走進復合圖形，深度探索思考

周銀生

[摘 ?要] 復合圖形問題在中考中十分常見，問題圖像通常將眾多幾何要素融合在一起，造成線條錯綜復雜. 問題解析需要把握特性，提取模型，利用知識定理轉化. 同時該類問題的解法不一，可從不同視角切入. 下面結合一道中考題開展解法探究，并提出相應的建議.

[關鍵詞] 復合圖形;動態;模型;最值

幾何壓軸題往往圖形豐富、結構復雜，涉及眾多的幾何模型，從不同視角分析可以獲得不同的結論，下面深入探究2021年重慶市B卷的幾何綜合題.

走進考題

考題 ?（2021年重慶市B卷第26題）在等邊三角形ABC中，已知AB=6，BD⊥AC，垂足為D，E是AB邊上的一點，F為直線BD上的一點，連接EF.

（1）將線段EF繞著點E逆時針旋轉60°得到線段EG，連接FG.

①如圖1所示，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長;

②如圖2所示，點E不與點A和B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：BE+BH=BF;

（2）如圖3所示，當E為AB中點時，M為BE中點，點N在邊AC上，且DN=2NC，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞著點E順時針旋轉60°得到線段EP，連接FP，當NP+MP最小時，直接寫出△DPN的面積.

命題點評 ?本題目為典型的以圖形變換為背景的中考動態壓軸題，考題共設三問，問題逐步推進，首先確定特殊情形，遞進到探索變化中的不變關系，然后深入探究變化中的最值. 問題充分體現了“變中有定”、“變中有最”的幾何動態理念. 同時采用階梯式的設問方式，能夠考查學生的基礎知識，也能考查學生的綜合能力，可起到選拔學生的效果.

解題探究

考題三問的圖形各自獨立，又具有一定的聯系，解題探究建議采用分步突破的策略，立足問題圖形，把握考點，探索解題思路.

第一步——把握特殊狀態

第（1）題的①問設定點E與點B重合，屬于特殊情形，整個圖形的結構是確定的，不含動點，則圖形中的幾何要素均可求出. 要求DG的長，通常將目標線段放置在直角三角形中，通過解直角三角形的方式來求得. 因此可連接AG，構造Rt△ADG.

連接AG，如圖4所示，將DG放置在△ADG中，由題意可得∠ABD=∠CBD=30°，則∠BCF=∠ACF=30°，∠CBG=90°，故CG垂直平分線段AB，從而可得AG=BG=2. 同時可證△CBG≌△CAG，則∠DAG=90°，即△ADG為直角三角形，又知AD=3，由勾股定理可得DG=.

評析 ?該問屬于確定性分析題，屬于動態圖形的特殊狀態. 上述解法的核心是“三線合一”和解Rt△ADG，即根據等邊三角形性質推導角度關系，利用“三線合一”定理實現“等角”向“垂直”的轉化，進而識別圖形中的直角三角形，借助勾股定理來破解.

第二步——探索變化規律

第（1）題的②問為一般狀態，圖中涉及了幾何變換，解析時需要識別或構造基本圖形，通過線段轉化來證明其中隱含的不變關系.

過點F分別作AB和BC的垂線，設垂足分別為K和T，如圖5所示，可證Rt△BFK≌Rt△BFT，由全等性質可得FK=FT，BK=BT. 又知∠EFH=∠KFT=120°，可得∠EFK=∠HFT，從而可證Rt△EFK≌Rt△HFT，則可推得EK=HT，所以BE+BH=（BK-EK）+（BT+HT）=2BT=2BF·cos30°=BF.

評析 ?上述為動態變換中的一般形式，沒有設定點E的位置，顯然需要探索幾何變換中的一般規律. 解析過程需把握BD是∠ABC的平分線的特性，構建雙垂直關系，逐步通過證明三角形全等來推導線段關系. 從所證明的線段關系來看，涉及三條相關線段，利用線段轉化來簡化關系是該解法的核心.

第三步——探索面積最值

第（2）題的圖形結構極為復雜，將點變換與形變換充分結合在一起，動點之間有著緊密的關聯，需要采用動靜結合的策略，探索動態圖形中的“不變”規律.

可連接DE，QM和QE，作射線MP，如圖6所示. 已知D，E分別是AE和AC上的中點，M和Q分別是BE和BD上的中點，可證MQ∥DE，且有MQ=DE=，從而可證△QME為等邊三角形. 又知△EFP為等邊三角形，可證△EMP≌△EQF（SAS），則∠EMP=∠EQD=90°，故點P在過點M且與AB相垂直的射線MP上運動.

在射線MP的下方作∠PMI=30°，與BD的交點設為I，再過點P作射線MI的垂線，設垂足為R，則NP+MP=NP+PR. 再作NR′⊥射線MI于點R′，與射線MP交于點P′，如圖7所示，則NP+MP=NP+PR≥NR′. 分析可知，當且僅當N，P，R三點共線時等號成立，所以當點P與P′重合時，NP+MP取得最小值NR′. 易證MI∥AC，MI=BM=，BI=，DI=BD-BI=. 四邊形DIR′N為矩形，所以IR′=DN=2，NR′=DI=，MR′=MI+IR′=，從而可得P′R′=，P′N=NR′-P′R′=，所以S=DN·NP′=.

