福建省福州市倉山區教師進修學校 林曉捷

模型思想是小學數學教學十大核心概念之一，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，它是唯一用“思想”命名的核心概念。數學模型與生活密切相關，其原型來源于生活。在教學中滲透模型思想實則是幫助學生在頭腦中建立關于模型的結構，并通過練習與實際操作鍛煉學生的抽象思維，激發學生對數學的學習興趣，從而使學生可以建立完備的數學體系，并將知識應用在實際生活中，進而不斷提升學生解決實際問題的能力。

一、滲透模型思想的意義

學生對問題進行建模的過程也是對問題進行歸納分析的過程，通過對問題進行分析，抽象出數學問題，建立模型并解決問題。學生在經歷整體的知識建構之后，有利于培養自身搭建解決問題的思路，從而提高解決問題的能力。學生在建模的過程中首先要做的是分析問題的結構框架，在分析過程中訓練的是學生剖析問題與提出問題的能力，其次才是鍛煉學生解決問題的能力。教師在滲透模型思想的過程中，不斷誘導學生對問題進行探究，通過思考、分析、解決和反思的循環過程，不僅有利于學生鞏固所學知識，同時也有利于其逐漸養成探究思維的習慣。因此，在小學數學教學中滲透模型思想，建立模型顯得尤為重要。

二、理解數學的常用模型

“數學模型”代指數學語言、符號、圖形和算法等能夠概括或表述實際問題的主要特征以及主要關系的數學結構。小學數學中蘊含的“數學模型”有：數量模型——反映一個數與另一個數之間的關系；運算模型——關于數的加減乘除運算以及一些常見的數量關系；方程模型——方程是建模思想的重要體現；幾何圖形模型——把每一種圖形看作一種數學模型。平面圖形的周長、面積以及立體圖形體積的計算公式教學，是模型化思想滲透的重要載體。

（一）數量模型

主要反映一個數與另一個數之間的關系，比如總數與部分數之間的關系。一般建立的模型是“總數=部分數+部分數”或“總數=每份數份數”，也可以依據情境的不同引導學生靈活地使用這類模型來解決現實生活中的具體問題。

（二）運算模型

數學概念的特點是抽象、概括，有的概念對學生來說不容易直接理解，教師要善于運用運算模型尋找生活中的直觀物體或借助數學中的運算模型，借助與數學對象有關聯的實際存在物或替代物作為參照，建立與數學概念的關聯，引導學生進行形象、簡明的聯想與思考，從而深刻理解概念的內涵與外延。小學數學教學中，特別是小學中低年級，學生的思維以具體形象思維為主，教師要善于尋找學生喜歡、樂于接受的實物模型，借助與數學對象有關聯的實際存在物作為參照，建立與數學對象的關聯，便于學生進行形象、簡明的聯想與思考，讓學生感知直觀模型，感受直觀模型對學習數學的幫助。例如，在小學數學“數位”的學習中，十根小棒捆成一捆，十捆裝成一盒，這里的一根小棒、一捆小棒、一盒小棒就是針對個位一、十位十、百位一百的實物直觀模型。

（三）方程模型

方程模型是指從分析問題的數量關系入手，適當設定未知數，把所研究的數學問題中已知量和未知量之間的數量關系轉化為方程或方程組的數學模型，從而使問題得到解決的思維方法。方程模型的獨特優勢是使問題簡單化，方便解題。

（四）幾何模型

這部分內容是小學所學的平面圖形和立體圖形及相關的物體，并且這些物體和圖形是用數量、幾何特征進行清晰表達的模型，其包含周長、面積、體積、容積相關的模型。學生只要理解和掌握這些基本幾何模型，無論圖形是大是小，無論是圖形計算題還是生活實際操作，都可以用這個公式去解決，大大節省了時間，提高了解決問題的效率。

