基于IWOA算法的Tsallis相對熵圖像多閾值分割

湯弘毅，徐 武*，楊昊東，徐浩東

(1.云南民族大學 電氣信息工程學院，昆明 650000)(2.陜西長慶專用車制造有限公司，咸陽 712000)

圖像分割是指將圖像劃分成具有不同特性的區域，并提取出有用目標區域的過程，是理解和分析圖像的重要前提，是圖像處理的重要環節.目前，用于圖像分割的技術很多，大致分為基于邊界、基于區域、基于聚類以及基于閾值4類方法.基于閾值的方法是最簡單、計算效率高且應用最為廣泛的圖像分割方法之一.閾值技術的主要目的是找出用于圖像分割的閾值，如果圖像中有多個灰度值不同的區域，那么可以選擇一系列的閥值以將每個像素分到合適的類別中去.只用一個閥值分割稱為單閥值方法，用多個閥值分割則稱為多閥值方法.在單閾值法中，選擇一個閾值將圖像分割為目標和背景；而在多級閾值法中，多個閾值被確定，并將圖像分割為多個區域[1].

多閾值選擇屬于一個優化問題，而傳統方法求解最佳閾值計算十分復雜耗時.近年來，由于群智能優化算法在解決現實世界中高度非線性和多峰優化問題的突出表現而受到廣泛關注，提出了一系列應用群智能優化算法來獲得最優閾值的方法.文獻[2]提出了一種基于鯨魚優化和蛾火焰優化算法的多級閾值圖像分割方法，利用鯨魚優化和蛾-火焰優化兩種自然啟發算法來確定多級閾值情況下的最佳閾值，但是其控制參數較多，產生較大的計算復雜度.文獻[3]提出了一種基于灰狼優化器的多級閾值處理方法，受到灰狼社交和狩獵行為的啟發，利用Kapur熵和OTSU類間方差函數解決多級閾值問題，但是其存在收斂精度不夠的問題.文獻[4]提出了一種基于蛾群算法的多閾值圖像分割方法，該群智能優化算法通過使用Kapur熵方法來降低最佳閾值的計算復雜度.文獻[5]提出了一種基于粒子群優化算法和模糊熵的多級閾值圖像分割算法，通過選擇香農熵和模糊熵作為優化技術的目標函數，建立了基于粒子群優化算法的多層次閾值分割模型，解決了模型收斂緩慢、計算成本高的問題.上述方法有效降低了計算復雜度，提高了收斂速度，但是存在高度依賴于初始控制參數值的問題.此外群智能尋優算法有收斂速度慢，易陷入局部最優的缺點，需要對其進行改進方能得到滿意的分割結果.

文中對經典鯨魚優化算法(whale optimized algorithm，WOA)進行改進，提高了其收斂速度與全局尋優能力，再將改進鯨魚優化算法(improved whale optimized algorithm，IWOA)與Tsallis相對熵多閾值分割結合，提出了基于改進鯨魚優化算法優化的Tsallis相對熵的圖像多閾值分割算法.

1 標準鯨魚優化算法

鯨魚是世界上最大的哺乳動物，其中座頭鯨的捕獵方式尤為獨特，它們習慣于在水面附近進食，座頭鯨在下潛之后開始圍繞獵物以螺旋形狀形成氣泡，最后回到水面進行捕食.鯨魚優化算法就是由這種特殊的捕獵方式啟發而來的，將待求解問題的解空間類比于鯨魚種群，每個不同的鯨魚個體就是待求解問題的不同解，但是并不是每個個體都是所求的最優解，解決待求解問題的過程就是在不同個體中尋找最優解的過程，在鯨魚優化算法中個體通過隨機搜索、發泡網攻擊和收縮包圍3種方式不停的更新鯨魚個體的位置，不斷地尋找靠近最優解，如此反復方能求得待求解問題的最優解[6].

