具有有界噪聲的非線性系統(tǒng)分布式融合估計(jì)

張思?jí)簦S姣茹

（西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，西安 710021）

0 引言

多感器數(shù)據(jù)融合利用來自不同的傳感器數(shù)據(jù)信息來源,采用多種計(jì)算機(jī)技術(shù)，在一定規(guī)則下進(jìn)行分析和計(jì)算，獲得對(duì)被測(cè)信息的一致相同性描述與解釋，進(jìn)而去實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)的決策和估計(jì)，使系統(tǒng)獲得比它的各個(gè)組成部分更家精確和完整的信息。目前常用的融合估計(jì)方法主要有兩種結(jié)構(gòu)：集中式融合估計(jì)和分布式融合估計(jì)。集中式融合估計(jì)能夠充分利用所有數(shù)據(jù)信息估計(jì)精度具有全局最優(yōu)性。然而，在傳感器數(shù)量較多或者存在傳感器故障時(shí)，算法實(shí)時(shí)性不高且魯棒性差。分布式融合估計(jì)對(duì)每個(gè)不同的傳感器信息進(jìn)行了局部?jī)?yōu)先處理，再經(jīng)過融合中心進(jìn)行全局估計(jì)，極大地提高了算法的實(shí)時(shí)性和魯棒性。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)分布式數(shù)據(jù)融合估計(jì)進(jìn)行了大量研究，取得了相當(dāng)多的成果。文獻(xiàn)［5］針對(duì)多傳感器線性離散隨機(jī)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)融合估計(jì)問題,應(yīng)用了遞推增廣最小二乘（RELS）算法和加權(quán)融合估計(jì)算法提出了未知融合模型參數(shù)辨識(shí)器，文獻(xiàn)［6］對(duì)于多傳感器下的線性系統(tǒng)，提出了分量按標(biāo)量加權(quán)融合算法，推導(dǎo)出卡爾曼（Kalman）狀態(tài)濾波器，文獻(xiàn)［7］研究了具有交叉相關(guān)噪聲的多傳感器系統(tǒng)的線性最小方差（LMV）意義上的全局的最優(yōu)序列和分布式融合估計(jì)算法，提出了一種全局最優(yōu)的順序融合濾波器，證明了所提出的順序融合濾波器和集中融合濾波器的估計(jì)精度的等價(jià)性。以上文獻(xiàn)的研究都假定系統(tǒng)受到的擾動(dòng)服從隨機(jī)分布，然而，實(shí)際應(yīng)用過程中，一方面在某些特殊情況下觀測(cè)數(shù)據(jù)不夠充分，往往導(dǎo)致無法獲得準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)特性；另一方面?zhèn)鞲衅飨到y(tǒng)存在的不確定性本質(zhì)上是非隨機(jī)的，這導(dǎo)致了上述算法的估計(jì)結(jié)果過于樂觀。

未知且有界不確定性的假設(shè)，只需要考慮不確定性的邊界，較之隨機(jī)假設(shè)，更易獲取。集員濾波算法（SMF）作為處理未知有界不確定性的估計(jì)方法，不同于卡爾曼濾波算法的點(diǎn)估計(jì)，它可以得到一個(gè)真實(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的可行集，在目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注和研究。目前對(duì)有界噪聲影響下的分布式融合估計(jì)也有部分研究，文獻(xiàn)［11］研究了有界噪聲影響下的線性系統(tǒng)的分布式融合估計(jì)問題，提出了一種新的凸優(yōu)化方法，通過通信網(wǎng)絡(luò)在相鄰濾波器之間交換信息得到局部橢球估計(jì)，文獻(xiàn)［12］對(duì)有界噪聲影響下的非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題進(jìn)行了研究，用SMF 算法確保定界橢球包含了真實(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)，使其所得到的結(jié)果是非發(fā)散且有界的，文獻(xiàn)［13］在文獻(xiàn)［12］的基礎(chǔ)上將SMF 算法更新步驟通過序列化觀測(cè)更新方法迭代計(jì)算橢球和的交集來實(shí)現(xiàn)全局估計(jì)。以上文獻(xiàn)要不從假設(shè)有界噪聲影響下的線性系統(tǒng)進(jìn)行分布式數(shù)據(jù)融合估計(jì)，或單一的對(duì)非線性系統(tǒng)下的SMF 算法的研究，對(duì)有界噪聲影響下的非線性系統(tǒng)的分布式融合估計(jì)問題研究較少。