三、模型思想的培養

數學解決問題是由一定的情景引起，按照一定的目標，應用各種認知活動、技能等，經過一系列的思維操作，使問題得以解決的過程。數學問題能否得到正確解決首先取決于學生對問題的理解分析是否正確。但問題通常都具有抽象性的特點，學生很難理解，也難以轉化為自己可理解的內部語言，此時如何將問題表述的內容轉化為自己可理解的內容成為學生能否解決問題的先決條件，巧用各類解決問題模型，就能有效解決這個問題。借助各類解決問題模型這一解決問題的策略，通過模型思想來揭示數量之間的關系，將抽象的數學問題、數量關系變得簡單形象、有模型、善拓展，不僅使解題思路簡捷明了，還有助于學生拓展解題思路，豐富數學解題策略。

（一）先探索后建模，再驗證

給予學生充分的時間，讓學生經歷構建模型的探索過程，然后在探索已有經驗的基礎上構建模型，進行教學。比如各種平面圖形的周長、面積，立體圖形的體積、表面積公式的探索，還有各種運算定律的探索等。在學生學習了教材各種基本模型以后，利用已有知識解決新的更加復雜的各種問題，能夠舉一反三（如圖1），如方程問題、植樹問題、雞兔同籠、找次品、抽屜原理等。

（二）減少“講與聽”，增加“說與做”

心理學研究表明，學習者采用不同的學習方式，其收獲顯著不同，看一遍的收獲是10%，聽一遍是20%，說一遍是70%，動手做一遍（如操作、演練等）是90%。

從中我們可以看出，減少學生被動聽講的時間，增加學生表達、操作、互動的時間是最有效的一種建模方式（如圖2）。例如，小組合作學習過程中兩人一組互相說一遍，動手寫一寫，會比只聽教師或其他人講一遍收獲大得多。

（三）借助幾何直觀模型，形象理解概念

數學概念的特點是抽象概括，是事物本質屬性的反映。概念、定義、公式、法則、定律、規則等都是概念性知識，這些知識對于學生而言，有兩種獲得的方式：類比和概括。當學生學習新的數學概念時，利用已有認知結構中的概念與新的概念之間建立聯系進行認知，即遷移類比。從大量具體例子出發，概括出新概念的本質屬性概念，從而認知新的概念，即歸納概括。教師要善于鼓勵學生在學習中發現所學知識的規律，教學時有意識地培養學生在畫圖中構造直觀模型的能力，通過引導學生畫幾何直觀圖，把語言抽象的表述轉化為具體可感的探究載體，在直觀模型中發現規律，獲得探索數學知識的方法，積極建構數學知識體系，促進發現規律、應用規律意識的生成。

圖3

圖4

圖5

通過以上實例，不難看出數學概念的特點是抽象、概括。有的概念對學生來說不容易直接理解，教師要善于運用幾何直觀模型，尋找生活中的直觀物體或借助數學中的直觀圖形，借助與數學對象有關聯的實際存在物或替代物作為參照，建立與數學概念的關聯，引導學生進行形象、簡明的聯想與思考，從而深刻理解概念的內涵與外延。

（四）借助直觀模型，探索發現規律

模型思想是指借助于一定的經驗，借助表象或聯想到的數學模型，直接把握數學的本質的能力。利用適當的圖形、幾何模型進行數學解釋，能夠開拓學生思路，幫助學生理解和接受抽象的數學內容和方法，直觀的數學模型能讓數學變得通俗易懂。模型思想不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數學學習過程中。模型思想能力是學生重要的數學能力之一，可通過初步感知模型思想、探索發現規律、構造運用模型、反思模型合理性等來培養學生的模型思想能力。

圖6

教師要善于鼓勵學生在學習中發現所學知識的規律，從一年級開始，教學時有意識地培養學生在畫圖中構造直觀模型能力，通過引導學生畫幾何直觀模型，把抽象的語言表述轉化為具體可感的探究載體，畫圖發現規律，做到動口、動腦、動手，體驗規律的形成過程。在直觀模型中發現規律，獲得探索數學知識的方法，積極建構數學知識體系，促進發現規律、應用規律意識的生成。

總之，數學是一種模型科學，數學教學同樣是模型建構的教學。小學數學的內容雖然簡單，但卻蘊含深刻的數學思想，教學中應將感悟作為學生獲得數學基本思想的途徑和要求。教師要有意識地引領學生建構有意義的數學模型，滲透數學模型思想，引導學生建構數學模型，促進學生把握數學模型的本質，才能切實減輕學生的學業負擔，達到“減負提質”的最佳效果。