高鐵大跨斜拉橋主梁CPⅢ點實時高程預測方法研究及應用

吳石軍,劉成龍,滕煥樂,韓 冰

(1.中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063； 2.西南交通大學地球科學與環境工程學院,成都 611756)

1 概述

高速鐵路橋梁跨度超過300 m時一般選用大跨斜拉橋，但由于斜拉橋結構復雜[1]，各構件之間力學傳遞機理復雜[2]，主梁豎向線形易受溫度影響產生復雜的變形[3]，CPⅢ控制網點位縱向布設間距一般為60 m左右，有些CPⅢ點不可避免地布設在主梁的不穩定位置，這些不穩定CPⅢ點的高程會隨主梁結構變化而變化，導致高程產生多值性[4-5]，無法滿足無砟軌道施工自由設站測量的精度要求[6-8]，使橋上軌道的精調施工無法進行[9]。因此，國內外設計時速超過200 km的高速鐵路大跨斜拉橋全部采用有砟軌道。

但隨著高速鐵路建設的快速發展，大跨斜拉橋上鋪設無砟軌道的需求日益增加，有砟軌道自重較大，造成橋梁恒載較大，增加工程造價，而且由于其結構的不穩定性，在運營期間需經常對軌道線形進行調整。此外，在以鋪設無砟軌道為主的高鐵線路上，若局部采用有砟軌道還會增加養護工作量和維修設備種類，特別在一些養護維修條件惡劣的高原地區，極為不便，因此，大跨度斜拉橋上鋪設無砟軌道是未來的發展趨勢[10]，而如何在大跨斜拉橋主梁上建立高精度的CPⅢ高程網是無砟軌道能否鋪設的主要技術難題。

目前，國內外對大跨斜拉橋上CPⅢ高程網的測設研究尚處于起步階段，基于大跨斜拉橋上鋪設無砟軌道的應用需求，結合國內首個鋪設無砟軌道的高鐵大跨斜拉橋—贛江特大橋工程實例，對大跨斜拉橋主梁上CPⅢ高程網的測設問題進行深入研究分析，以期解決大跨斜拉橋上CPⅢ點高程的多值性問題，滿足贛江特大橋軌道精調施工的需要，并為今后高速鐵路橋梁建設中類似工作提供重要參考。

2 主梁上CPⅢ點點位布設及高程變形監測試驗方法

贛江特大橋(以下簡稱 “該橋”)設計速度為350 km/h，是我國首次在高速鐵路大跨斜拉橋上鋪設無砟軌道的典型案例。該橋是跨徑組合為(35+40+60+300+60+40+35) m雙塔混合梁高鐵斜拉橋，其主梁邊跨及部分主跨(塔柱附近)采用混凝土箱梁，主跨260 m范圍采用箱形鋼-混凝土結合梁，為半漂浮結構體系，索塔和主梁之間僅設置豎向支座，主梁和邊墩及輔助墩之間設置縱向活動支座和豎向支座，通過對該橋的結構特點進行研究分析，發現該橋結構具有以下特點。

(1)該橋主梁邊跨的跨度較小且設有輔助墩，同時主梁和邊墩及輔助墩之間設置有豎向支座和縱向活動支座，可以認為邊墩及輔助墩頂部的主梁在豎向較為穩定，而縱向不穩定[11]。

(2)該橋采用“人”字形混凝土索塔，索塔全高124.5 m，橋面主梁以上塔高88 m，橋面主梁以下部分僅36 m且深埋在地基中，因此，可以認為索塔下部與主梁等高的位置在縱向和豎向均穩定[12-13]。

(3)該橋主梁主跨僅依靠斜拉索拉力彈性支承，其縱向和豎向都不穩定，研究表明，半漂浮體系大跨斜拉橋主梁主跨豎向變形趨勢從整體看是以主跨跨中為軸對稱分布的連續曲線[14-15]，且主跨跨中橫斷面豎向變形幅度最大[16]。因此，應考慮在主跨跨中橫斷面布設1對CPⅢ點，以便得到主梁主跨完整的豎向連續變形曲線，掌握主梁主跨豎向變形規律，建立主梁主跨CPⅢ點實時高程預測模型。

綜上所述，為盡可能多地使該橋主梁上布設的CPⅢ點位穩定，使不穩定CPⅢ點布設在主梁豎向變化規律特點明顯的位置，方便后續建立預測模型。根據該橋的結構特點和布點要求，在其主梁上布設了11對CPⅢ點[17-18]，如圖1所示，主梁主跨上布設了5對CPⅢ點，兩側邊跨上各布設了2對CPⅢ點，索塔與主梁等高的位置處各布設了1對CPⅢ點。