綜上，本文考慮非線性系統(tǒng)的分布式融合估計(jì)問題，假設(shè)非線性系統(tǒng)受到的擾動(dòng)噪聲為未知且有界，通過處理非線性系統(tǒng)含有的有界未知噪聲，并且對(duì)系統(tǒng)帶有非線性部分進(jìn)行線性化處理，得到高階線性化誤差，將其與有界噪聲整合形成新的誤差項(xiàng)，得到更精確的局部狀態(tài)估計(jì)，從而設(shè)計(jì)出局部最優(yōu)濾波器。采用閔可夫斯基（Minkowski）和的并集方法使求出的全局最優(yōu)濾波器更加精確與完整。并通過理論推導(dǎo)與仿真對(duì)比試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證此算法性能的優(yōu)越性和有效性。

1 問題描述

考慮到非線性多傳感器系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別為：

其中，() ∈R表示時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)值，y() ∈R表示第個(gè)傳感器時(shí)刻的觀測(cè)值；表示傳感器的個(gè)數(shù)；(?) ∈R和h(?) ∈R為均為已知的二階且可微的非線性函數(shù)；過程噪聲序列w∈R和觀測(cè)噪聲序列v∈R假設(shè)為相互獨(dú)立的，并滿足下列橢球約束條件：

其中，定義(,)表示如下橢球集：

上式中：為橢球中心，為已知矩陣代表橢球的形狀及大小。

橢球的形狀與大小初始狀態(tài)如下：

本文要解決的問題是非線性系統(tǒng)在受到擾動(dòng)的情況下，基于分布式融合估計(jì)的方法，獲得多傳感器非線性系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)的高精度估計(jì)，該過程主要涉及到局部最優(yōu)估計(jì)X和全局最優(yōu)估計(jì)X的設(shè)計(jì)。

該問題受到的隨機(jī)擾動(dòng)為服從某一分布的隨機(jī)噪聲時(shí)，Kalman 濾波與擴(kuò)展卡爾曼濾波可以很好的濾波噪聲。如文獻(xiàn)6 和文獻(xiàn)14 中所研究的算法，它是通過預(yù)測(cè)步和濾波步的過程來計(jì)算最小方差下的狀態(tài)變量，預(yù)測(cè)歩求出時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)估值X和預(yù)估誤差P；濾波步求出狀態(tài)估計(jì)值X和估計(jì)誤差協(xié)方差陣P，但是當(dāng)受到的擾動(dòng)為未知且有界的噪聲時(shí)，Kalman濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波并不適用，所以本文要考慮到在分布式融合估計(jì)過程中有界噪聲的濾波問題以及在設(shè)計(jì)濾波器中數(shù)據(jù)的精確性和完整性。從對(duì)噪聲的濾波出發(fā)，設(shè)計(jì)出最優(yōu)的局部濾波器和全局濾波器。

2 分布式融合估計(jì)

數(shù)據(jù)融合估計(jì)的分布式形式是由個(gè)傳感器組成，每個(gè)傳感器i都有一個(gè)通信域，由于不同的傳感器接收數(shù)據(jù)和有界噪聲的影響，每個(gè)局部傳感器提供不同的橢球估計(jì)，真實(shí)狀態(tài)可能位于每個(gè)橢球中的任何地方，然后傳送到融合中心，使其導(dǎo)出一個(gè)全局橢球狀態(tài)估計(jì)。對(duì)于局部濾波器的設(shè)計(jì)，考慮進(jìn)非線性系統(tǒng)線性化誤差的影響，基于集員估計(jì)理論完成局部最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)；然后采用有界集的Minkowski 和的處理，設(shè)計(jì)全局最優(yōu)濾波器完成全局最優(yōu)估計(jì)。

2.1 局部最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)

對(duì)每個(gè)傳感器非線性系統(tǒng)，首先將高階線性化誤差引起的參數(shù)不確定跟有界噪聲w,v整合在一起，形成新的有界噪聲集，提高數(shù)據(jù)采集精度。然后采用SMF 算法來計(jì)算局部最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。

