鐵路新活載雙孔重載加載方法探討

王雨權

(中國鐵路設計集團有限公司,天津 300308)

鐵路列車活載是鐵路列車對結構工程靜態作用的概化表達形式，對于鐵路橋涵結構的設計影響巨大[1-5]。隨著鐵路事業的快速發展，我國制定了多種活載類型，如ZK、ZC、ZH、ZKH，分別使用于高速鐵路、城際鐵路、客貨共線鐵路、重載鐵路等[6-10]，同時，隨著海外鐵路項目的推進，還需要研究制定適合海外需求的各種活載[11-13]。

目前ZK、ZC、ZH、ZKH等活載的標準圖式，可以歸類為圖1的形式，不同的距離和載荷數據代表不同活載。

如圖1中S1=S5=0.8 m，S2=S3=S4=1.6 m。集中荷載大小F1=F2=F3=F4=200 kN，線荷載大小F01=F02=64 kN/m，則該圖即可表示為ZK標準活載圖式。如F1=F2=F3=F4=150 kN，F01=F02=48 kN/m，則該圖示即可表示ZC標準活載圖式。如取其他值，則表示其他活載類型。

圖1 新活載通用圖示

列車活載的大小直接影響梁、墩臺及樁基的設計。為此，我國在大規模鐵路橋梁建設過程中，進行了活載對橋梁建設影響的各種研究[14-18]。

對于一個特定的列車活載，在墩臺和基礎設計中，前輩們根據檢算內容的不同，提煉出幾種控制性工況，如單孔輕載、單孔重載、雙孔輕載、雙孔重載等控制性工況[19-20]。

單孔輕載、單孔重載物理意義比較簡單，求解時只需根據單孔梁的影響線，把集中荷載部分放在影響線的最大、最小處即可求得。但對于雙孔重載和雙孔輕載則稍微復雜，因雙孔重載和雙孔輕載對于一個簡支梁組合來說，是一個共軛關系，因此這兩個工況的求解過程的本質是一樣的。

下文推導公式即按照圖1中的符號表示。單孔重載和單孔輕載的表達式比較簡單，限于篇幅，僅重點介紹雙孔重載計算。

1 現有方法合理性探討

1.1 現有方法合理性初探

現有設計手冊均以“中-活載”為研究對象。以圖2為例，雙孔重載的布置應該使得R2+R3最大，這就需要解決一個加載點計算問題。

圖2 “中-活載”加載示意

由鐵一院主編的設計手冊《橋梁墩臺》[21]在求解雙孔重載加載點時給出了一個計算原則，即當G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)時，R2+R3最大。經了解，某設計院原有相關計算程序在計算“中-活載”的雙孔加載時，也是采用這一原則來尋找最佳加載位置。

式中，G1、G2為左右兩側梁跨上承擔的荷載值；L1、L2為左右梁跨的梁跨總長；a1、a2、a3、a4為各支座到梁跨中心線的距離。

經過研究發現，利用該原則計算出來的并不是R2+R3的最大值位置。下面用一個在研究“中-活載”時找到的反例進行驗證。

圖2中，假設梁長L1=L2=12.28 m，因為L1=L2，上述判據可以簡化為G1=G2。

設“中-活載”的第1個集中力距左側梁邊緣距離為x，此時左側梁跨的總荷載可表示為G1=1 100+(12.28-x-7.5)×92，對應右側梁跨總荷載為：G2=1 129.76kN。由G1=G2可得：x=4.46 m。

在求得加載點x=4.46 m后，根據彎矩平衡即可求得此時橋墩所受總壓力R2+R3=1 235.88 kN，該值即為現有方法的計算結果。

但如果將圖2中第5個集中荷載作用于兩孔梁的交點位置，x值為6.28 m。此時橋墩所受總壓力R2+R3=1 393.13 kN。

由此可見，將第5個集中荷載作用于兩孔梁的交點位置時，所得到的總支反力大于按照現有方法G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)判據得到的總壓力。

因此，判據得到的活載布置位置只是其中一個臨界點，但并不是極值點。

1.2 理論論證

下面通過理論推導來論證現有方法求得的起算點x值并不一定是極值點。

根據定義可知，當列車“中-活載”移動到極值點位置時，橋墩所受的壓力之和最大，也即R2+R3值最大。因而荷載由極值點位置不論向左或向右移動到臨近位置時，R2+R3值均應減小，這一過程可用數學極值表示

(1)

如圖2所示，設左、右兩側梁跨的影響線傾角分別為α1、α2，當整個“中-活載”向左或向右移動一微小距離Δx時，相應的R2+R3值為

R2+R3=P1(y1+Δy1)+P2(y2+Δy2)+…+

(2)