其中鯨魚選擇的位置更新方式不定，當參數|A|≤1時，鯨魚個體遠離隨機個體包圍獵物，趨向于最優個體，當參數|A|≥1時，鯨魚個體被迫偏離獵物位置，以此搜尋更優的獵物.當參數|A|≤1時數學模型為：

(1)

式中：p∈[0,1]；l為隨機數，同時l∈[-1,1]；D為當前位置與最優解的距離；D′=|X*(t)-X(t)|；b為螺旋常數，令b=1.其中D=|C·X*(t)-X(t)|，其中t為當前迭代次數，X(t)為鯨魚在第t代的位置；X*(t)為獵物在第t代的位置向量；A=2?r1-?，C=2r2，其中r1、r2為隨機數，并均勻分布在[0，1]上，?的最大值為2，最小值為0，并且線性遞減，定義為：

(2)

當參數A滿足|A|≥1時數學模型為：

X(t+1)=Xrand(t)-A·|C·Xrand(t)-X(t)|

(3)

式中：Xrand為隨機位置，以避免陷入局部最優.

2 改進鯨魚優化算法

2.1 基于Sobol序列初始化

在處理分布未知的問題時，種群的初始值應當盡可能地在搜索空間中均勻分布，以保證較高的遍歷性和多樣性，提升搜索效率.為提升全局搜索能力，可利用混沌搜索優化初始化序列，但其存在兩點不足：一是隨機性強，算法運行時會面臨很大的不確定性；二是相鄰點緊密相關，若迭代至不穩定點則無法繼續運行.

低差異序列通過選擇合理的采樣方向，將盡可能均勻的點填充至多維超立方體單元，因此在處理概率問題時，具有更高的效率和均勻性.其中，Sobol序列計算周期更短、采樣速度更快，并且在處理高維度序列上有更高的效率.因此，采用Sobol序列對初始化種群進行映射[7].設最優解的取值范圍為[xmin,xmax]，Sobol序列產生的隨機數Kn∈[0,1]，則種群初始位置可定義為：

xn=xmin+Kn·(xmax-xmin)

(4)

相比偽隨機數序列，通過Sobol序列產生的初始化種群落入每個范圍內的個體數量大致相同，分布更加均勻，遍歷性更廣[8].

2.2 黃金正弦算法

(5)

式中：R1為[0,2π]隨機數，決定下一迭代中個體的移動距離；R2為[0，π]的隨機數，決定下一次迭代第i個個體的位置更新方向.

2.3 基于高斯函數的慣性權重

在群智能尋優算法中，慣性權重被用來調整之前位置對當下位置的影響從而達到加強或者減弱算法的搜索能力的目的.設置遞減型慣性權重的原因是遞減函數在初期的值較大能獲得較大的權重，會加強之前位置對當下位置的控制，降低了相對吸引度，達到加強算法的全局尋優能力同時逐漸減弱局部搜索能力的目的.高斯函數是服從正態分布的函數，其中a、b與c是實常數，c被稱為高斯函數的擴展函數，與函數圖像的半峰和全寬有關，其值越大高斯函數的函數圖像就越平坦反之則越陡峭.設計的基于高斯函數的遞減慣性權重為：

(6)

式中：k=0.13；l是一個常數，用來調節函數的對稱軸，調整迭代初期出現較小權重的多少，此處l=0.5；取ωmax=0.8，ωmin=0.3.文中設置的ω(t)慣性權重函數基本服從正態分布，有利于提高算法的全局搜索尋優能力和收斂速度使算法避免過早陷入局部最優并且減少迭代的次數，從而提高了算法的整體效率.考慮到搜索獵物階段選取的隨機鯨魚位置向量，IWOA算法的位置更新公式為：

X(t+1)=ω(t)·X*(t)-A·D|A|<1p<0.5

(7)

(8)

X(t+1)=ω(t)·Xrand-A·Drand|A|≥1

(9)

2.4 改進鯨魚優化算法

為了解決WOA算法收斂速度慢，易陷入局部最優等問題，引入Sobol序列、黃金正弦算法和設計基于高斯函數的慣性權重3種策略進行改進.