2.1.1 線性化誤差定界

對(duì)第個(gè)傳感器系統(tǒng)，先對(duì)非線性函數(shù)(x)、h(x)泰勒展開：

為了表述方便，記

高階余項(xiàng)式為：

將高階線性化誤差R與有界噪聲w、v整合，得到新的有界噪聲集：

其中，這里‘+’表示兩個(gè)線性空間子集的矢量和。

形成新系統(tǒng)模型為：

其中，f(x)和h(x)為線性函數(shù)。

2.1.2 局部最優(yōu)濾波器

假定時(shí)刻局部最優(yōu)橢球集X如下：

2.2 全局最優(yōu)濾波器的設(shè)計(jì)

2.2.1 Minkowski和的回顧

考慮有個(gè)橢球F=(a,Q),= 1,2,…,

其中a∈R，是橢球的中心，Q為形狀矩陣。利用Minkowski 和求解的個(gè)橢球和F被定義為：

包含F的最小外部橢球?yàn)?(,)

其中：

2.2.2 全局最優(yōu)濾波器

該時(shí)刻的全局最優(yōu)狀態(tài)橢球集X取包含X的最小外部橢球即

由2.2.1可得

可推出全局濾波器：

其中：

綜上所述，在分布式融合框架下，針對(duì)未知且有界噪聲影響下的非線性系統(tǒng)，改進(jìn)了SMF 算法，將系統(tǒng)線性化誤差考慮進(jìn)去，設(shè)計(jì)出局部最優(yōu)濾波器計(jì)算出精度更高的局部橢球估計(jì)，再采用比交集法更加可靠和完整的Minkowski 和并集法設(shè)計(jì)出全局最優(yōu)融合濾波器以得到更精確與更完整的全局最優(yōu)橢球估計(jì)。

3 仿真研究

給出一個(gè)非線性系統(tǒng)估計(jì)實(shí)例以證明本文所提出算法的有效性與精確性。傳感器網(wǎng)絡(luò)由3個(gè)傳感器組成，所采用的非線性模型為

圖1 和圖2 分別給出了兩種算法的三個(gè)傳感器分布式融合估計(jì)后的全局狀態(tài)軌跡估計(jì)結(jié)果,這里采用可行集的中心來表示狀態(tài)的點(diǎn)估計(jì)結(jié)果。從圖中可以看出無論是狀態(tài)還是狀態(tài)，這兩種濾波器都能很好地跟蹤真實(shí)軌跡值，但是相較于傳統(tǒng)的SMF 算法，能很顯然的看出優(yōu)化SMF 算法應(yīng)用到分布式融合估計(jì)中更加貼近系統(tǒng)的真值。

圖1 x1全局狀態(tài)融合估計(jì)曲線

圖2 x2全局狀態(tài)融合估計(jì)曲線

圖3、圖4 為狀態(tài)1 與狀態(tài)2 的RMSE 誤差圖，由圖可見，無論是狀態(tài)變量還是狀態(tài)變量，每一個(gè)傳感器的局部估計(jì)誤差都大于全局估計(jì)誤差，即無論是基于傳統(tǒng)的SMF 算法的分布式融合估計(jì)還是基于優(yōu)化后的SMF 算法估計(jì)，有界噪聲影響下的非線性系統(tǒng)的分布式融合估計(jì)具有有效性。

圖3 狀態(tài)變量x1的局部、全局RMSE誤差曲線

圖4 狀態(tài)變量x2的局部、全局RMSE誤差曲線

4 結(jié)語

對(duì)受到未知但有界的系統(tǒng)噪聲的非線性系統(tǒng)進(jìn)行分布式數(shù)據(jù)融合估計(jì)，在傳統(tǒng)的SMF 算法上考慮進(jìn)系統(tǒng)線性化引起的高階誤差，將其整合進(jìn)有界噪聲，形成新的有界噪聲集，再使用SMF 算法得到局部狀態(tài)估計(jì)集合，最后在融合中心通過相較交集法更加完整和精確的Minkowski 和的幾何方法得到全局狀態(tài)估計(jì)，完成分布式融合估計(jì)。與已有的傳統(tǒng)SMF 算法相比，優(yōu)化的SMF 算法考慮到了系統(tǒng)線性化引起的高階誤差，采用Minkowski 和的幾何算法，使在非線性系統(tǒng)下在融合中心融合后的估計(jì)值比傳統(tǒng)的SMF算法精度提高0.0029～0.0034。