式中，R2、R3為計算橋墩上作用的兩側梁的支反力；P1、P2，…，Pn為影響線上“中-活載”的集中荷載；y1、y2，…，yn為P1、P2，…，Pn荷載對應的高度；Δy1、Δy2，…，Δyn為因向右移動一微小距離Δx時影響線上P1、P2，…，Pn荷載對應的高度變化量；p92、p80為均布荷載；y92、y80為均布荷載對應影響線高度。

下面可以論證原計算原則只是式(1)的一個特例，即當兩孔梁上只作用集中荷載，且梁長及支座到梁跨中心線的距離均對稱相等時，式(1)代表的通用判據與G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)是等價的。

當梁上只作用集中荷載時，荷載向左或向右移動一微小距離Δx時，可得對應的支反力的增量為

Δ(R2+R3)=P1Δy1+P2Δy2+…+PnΔyn=

(3)

式中，α1、α2為圖2中左右兩側影響線的傾角，符號相反，因α1、α2為小角度，近似有αi=tanαi(i=1，2)，PL、PR分別為作用于左右兩側梁上的荷載值。當梁長及支座到梁跨中心線的距離均對稱相等時，α1與α2大小相等，方向相反。

由式(1)、式(3)及Δx不為零可知，在極值條件下，Δ(R2+R3)為零，可進一步得到α1∑PL+α2∑PR為零。而由于α1=-α2，可得∑PL=∑PR。

而對于判據G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)，當梁長及支座到梁跨中心線的距離均對稱相等時可得G1=G2。此時與∑PL=∑PR結論一致。

但對于“中-活載”來說，存在均布荷載。也即式(2)中的積分項不能略去。且對于任意梁跨組合，其左右兩側的梁長也并不一定相等，支座到梁跨中心線的距離也不一定對稱，在此情況下，是無法得到與判據G1/(L1-a1-a2)=G2/(L2-a3-a4)一樣的結論的。

因此，傳統尋找加載點的計算方法所求得的位置，并不一定能滿足極值點要求，據此計算得到的起算點的科學性有待商榷。

2 利用極值求導法求算雙孔重載

雙孔重載，可用于檢算橋墩的墩身強度、基底最大應力和穩定性，對于ZK、ZC、ZH、ZKH等新活載圖式，目前還缺乏相關的資料用于求解支反力。

由于雙孔重載應該使得橋墩兩側兩孔梁的支反力之和R2+R3最大，從數學角度來講，此時應該就是R2+R3對加載位置x的導數為0的駐值點位置，因此，求解加載點位置可采用極限求導的方法進行。

為使推導的計算公式盡量適應更多類型的活載，以圖1所示的活載通用形式為推導依據。雙孔重載的計算圖式見圖3。

圖3 新活載之雙孔重載圖式

圖3中，假設6 m≤L1≤L2，x為左側梁端到第一個集中荷載的距離，由于左右兩側梁長L1、L2可以有不同的組合，加載計算點也可布置在不同的位置，這兩個因素都會影響R2+R3的具體表達式。因此，可根據左側梁跨上出現的集中力個數來區分計算工況及其對應的邊界條件。由于集中荷載有4個，因此可出現5種工況。對這5種工況，分別建立R2和R3的表達式，然后對R2+R3求導數，并令其導數為零，求出加載點x值。然后判斷計算得到的x值是否滿足與梁長的關系，如滿足，則將得到的x值分別代入R2和R3的表達式，即可求得每種工況的雙孔重載值，下面對這5種工況分別進行公式推導。

2.1 左側梁中有1個集中荷載F1

如圖4所示，左側梁中布置1個集中荷載F1，根據圖示，寫出R2和R3的力矩平衡方程如下

(4)

圖4 工況1活載加載示意

經整理，可分別寫出支反力R2和R3的表達式

(5)

由R2+R3值對x求導，即

(6)

可得加載位置的表達式為

(7)

通過式(7)計算得出x值后，尚需檢算該工況的梁長與x值的關系式是否滿足下列條件

L1-S2

(8)

如滿足式(8)的判別條件，可將x值代入式(5)的表達式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

特別指出的是，式(8)是保證左側梁中分布一個集中力F1的必要條件。

2.2 左側梁中有2個集中荷載F1、F2

如圖5所示，左側梁中布置2個集中荷載F1、F2，根據圖示，寫出R2和R3的力矩平衡方程如下

(9)

圖5 工況2活載加載示意

經整理，可分別寫出支反力R2和R3的表達式

(10)

由R2+R3值對x求導，可得加載位置為

(11)

通過式(11)計算得出x值后，尚需檢算該工況的梁長與x值的關系式是否滿足條件

L1-S2-S3

(12)

如滿足式(12)的判別條件，可將x值代入式(10)的表達式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