(1)在算法初始化階段引入類隨機采樣方法中的Sobol序列.大多數的群智能算法根據不同的概率分布產生一系列(0,1)之間的隨機數，而這種隨機性可能會導致算法收斂速度變慢，影響目標解的質量.WOA算法是從一個隨機種群開始搜索，導致初始化種群缺乏種群多樣性，因此，文中采用Sobol序列產生初始種群并替換算法中的種群位置.

(2)引入黃金正弦算法優化算法的尋優方式.在螺旋式狩獵機制中，座頭鯨在尋找到獵物后，向獵物位置移動并通過對數螺旋式運動捕獲獵物，獵物位置即最優個體的位置是此螺線運動過程中的導向坐標，這雖然有助于算法后期收斂速度的提升，但是該尋優方式易使種群個體在解空間內迅速集聚，從而導致群體多樣性銳降，增大陷入局部最優的可能性.因此，在保留WOA算法的包圍式狩獵機制和隨機狩獵機制的基礎上，利用黃金正弦算法對螺旋式狩獵機制進行改進.IWOA算法中鯨魚向獵物位置移動并通過黃金正弦螺旋式運動捕獲獵物，每一次迭代中鯨魚個體都會與最優個體進行信息交流，每個個體都可以充分吸收自身與最優個體的位置差信息，同時利用引入黃金分割數而得到的系數逐步縮小搜索空間，且通過參數控制位置更新距離和方向，引領個體穩步趨近最優值.

(3)引入一種基于高斯函數的慣性權重.在當前大多數群智能優化算法中，權重可以影響算法的全局探索和局部開發能力的平衡.通常較大的慣性權重能夠讓算法具有較好的全局探索能力，而較小的慣性權重會使算法具有較好的局部開發能力.在算法迭代早期應使用較大的權重，讓算法以較大步伐快速到達目標值附近；而在迭代后期，應使用較小的權重，讓鯨魚較小的步伐移動，以便在目標解的附近精確搜索，更好的局部尋優.WOA算法在搜索包圍和位置更新時權重為定值，文中設計了一種基于高斯函數的遞減慣性權重并加入到位置更新公式當中，使算法的全局搜索和局部開發得到較好的平衡，增加了算法跳出局部最優區域的概率，提高了算法的整體效率[9].

3 基于IWOA算法的Tsallis相對熵多閾值分割

Tsallis熵是基于由Boltzmann-Gibbs理論產生的非廣延統計的機制，在很多領域都有其相關應用.基于香農熵而提出的的Tsallis熵，是優于傳統的最大熵閾值的，選取其進行閾值分割以求更好的分割結果[10].Tsallis相對熵源于Tsallis熵，同時Tsallis相對熵作為一種相對熵準則，多被用來進行不同系統之間一致性測試[11].將Tsallis相對熵作為目標函數進行全局優化，憑借IWOA算法良好的全局收斂性和魯棒性，避免陷入局部最優，同時應用到多閾值圖像分割，分割閾值更加穩定，分割質量更高.

圖像的閾值分割就是對一幅灰度取值在Gmin和Gmax之間的圖像確定一個灰度閥值T∈[Gmin,Gmax]，然后將圖像中每個像素的灰度值與閥值T相比較，并將對應的像素根據比較結果劃分為大于閥值的和小于閥值的兩類.這兩類像素一般對應圖像中的兩類區域.如果圖像中有多個灰度值不同的區域，那么可以選擇一系列的閥值以將每個像素分到合適的類別中去，即多閥值分割方法.