為解決大跨斜拉橋主梁上CPⅢ控制點高程的多值性問題，實現主梁上CPⅢ控制點實時高程的準確預測，需研究大跨斜拉橋主梁結構隨外界環境變化的規律，以及主梁上CPⅢ控制點高程變化與主梁結構變化、外界環境變化之間的相關關系。因此，首先在該橋主梁上布設了3個大氣溫度傳感器和3個梁體溫度傳感器，分別位于兩側邊跨和主梁主跨，在主梁的大小里程伸縮縫處各布設了1個縱向位移傳感器，在P4和P5索塔塔頂安裝了GNSS接收機，各個傳感器布設位置及其編號如圖1所示；然后，設計了連續36 h主梁豎向靜態變形監測試驗，每2 h測量1次主梁上各CPⅢ點的高程，將各期數據及傳感器數據作為后續主梁CPⅢ點實時高程計算模型的基礎數據。

3 主梁上各CPⅢ點實時高程預測方法研究

根據對該橋主梁上各CPⅢ點豎向靜態變形監測數據的分析，該橋主梁上需建立實時高程預測模型的CPⅢ點，只有主跨上布設的5對CPⅢ點(C09～C18)，且主梁主跨同一橫斷面的兩個CPⅢ點高程變化量基本相等。因此，采用點對的形式建立該橋主梁主跨上各CPⅢ點實時高程預測模型，并以靜態變形監測時得到的同一橫斷面上的兩個CPⅢ點高程變化量的均值作為建模基礎數據。

為分析主梁主跨上各CPⅢ點高程的變化規律，將主梁主跨上各個CPⅢ點高程的各期數據與對應的基準數據(首期)作較差，獲取主跨上各CPⅢ點各期相對于基準高程的累計變化量，并將索塔塔頂縱向偏移監測數據和傳感器參數與主梁主跨各期CPⅢ點高程測量數據進行時間區間統一后，繪制了變化趨勢線，如圖2所示。

圖1 主梁上CPⅢ點及傳感器布設示意(單位：m)

圖2 主梁主跨上各CPⅢ點高程各期變化規律趨勢

該橋主梁主跨上的CPⅢ點對按照高程變化趨勢可分為3類：主跨1/2處CPⅢ點對(C13、C14)、主跨1/3處CPⅢ點對(C11、C12和C15、C16)及主跨1/6處CPⅢ點對(C09、C10和C17、C18)，其中，主跨1/2處(主跨跨中)CPⅢ點對的高程變化幅度最大，且與主跨1/2處橫斷面對稱的CPⅢ點對其高程變化量基本相等，這說明主梁主跨不同位置的CPⅢ點高程變化量之間存在某種數學關系。若能確定這種數學關系的隨機(函數)模型，建立主梁主跨各CPⅢ點實時高程預測模型時，就無需分別研究各類傳感器讀數變化對主梁主跨上各個CPⅢ點高程的影響，只需準確預測出主梁主跨某一個CPⅢ點對的實時高程變化量，就可以得到主跨其余CPⅢ點對的實時高程變化量，這樣可以使實時高程預測模型更加簡潔明了，同時降低建模的難度。通過分析發現主梁主跨1/6處、1/3處的CPⅢ點對的高程變化量與主梁主跨1/2處(主跨跨中)CPⅢ點對的高程變化量之間存在明顯的線性關系，因此，采用最小二乘法，分別建立主梁主跨CPⅢ點對C09/C10、C11/C12、C15/C16、C17/C18高程變化量與主跨跨中CPⅢ點對C13/C14高程變化量之間的線性回歸方程。限于篇幅，以建立C09/C10高程變化量與C13/C14高程變化量線性回歸方程的過程為例，其基本原理如下。

設C09/C10點對的高程變化量為因變量，記為Yi，C13/C14點對的高程變化量為自變量，記為Xi；在靜態變形監測試驗時共得到17期數據，則有回歸模型

(1)

Q=∑[Yi-(α+βXi)]2(i=1，…，17)

(2)

若使方程Q的值最小，需求出函數Q關于α、β的一階偏導數，并令一階偏導數的值為0，則有

(3)

對式(3)進行變換求解，可得

(4)

圖3 主梁主跨各CPⅢ點對高程變化量與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量關系

為評價采用上述方法建立的主梁主跨各CPⅢ點對高程變化量與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量之間的線性回歸方程的擬合精度，根據式(5)分別計算出各個線性回歸方程的判定系數R2和殘差平方和SSE。R2和SSE度量了回歸自變量對因變量的擬合精度，R2越接近于1，SSE越小，說明擬合效果越好。

