論瓜豆模型解題方法研究

陳琴

[摘 ?要] 最值問題是初中數學研究的熱點之一，涵蓋知識點廣，形式多樣，解題靈活，綜合性強，是學生的一個難點. 研究者結合目前學生學情和考試需要，綜合平時做題經驗和資料的查詢，得到了最值問題中找運動軌跡問題“瓜豆模型”的解決辦法，主要解決了從動點運動軌跡與主動點運動軌跡的關系，以及如何找到從動點的運動軌跡等問題.

[關鍵詞] 瓜豆模型;最值問題;解題方法

瓜豆模型，就是通過找規律，把這一類問題抽象、簡化成一種具有代表性的基本圖形. 瓜豆模型的好處在于多一種解題思路，解題時形成條件反射，看到這個基本圖形就聯想到解題策略. 瓜豆模型對解題者的思維要求較高. 文章將提出解決瓜豆問題的思路和方法，不過不同的問題基本上有不同的解題技巧，而要運用這些方法、技巧，要求解題者具有較強的洞察力和數學機智，并能靈活運用各種方法.

文章將討論一類動點的運動軌跡問題. 對于此類試題，一般先描述動點P，但最終問題卻是求另一個動點Q，當然，P，Q之間存在某種聯系. 解題的常規思路為：從P點出發探討Q點的運動軌跡. 其中動點軌跡的基本類型為圓或圓弧型、線段或直線型. 為了便于區分動點P，Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”. 古人云：種瓜得瓜，種豆得豆. 對于瓜豆問題，“種”圓得圓，“種”線得線，“種”的是哪種運動軌跡，得到的就是哪種運動軌跡，這就是“瓜豆模型”.

知識儲備

1. 兩點確定一條直線.

2. 圓的定義.

3. 旋轉的定義、旋轉三要素、旋轉的性質.

4. 掌握中位線、手拉手全等、“A”型相似、手拉手相似、位似等知識.

模型條件

1. 兩動點有主、從關系，有一定點.

2. 從動點與主動點到定點的距離之比為定值.

3. 從動點與主動點到定點連線的夾角等于定值.

模型結論

從動點與主動點的運動軌跡一樣.

模型

（一）模型1：動點的運動軌跡為直線或線段

1. 兩動點與定點在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖1所示，A為定點，點P是直線BC上一動點，連接AP，取AP的中點Q，點P在直線BC上運動時，點Q的運動軌跡是一條直線.

圖2所示，分別過點A和點Q向直線BC作垂線，垂足分別為M，N. 在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即點Q到直線BC的距離是定值. 故點Q的運動軌跡是過AM中點且平行于BC的一條直線.

（2）（一般情況）如圖3所示，A為定點，P是直線BC上一動點，連接AP，在AP上取一點Q，使QA ∶ PA=n，當點P在直線BC上運動時，點Q的運動軌跡是一條直線.

模型分析 如圖4所示，分別過點A和點Q向BC作垂線，垂足分別為M，N. 在運動過程中，由QA ∶ PA=n，得QN=（1-n）AM，即點Q到直線BC的距離是定值. 故點Q的運動軌跡是過AM上一點Q，滿足QN=（1-n）AM且平行于BC的一條直線.

模型結論 ①從動點運動軌跡直線的確定：過定點A作定線BC的垂線，垂足為M，在垂線段AM上取一點Q，使得QM=（1-n）AM，過點Q 作定線BC的平行線，則此直線為從動點的運動軌跡. ②若點P的運動軌跡為線段P1P2，可以直接取線段P1P2的兩個端點得到對應的Q的位置Q1，Q2，則點Q的運動軌跡為線段Q1Q2，且Q1Q2 ∶ P1P2=n，Q1Q2∥P1P2 .

2. 兩動點與定點不在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖5所示，A為定點，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，點Q的運動軌跡是一條直線.

模型分析 如圖6所示，在直線BC上任取兩點P1，P2，連接AP1，AP2，朝同一方向繞著點A同時旋轉AP1，AP2，得到AQ1，AQ2，且旋轉角為90°，作直線Q1Q2. 由手拉手全等模型可得P1P2=Q1Q2，且Q1Q2⊥BC. 因為P1，P2是任取的，所以當點P在直線BC上運動時，點Q在直線Q1Q2上運動. 所以點Q的運動軌跡是一條直線，且該直線與BC垂直.