基于Tsallis相對熵的多閾值分割將待分割圖像設為I(x,y)，m×n為其尺寸大小，其中x∈[1,m]，y∈[1,n]，最大灰度級為L.設一共有N個閾值，將圖像分為N+1個區域：A1,A2,…,AN+1，圖像的閾值化準則即Tsallis相對熵函數為：

JP(H|R)=

(10)

式中：R={ri|i=1,2,…,L}為分割后圖像灰度級的擬合高斯分布；hi=ni/(m×n)為灰度級i在圖像中出現的頻率；H為圖像的灰度級直方圖分布概率;q為Tsallis相對熵的非廣延指數.在對圖像進行分割時，如果能夠找到N個分割閾值t1,t2,…,tN，使式(10)值最小，那就是最優閾值[12].

為了改善基于Tsallis相對熵多閾值圖像分割方法計算量大、速度慢的問題，引入IWOA算法求解 Tsallis 相對熵函數的最優解，充分利用圖像灰度直方圖的信息，尋找多個閾值將圖像分為多個類別進行分割，將基于Tsallis相對熵的多閾值分割與IWOA算法結合起來，以求更好的分割效果、精度與速度.

4 實驗結果與分析

為驗證IWOA的算法性能，設計了基準函數對比測試與基于IWOA的Tsallis相對熵圖像多閾值分割對比實驗.基準函數對比測試是為了驗證改進算法的通用性能是否得到了提高.基于IWOA的圖像多閾值分割實驗是為了檢驗IWOA算法應用于圖像分割的可行性，也是為了將文中算法方案與現有基本方法進行對比，從而說明算法的優越性[13-15].

4.1 基準函數對比測試

為驗證IWOA算法的全局搜索尋優能力，文中采用4種不同類型的測試函數，如表1.

表1 基準函數

函數F1～F4具有不同的特征：F1單峰變量可分離(unimodal and variables separable，US)、F2單峰變量不可分離(unimodal and variables non-separable，UN)、F3多峰變量可分離(multimodal and variables separable，MS)、F4多峰變量不可分離(multimodal and variables non-separable，MN).WOA算法和IWOA算法在4個基準函數上的收斂曲線如圖1～4，從圖1～3中能夠發現IWOA算法相較于WOA算法，收斂速度明顯提升，算法精度也更高.由于在圖4中，兩種算法都能早早收斂尋得最優值，因此對于多峰變量不可分離函數展示迭代100的對比結果圖，如圖5，其中IWOA算法在第4次迭代就找到函數最小值-1.031 6，而WAO算法是在第20次迭代成功找到函數最小值-1.031 6，相比之下IWOA算法收斂速度更快.

圖1 F1單峰變量可分離函數

圖2 F2單峰變量不可分離函數

圖3 F3多峰變量可分離函數

圖4 F4多峰變量不可分離函數

圖5 F4多峰變量不可分離函數(迭代100次)

表2中記錄的是表1中4個函數的最小值，以及IWOA算法和WOA算法對4個函數單獨測試的最優值、平均值與標準差，其中最優值為算法求出的函數最優解，平均值是算法在迭代過程中每一次迭代得到解的均值，標準差是算法每次迭代得到的解值與其平均值離差平方的算術平均數的平方根.

從表2當中可以看出，IWOA算法找到最優值的迭代次數總是小于WOA算法的，而且在F1、F2和F4函數中IWOA算法都尋找到了函數的最小值，在F3函數中雖然兩種算法都沒有找到最小值0，但IWOA算法得到的最優解更加接近于最小值0，說明IWOA算法可以有效避免陷入局部最優同時收斂速度更快.表2中算法的最優值和函數最小值可以體現算法的精度，算法最優值與函數最小值的差越小，說明其精度越高，能夠求出正確的函數的最小值；平均值可以體現算法的收斂速度，相同迭代次數下平均值越接近最優值就說明算法的收斂速度越快，表示算法早早收斂導致大部分數據與最優值相近；標準差可以體現算法的穩定性，越接近平均值表示算法的穩定性好，所得解都更加接近平均值.由此可見IWOA算法較WOA算法在尋優精度、穩定性以及收斂速度方面都更好，具有優良的尋優能力.