(5)

如圖3所示，采用上述方法建立的線性回歸方程的R2最小值為0.993 4，SSE最大值為1.798。由此可見，本文建立的主梁主跨各CPⅢ點對高程變化量與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量之間的線性回歸方程擬合精度高，若能準確得出主跨跨中CPⅢ點對的實時高程變化量，則主跨各CPⅢ點對的實時高程變化量便可通過圖3所示的線性回歸方程準確算出。因此，建立主梁上各個CPⅢ點實時高程預測模型的關鍵技術問題，就是如何建立高精度的主跨跨中CPⅢ點實時高程預測模型。

3.1 影響主跨跨中CPⅢ點對高程變化因素的主成分分析

影響主梁主跨各CPⅢ點高程變化的因素很多。若直接將各類傳感器讀數變化量作為自變量，建立與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量之間的回歸方程，一方面會因自變量過多而增加建模的復雜程度；另一方面大跨斜拉橋各構件之間的力學傳遞機理復雜，各類傳感器讀數之間存在多重相關性，會造成預測模型系數項的估計值方差變大，使預測精度產生較大誤差。因此，用主成分分析的方法，首先，篩選出影響主跨跨中CPⅢ點對高程變化的主要傳感器讀數，并將這些傳感器讀數按照對主跨跨中CPⅢ點對高程變化的影響作用歸納成幾種主成分；然后，確定各類傳感器讀數在各個主成分中的系數值；最后，建立主跨跨中CPⅢ點對高程變化量與各個主成分之間的回歸方程，進而得到主跨跨中CPⅢ點對高程變化量與各類傳感器讀數變化量之間的回歸方程。這樣處理既可以將具有多重相關性的多個自變量轉化成幾個相關性弱的自變量，滿足回歸方程的要求，還可以降低數據的維度和建模的難度。

為便于表述，設主跨跨中CPⅢ點對高程變化量為Y、贛州向混凝土梁溫度傳感器讀數變化量為X1、贛州向空氣溫度傳感器讀數變化量為X2、主跨跨中空氣溫度傳感器讀數變化量為X3、主跨跨中鋼箱梁溫度傳感器讀數變化量為X4、南昌向空氣溫度傳感器讀數變化量為X5、南昌向混凝土溫度傳感器讀數變化量為X6、P4索塔塔頂縱向位移變化量為X7、P5索塔塔頂縱向位移變化量為X8、贛州向位移傳感器讀數變化量為X9、南昌向位移傳感器讀數變化量為X10。

(1)計算自變量與因變量之間的偏相關系數

偏相關系數是指在固定其余自變量的影響下，計算出的因變量與任一自變量之間的相關系數，其大小可以真實地反映出因變量與自變量之間的線性相關程度。為求出偏相關系數，需先求出簡單相關系數

(6)

式中，rYXi為自變量Xi和因變量Y之間的簡單相關系數；cov(Xi，Y)為Xi與Y的協方差；Var[X]為X的方差；Var[Y]為Y的方差。

根據式(6)，可得簡單相關系數矩陣

(7)

設aij為矩陣R(i，j)中元素相應的代數余子式，則有偏相關系數為

(8)

按照式(8)可計算出主跨跨中CPⅢ點對高程變化量與各類傳感器讀數變化量之間的偏相關系數，結果如表1所示。

表1 主跨跨中CPⅢ點高程變化量與各類傳感器讀數變化量之間的偏相關系數

通過表1可以發現，南昌向混凝土溫度傳感器讀數變化量X6、贛州向位移傳感器讀數變化量X9、南昌向位移傳感器讀數變化量X10與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量Y之間的偏相關系數均小于0.3，線性相關性低，在后續進行主成分分析時，應剔除這三類傳感器讀數變化量。

(2)自變量數據的標準化處理

由于各類傳感器讀數的單位不同，為消除因單位不同而造成的量綱差異，應對各類傳感器讀數變化量的原始數據進行標準化處理，標準化處理計算公式為

(9)

(3)計算協方差矩陣和特征值以及特征向量

采用標準化處理后的各類傳感器讀數變化量，可得到相關系數矩陣M，同時根據M的特征方程|M-λE|=0，求得M的t個特征值λi(i=1，2，3，…，m)，λ1≥λ2≥…≥λt，以及對應的特征向量ξi=(ξ1i，ξ2i，…，ξti)，i=1，2，…，t。