（2） （一般情況）如圖7所示，A為定點，∠PAQ為定角α且AQ ∶ AP=n（定值），當點P在直線BC上運動時，點Q的運動軌跡是一條直線.

模型分析 如圖8所示，在直線BC上任取兩點P1，P2，連接AP1，AP2，朝同一方向繞著點A同時旋轉AP1，AP2，旋轉角為α，再縮放得到P1，P2兩點的對應點Q1，Q2，使AQ1 ∶ AP1=n，AQ2 ∶ AP2=n. 作直線Q1Q2. 由手拉手相似模型可得Q1Q2 ∶ P1P2=n，且直線Q1Q2與直線BC的夾角為定角α.因為P1，P2是任取的，所以當點P在直線BC上運動時，點Q在直線Q1Q2上運動. 所以點Q的運動軌跡為一條直線，且這條直線與直線BC的夾角為定角α.

模型結論 ①找點Q的方法：在直線BC上取一點P（此時找特殊點），旋轉對象為主動點P，旋轉中心為定點A，旋轉方向為主動點繞著定點旋轉到從動點方向，旋轉角為定角，再縮放得到AQ，使得AQ ∶ AP=n. ②直線Q1Q2與直線BC的夾角為定角α. ③若點P的運動軌跡為線段P1P2，可以直接取線段P1P2的兩個端點，得到對應的兩個點Q的位置Q1，Q2，則點Q的運動軌跡為線段Q1Q2，且Q1Q2 ∶ P1P2=n. ④添輔助線的方法：旋轉與縮放. ⑤說明：為了方便，旋轉角有兩個，我們統一選擇小的那個旋轉角，從主動點到從動點有兩個方向，我們統一選擇小的旋轉角方向;這里，旋轉與縮放的順序可以調換.

（二）模型二：動點運動軌跡為圓或圓弧

1. 兩動點與定點在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖9所示，P是☉O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP的中點. 當點P在☉O上運動時，點Q的運動軌跡是一個圓.

模型分析 如圖10所示，連接AO，取AO的中點M，又點Q為AP的中點，所以MQ=OP. 因為OP是定值，所以QM是定值. 所以點Q的運動軌跡是以點M為圓心、OP的長為半徑的圓. 點Q的運動軌跡相當于是點P的運動軌跡成比例縮放.

（2）（一般情況）如圖11所示，P是☉O上一個動點，A為定點，連接AP，在AP上取一點Q，使得QA ∶ PA=n. 當點P在☉O上運動時，點Q的運動軌跡是一個圓.

模型分析 如圖12所示，連接AO，在AO上取點M，使得MA ∶ OA=n. 因為QA ∶ PA=n，所以QM ∶ PO=n. 因為PO是定值，所以QM是定值. 所以點Q的運動軌跡是以M為圓心、n·PO的長為半徑的圓. 點Q的運動軌跡相當于是點P的運動軌跡成比例縮放.

模型結論 ①如何找從動點運動軌跡的圓心和半徑？圓心：連接定點A與圓心O，在AO上取一點M，使得MA ∶ OA=n，點M即為圓心. 半徑：MQ=nOP. ②若點P的運動軌跡為圓（圓弧），則點Q的運動軌跡也為圓（圓弧）. 若運動軌跡為圓弧，則兩弧長滿足：lQ ∶ lP=n. ③點Q的運動軌跡相當于是點P的運動軌跡成比例縮放.

2. 兩動點與定點不在同一條直線上

（1）（特殊情況）如圖13所示，P是☉O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，則當點P在☉O上運動時，點Q的運動軌跡是一個圓.

模型分析 如圖14所示，將點O繞點A向主動點（P）繞著定點（A）旋轉到從動點（Q）的方向旋轉90°后得到點M，連接AM，QM，AO，OP，可得△APO≌△AQM，于是PO=MQ. 因為O為定點，所以M為定點;因為OP為定長，所以MQ為定長. 所以點Q的運動軌跡是以點M為圓心、OP的長為半徑的圓. 點Q的運動軌跡相當于是點P的運動軌跡繞點A旋轉90°后得到的.

（2）（一般情況）如圖15所示，P是☉O上一個動點，A為定點，連接AP，作∠PAQ=α且AQ ∶ AP=n，則當點P在☉O上運動時，點Q的運動軌跡是一個圓.