2.3 左側梁中有3個集中荷載F1、F2、F3

如圖6所示，左側梁中布置3個集中荷載F1、F2、F3，根據圖示，同樣可寫出R2和R3的力矩平衡方程式，然后求出各自表達式如下

(13)

圖6 工況3活載加載示意

由R2+R3值對x求導，可得加載位置為

(14)

通過式(14)計算得出x值后，尚需檢算該工況的梁長與x值的關系式是否滿足條件

L1-S2-S3-S4

(15)

如滿足式(15)的判別條件，可將x值代入式(13)的表達式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

2.4 左側梁中有4個集中荷載F1、F2、F3、F4

如圖7所示，左側梁中布置4個集中荷載F1、F2、F3、F4，根據圖示，同樣可寫出R2和R3的力矩平衡方程式，然后求出各自表達式如下

(16)

圖7 工況4活載加載示意

由R2+R3值對x求導，可得加載位置為

(17)

通過式(17)計算得出x值后，需檢算本工況梁長與x值的關系式是否滿足條件

0≤x≤L1-S2-S3-S4

(18)

如滿足式(18)的判別條件，可將x值代入式(16)，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

2.5 左側梁中無集中荷載

對于左側梁中沒有分配集中荷載的情況可參見圖3。根據圖示寫出R2和R3的力矩平衡方程式，然后求出各自表達式如下

(19)

由R2+R3值對x求導，可得加載位置。先對R3求導得

(20)

對于R2，可分為兩種情況。

當L1≥x-S1時

(21)

此時

(22)

(23)

通過上式計算得出x值后，進一步驗算本工況的梁長與x值的關系式是否滿足條件

L1

(24)

如滿足式(24)的判別條件，可將x值代入式(19)的表達式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

當L1

(25)

(26)

通過式(26)計算得出x值后，需驗算本工況的梁長與x值的關系式是否滿足條件

L1+S1

如滿足式(27)的判別條件，可將x值代入式(19)的表達式，求出R2和R3的值，此時的R2+R3即為本工況的雙孔重載值。

3 數值驗證

將上述計算公式編制成表格，然后針對高鐵橋梁設計中常用的簡支梁梁跨組合進行計算測試，計算結果與Midas結果進行對比驗證。

公式驗算的表格形式如表1所示，Midas計算采用“所有點”法加載，并利用Midas的并發反力功能，查找出當R2+R3值最大時的加載位置及此時雙孔重載值。

表1 新活載計算公式驗證計算

表1中的a1、a2、a3、a4及L1、L2、x的含義與圖2一致。

下面以ZK活載為例，分別測試如下梁跨組合，并將測試結果匯總于表2。

工況1的梁跨組合為：L1=32.7 m，L2=32.7 m，a1=0 m，a2=a3=a4=0.35 m。

工況2的梁跨組合為：L1=32.7 m，L2=24.7 m，a1=a2=a3=a4=0.35 m。

工況3的梁跨組合為：L1=24.7 m，L2=32.7 m，a1=a2=a3=a4=0.35 m。

表2 與Midas計算結果對比

從上面3組測試工況的對比結果來看，本文所推導的算法與商業軟件Midas的計算結果對比，最大誤差為0.513%，不超過1%，計算精度滿足工程設計要求。

上述誤差產生的原因，經分析可能存在兩種情況：其一，Midas加載計算中，采用的空間梁單元是一個彈性體，而本文所推導的公式忽略彈性變形，公式建立在剛體范疇內；其二，Midas加載計算中，移動荷載分析所采用的“所有點”法，是一種數值解，計算過程中，程序內部劃分移動步距，導致在計算時得到的極值點并不是精準的極值點。

4 結論

本文對簡支梁活載加載計算中現有的雙孔重載極值點求解方法進行了評述，從算例及理論兩方面對原有計算方法的科學性進行了論述。并基于新型活載的參數化表示方法，提出了極值求導法求解雙孔重載加載點位置，分5種工況給出了各梁跨組合的雙孔重載表達式。主要結論如下。

(1)橋墩設計中，現有的雙孔重載加載點計算方法存在缺陷，該方法只有在兩側梁跨相等且無均布荷載情況下成立。

(2)雙孔重載加載點計算中，原有計算方法是本文所述極值求導法的一個特例。

(3) ZK、ZC、ZH、ZKH等新型活載，可采用統一的參數化標準圖式，荷載圖式中，只需要各參數取值不同，即可代表不同類型活載。

(4) 根據梁跨組合情況給出的5種計算工況，能包絡所有加載情況，不同工況也體現在需滿足的邊界條件有所不同。

(5) 以高鐵橋梁設計中常用的簡支梁梁跨組合進行計算測試，結果表明，與Midas的計算結果誤差不超過0.513%，計算精度滿足工程設計要求。