評析 ?上述是關于幾何三角形的面積最值探究，基于點運動分析，通過局部與整體變換確定點P的運動軌跡，然后通過構造特殊角，借助正弦來處理其中的含系數線段和，最終借助“垂線段最短”原理來探究最值. 整個過程是“瓜豆原理”與“胡不歸”模型的結合，即利用“瓜豆原理”探尋動點軌跡，利用“胡不歸”模型來處理含系數線段和. 對于幾何中的模型化問題，理解模型背后的原理是關鍵.

解法再探

上述對一道幾何復合問題進行了解法探究，問題圖形較為復雜，突破過程主抓圖形特征，結合模型及幾何原理構建解題思路. 對于復合圖形問題，往往解析方法不唯一，從不同視角切入，可以獲得不同的解題效果，下面對解法再探究.

1. 再探線段DG的求法

（1）題第①問求DG的線段長，可過點G作BD的垂線，設垂足為L，如圖8所示. 則可將DG放置在Rt△GDL中. BD為等邊三角形ABC的高，BD=3. 分析可證∠GBC=90°，∠GCB=30°，則可求得BG=2. 在Rt△GBL中，已知BG=2，∠GBL=60°，則可求得GL=3，BL=，所以DL=2. 在Rt△GDL中運用勾股定理可求得DG=.

2. 再證線段和關系

（1）題第②問證明線段關系，其中含有系數，核心解法是轉化線段和，在三角形中構建線段關系. 可在射線BC上取點E′，連接E′F，使得∠BFE′=120°，如圖9所示. 則BF=E′F，∠BFE=∠E′FH，結合∠EFH+∠EBH=180°，可證∠BEF=∠E′HF，所以△BEF≌△E′HF. 所以BE=E′H. 所以BE+BH=E′H+BH=BE′=BF.

3. 再探面積最值

上述對第（2）題采用“瓜豆原理”+“胡不歸”模型的策略來求最值，其中點P的運動軌跡是突破的難點，實際上挖掘圖像中的“隱線”可避開分析點P的運動軌跡，同樣可以求面積最值，解析過程如下.

對于本題中，動點P可視為是動點F繞點E逆時針旋轉60°所得，將與目標有關的點作相應的反向旋轉，串聯條件，即可求解. 如圖10所示，分析可知△MEQ，△ADE，△NEN′均為等邊三角形，分析可證△AEN′≌△DEN（SAS），故AN′=DN=2，∠EAN′=∠EDN=120°，從而AN′∥BC.

過點F和N′分別作射線MQ的垂線段，垂足分別為R和R′，設N′R′與射線BQ交于點F′，如圖11所示，則N′F+QF=N′F+FR≥N′R′，當且僅當點N′，F，R三點共線時等號成立. 所以當點F與F′重合時，N′F+QF取得最小值N′R′，再作AK⊥射線MQ于點K，則AM=，MK=，AK=，QM=EM=，QK=. 又可證四邊形AKR′N′為矩形，故N′R′=AK=，KR′=2，QR′=，從而可得F′R′=，N′F′=，從而可求得S.

解后反思

上述對一道復合圖形綜合題進行了解法探究，通過圖形分析、提取，構建了解題思路，下面進行深入反思.

1. 關注問題條件，把握圖形構造

復合圖形問題最為顯著的特點是幾何元素眾多，線條交錯縱橫. 理解題干信息，把握圖形構造是解題突破的關鍵. 故解題時建議分兩步進行，首先梳理題干條件，理解其中的邏輯關系，然后結合圖形深入剖析，體會圖形構造的過程. 需要特別關注其中的垂線、角平分線、垂直平分線等，這些信息是后續特殊圖形提取、等角轉換、等邊推導的關鍵.

2. 提取幾何特性，構建特殊模型

復合圖形問題的解析過程較為復雜，提取特性、構建模型則可以簡化解題過程，提高解題效果. 同時模型所蘊含的數學原理對于提升數學能力極為有利. 如上述問題中利用“三線合一”，構造直角圖形求線段長，利用“等角互補”結構，構建旋轉模型求證線段的關系，求面積最值時又引入了“胡不歸”模型. 因此解題過程要注意挖掘幾何特性，合理提取幾何模型，利用模型結論來轉化條件.

3. 學習數學思想，提升綜合素養

復合圖形問題的突破過程同樣也是思想方法的融合過程，無論是條件轉化、輔助構圖，還是討論分析、思路探索中均需要用到數學的思想方法. 以上述考題為例，其中隱含了數形結合、化歸轉化、模型構造等思想，利用數形結合理解題干條件，把握圖形結構，化歸轉化中構建條件關聯，轉化幾何要素，結合構造思想重塑圖形，實現問題的簡化突破. 解題探究要重視思想方法，理解思想內涵，總結運用技巧.