模型分析 如圖16所示，將點O繞點A向主動點（P）繞著定點（A）旋轉到從動點（Q）的方向旋轉α，再縮放得到點O的對應點M，使AM ∶ AO=n. 連接AM，QM，AO，OP，則△APO∽△AQM，MQ ∶ PO=n. 因為O為定點，所以M為定點;因為OP為定長，所以MQ為定長. 所以點Q的運動軌跡是以M為圓心、n·PO的長為半徑的圓. 點Q的運動軌跡相當于是點P的運動軌跡旋轉后成比例縮放.

模型結論 ①如何找從動點運動軌跡的圓心和半徑？旋轉對象為圓心O，旋轉中心為定點A，旋轉方向為主動點繞著定點旋轉到從動點的方向，旋轉角為定角，再縮放AO，得到AM，使AM ∶ AO=n，從而得到從動點運動軌跡的圓心M. 又由MQ ∶ PO=n，可算出從動點運動軌跡的圓的半徑MQ. ②從動點的軌跡相當于是主動點的軌跡旋轉后成比例縮放（也可以是成比例縮放后旋轉）. ③若點P的運動軌跡為圓（圓弧），則點Q的運動軌跡也為圓（圓弧）. 若運動軌跡為圓弧，則兩弧長滿足lQ ∶ lP =n. ④添輔助線的方法：旋轉與縮放. ⑤說明：為了方便，旋轉角有兩個，我們統一選擇小的那個旋轉角，從主動點到從動點有兩個方向，我們統一選擇小的旋轉角方向;這里，旋轉與縮放的順序可以調換.

軌跡之其他圖形

在平時的教學中，我們常見的瓜豆模型運動軌跡為圓、圓弧、直線、線段，當然，瓜豆模型的運動軌跡不僅限于這些. 瓜豆模型的運動軌跡還有折線段、雙曲線、拋物線等. 下面用兩個例子說明瓜豆模型運動軌跡的其他兩種類型.

例1 如圖17所示，在反比例函數y= -的圖像上有一動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，第一象限內有一點C滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在一函數的圖像上運動. 若tan∠CAB=2，求點C所在函數圖像的解析式.

解析 如圖18所示，分別過點A和點C作x軸的垂線，垂足分別為M，N，連接OC. 易證△AMO∽△ONC，因為tan∠CAB=2，所以OC=2OA. 所以CN=2OM，ON=2AM. 所以ON·CN=4AM·OM=8. 所以點C的運動軌跡為雙曲線. 又點C在第一象限，所以k=8. 所以點C所在函數圖像的解析式為y=.

例2 如圖19所示，已知A（-1，1），B（-1，4），C（-5，4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以OP為斜邊在OP的右上方作等腰直角三角形OPQ. 當點P在△ABC邊上運動一周時，點Q的運動軌跡形成的封閉圖形的面積為_______.

解析 由△OPQ是等腰直角三角形，可知點Q的運動軌跡與點P的運動軌跡形狀相同. 因為OP ∶ OQ= ∶ 1，所以點P的運動軌跡圖形與點Q的運動軌跡圖形的相似比為 ∶ 1. 所以它們的面積比為2 ∶ 1. 又△ABC的面積為×3×4=6，故點Q的運動軌跡形成的封閉圖形的面積為3.

文章的瓜豆模型解決了瓜豆模型中的基本問題，與瓜豆模型相關的其他廣泛應用還要進一步研究，比如等腰三角形的存在性問題、直角三角形的存在性問題、等腰直角三角形的存在性問題、胡不歸問題等與瓜豆模型的聯系. 在研究利用瓜豆模型解題的過程中，筆者深刻地體會到，在平時的教育教學中，教師應多思考、多提問，這樣才能獲得更多的優秀辦法，讓學生在理解知識、做題時事半功倍. 對教師而言，多搞研究可以提高教師的教育、教學水平，提高原創試題的質量. 接下來，筆者要研究的問題是如何向學生講授此模型.

在日常教學中，很多教師是想教會學生方法（規律），但教學實踐卻往往忽視了教他們怎樣去探索這個方法（規律）. 方法對提高成績固然有用，但探索方法的過程對培養學生的思維更為有利. 雖然有可能學生花費很多時間在探索方面時，短期內很難提高分數，但長期訓練，對提高他們的學習能力、思考問題的能力大有益處. 因此，怎樣講授此模型是教師后續研究的重點. 在平時的教學中，教師應思考如何引導學生抽象、探究、總結、歸納出一般模型，如何培養學生提出問題、思考問題、解決問題的能力，最終讓學生大膽探索、突破常規、積極創新.