(4)計算方差貢獻率和累計方差貢獻率

單個主成分的方差貢獻率為

(10)

所有主成分的方差貢獻率為

(11)

主成分的個數m一般根據累計方差貢獻率確定，當累計方差貢獻率>85%時，對應的前m個主成分包含了原始數據的絕大部分信息，主成分的個數就是m個。每個主成分就代表一個影響主跨跨中CPⅢ點對高程變化的因素，記為F1，F2，…，Fm，每個主成分均可用各類傳感器讀數變化量進行表示，如式(12)所示

(12)

按照上述原理，對各類傳感器讀數(除去X6、X9、X10)進行主成分提取，得到前兩個主成分的累計方差貢獻率為95.689%>85%，每個主成分對應的各類傳感器讀數變化量的系數值如表2所示。

表2 每個主成分中各類傳感器讀數變化量的系數值統計

3.2 建立主跨跨中CPⅢ點實時高程預測的多元線性回歸模型

根據上文的研究，采用2個主成分F1和F2作為自變量，建立主跨跨中CPⅢ點高程變化量的二元線性回歸模型，如式(13)所示。

Yi=β0+β1F1i+β2F2i

(13)

式中，Yi為主跨跨中CPⅢ點高程變化量；β0為常數項；β1，β2為系數項；i=1，2，…，17，表示靜態變形監測的觀測期數。

可將式(13)轉換為矩陣向量相乘的形式

(14)

(15)

將自變量F和因變量Y代入式(15)可得

(16)

(17)

根據式(5)計算出該回歸方程的判定系數R2=0.981 5，殘差平方和SSE=18.712，由此可見，采用本方法建立的自變量F1、F2與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量之間的擬合精度較好。進一步將式(17)中的自變量轉換成各類傳感器的讀數變化量，結果為

0.189X4-1.203X5-0.574X7+0.687X8

(18)

將各類傳感器參數的實時變化量代入式(18)，即可得到主跨跨中CPⅢ點對實時高程變化量；然后，結合上文建立的主梁主跨各CPⅢ點對高程變化量與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量之間的線性回歸模型，即可得到主梁主跨各CPⅢ點對實時高程變化量；最終，根據主梁主跨各CPⅢ點高程的基準值(首期數據)，即可得到主梁主跨各CPⅢ點的實時高程預測模型。

3.3 主梁上各CPⅢ點預測高程的精度分析

為檢驗按照上述方法建立的兩種該橋主梁主跨上各個CPⅢ點的實時高程預測模型是否正確，在該橋主梁上利用電子水準儀進行了7次實測驗證，并將兩種預測模型計算出的主梁主跨各CPⅢ點高程與同一時刻實測高程作較差進行對比分析，較差區間統計結果如表3所示。預測結果與實測結果的對比分析表明：①預測模型在測量驗證點中97.14%的高程較差不超過3 mm，其較差均值為1.6 mm；②預測模型在CPⅢ點實測高程變化幅度最大超過13 mm的情況下，預測高程與實測高程的最大較差為3.43 mm。

表3 實測高程與預測高程較差區間統計

由此可見，采用本文方法建立的主梁主跨各CPⅢ點實時高程預測模型的精度和可靠性均較好，可滿足規范要求[19]，能夠有效解決大跨斜拉橋主梁上CPⅢ點高程多值性的問題。

4 結論

對大跨斜拉橋的結構變形及其主梁上CPⅢ點多值性的特點進行了系統性研究，研究成果應用于昌贛高鐵贛江特大橋主梁無砟軌道的施工精調工作，有效保障了昌贛高鐵順利通車，研究結論及創新點如下。

(1)大跨斜拉橋主跨豎向變形整體上是一條連續完整的曲線，主跨上各CPⅢ點高程變化量與主跨跨中CPⅢ點對高程變化量之間存在一定線性關系，僅需預測主梁主跨CPⅢ點實時高程，便可得到整個主梁主跨上CPⅢ點的高程預測模型。

(2)影響大跨斜拉橋主跨豎向變形的因素之間存在多重相關性，若直接進行建模，難度較大且會造成預測模型系數項的估計值方差變大，使預測精度產生較大誤差。先采用主成分回歸法提取影響主跨跨中CPⅢ點對高程變化的主成分，再建立主梁主跨上各CPⅢ點實時高程預測模型，可降低數據的維度和建模的難度，保證預測模型的精度。

(3)研究成果成功指導了昌贛高鐵贛江特大橋主梁上無砟軌道的鋪設，并取得了較好的效果，驗證了本文方法的正確性。