表2 算法性能比較

4.2 基于IWOA優化的多閾值分割對比實驗

為了驗證文中算法的可行性與優越性，實驗選取經典的Lena圖、Cameraman圖、Baboon圖和Peppers圖作為測試圖像，并基于OTSU和最大熵兩種分割準則依次進行雙閾值、三閾值、四閾值和五閾值圖像分割.

基于閾值的分割方法分為單閾值和多閾值.單閾值是為了找到一個閾值，對于灰度圖像素值在區間[0,255]內，如果像素低于閾值就認為是背景，否則認為是前景；多閾值方法是尋找多個閾值，將圖像分為多個部分使用多個閾值來分離并代表圖像中包含的多個對象區域中的像素，以得到更好的分割結果.在單閾值的情況下，可以嘗試所有的可能值，然后選擇得到最好的分割結果的值作為閾值.對于多閾值分割，嘗試所有可能的組合的計算量會隨著閾值個數不斷提升，很明顯嘗試所有可能的閾值對于多閾值分割而言并不可行，需要要使用更有效的算法來尋找閾值.文中使用所提IWOA算法進行Tsallis相對熵多閾值圖像分割.

將峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)作為圖像分割結果優劣的評判標準，公式為：

(11)

式中：MSE為分割后圖像g和原始圖像f的均方誤差，可表示為:

(12)

分別對OTSU、最大熵分割和基于IWOA算法的Tsallis相對熵多閾值圖像分割算法進行對比實驗，測試閾值個數n取2，3，4和5時實驗結果，記錄最佳分割閾和PSNR值，其中PSNR值越大分割效果越好.結果如表3～5，可以看出所提算法分割速度更快，PSNR值雖然在閾值為2的時候較低，但在高閾值分割表現優越，優于傳統的OTSU和最大熵分割算法[16].

表3 基于OTSU的分割結果

為直觀了解所提算法分割的優越性，圖6～9分別顯示了3種算法對4個經典測試圖像進行多閾值分割的對比，每個圖從上到下依次是基于本文算法、基于OTSU、基于最大熵的多閾值分割實驗對比結果，圖中從左到右依次為原圖、雙閾值、三閾值、四閾值和五閾值分割結果.從分割結果可以看出，基于IWOA算法的Tsallis相對熵多閾值圖像分割結果中細節更清晰，信息更完整，分割質量更高.

表4 基于最大熵的分割結果

表5 基于IWOA優化的Tsallis相對熵分割結果

圖6 Lena多閾值分割對比

圖7 Cameraman多閾值分割對比

圖8 Baboon多閾值圖像分割對比

圖9 Peppers多閾值圖像分割對比

5 結論

文中提出了一種基于改進鯨魚優化算法(IWOA)優化的Tsallis相對熵的圖像多閾值分割算法.首先，在初始化階段引入類隨機采樣方法中的Sobol序列，增加種群的多樣性和遍歷性；其次，引入黃金分割數優化WOA的尋優方式；最后引入一種基于高斯函數的慣性權重，提高了算法的收斂效率，并將其與Tsallis相對熵的圖像多閾值分割相結合.為驗證算法的優越性，首先將IWOA算法與傳統WOA算法進行比較，采用4種不同類型的測試函數分別對比，結果顯示IWOA算法在尋優精度、穩定性以及收斂速度都更好，表現出優良的尋優性能；然后將所提算法與傳統的基于OTSU的多閾值分割算法和基于最大熵的多閾值分割算法進行對比，取2、3、4和5閾值分別進行實驗，結果顯示，基于IWOA算法的Tsallis相對熵多閾值分割算法結果中細節更清晰，信息更完整，分割質量更高，分割速度更快，證明了算法的優越性.