談最值問題與實(shí)際生活

蔡雅

摘 要：數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性非常強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用非常廣泛，數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的很多實(shí)際問題。比如我們常常遇到的最值問題、最優(yōu)方案問題等，這些都是最值問題的實(shí)際應(yīng)用。本文將實(shí)際生活與最值問題聯(lián)系起來，在探討最值問題的同時(shí)，進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)在生活中的巨大作用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；最值問題；生活數(shù)學(xué)

最值的使用在生活中有很多，比如求兩個(gè)點(diǎn)之間的最短距離或者兩線段和的最小，還有我們平常生活中的利潤(rùn)最大、成本最小等最優(yōu)方案的問題。這些問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)的方法去解決。下面我們先來看看有關(guān)于線段的最值問題：

一、有關(guān)線段和的最值問題

有關(guān)距離的最值問題有一個(gè)簡(jiǎn)單的問題原型。比如說要在公路上建一個(gè)公交車站，在公路旁有兩個(gè)村子A與B，問車站建在公路上的哪個(gè)位置才能使A、B兩村去車站的路程最短？這種“確定最短路線”的問題就是最經(jīng)典的求最值問題。在這里，這個(gè)問題有兩種情形，第一是兩個(gè)村子在公路的不同側(cè)，這就轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短距離，也就是兩點(diǎn)間的連線。第二是兩個(gè)村子在公路的同一側(cè)（如圖1），那么這就是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題，而解決這個(gè)問題的基本方法就是對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長(zhǎng)度不變），確定動(dòng)點(diǎn)位置（如圖2），計(jì)算線路最短長(zhǎng)度。此時(shí)，這個(gè)問題的模型又變成第一種情況，兩個(gè)村子在公路的不同側(cè)了。

由上面這個(gè)簡(jiǎn)單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法：通過軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長(zhǎng)（如圖3）。下面我們來看一道這種類型的變式題：

恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直，如圖4建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于兩高速公路同側(cè)，AB=50km，A到直線X的距離為10km，B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請(qǐng)你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值。

分析：這道題目所涉及的四邊形的周長(zhǎng)的最小值，包括四條線段的和，看起來會(huì)比較麻煩，不知道該怎么下手，其實(shí)求四邊形的周長(zhǎng)的最小值，可以把周長(zhǎng)分成四部分，先分析其中的兩段或三段，把問題拆解成類似原型題目這樣的簡(jiǎn)單問題，再做進(jìn)一步的分析。比如，可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值，單獨(dú)看這兩段的話，就變得很簡(jiǎn)單了，只要根據(jù)求兩條線段的和的一般方法，就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA，然后把幾條線段綜合起來看，這道題就不難解決了。

解析：作點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當(dāng)P、Q在線段A′B′上時(shí)，AP+BQ+PQ=A′B′最小。

過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在Rr△A′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X軸于P，交Y軸于Q。

A′B′==50，而AB=50

∴四邊形APQB的周長(zhǎng)最小值為：AB+A′B′=50（+1）

總結(jié)：有關(guān)線段和的最值問題是實(shí)際生活中常遇到的問題，解決這類問題的方法就是從最簡(jiǎn)單的問題原型出發(fā)，抓住解決問題的關(guān)鍵，把不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個(gè)小問題，把每個(gè)小問題解決，就能從整體上理清思路，解決整個(gè)問題。

二、有關(guān)函數(shù)的最值問題

有關(guān)函數(shù)的最值問題是中考常考的一種題型，也是生活中常用來解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)方法。下面我們來看這樣一個(gè)例子：某蒜薹生產(chǎn)基地收獲蒜薹200噸，下表是按批發(fā)、零售、冷庫儲(chǔ)藏后銷售三種方式每噸的平均售價(jià)及成本價(jià)：

若經(jīng)過一段時(shí)間，蒜薹按計(jì)劃全部售出獲得的總利潤(rùn)為y（元），蒜薹零售x（噸），且零售量是批發(fā)量的。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）由于受條件限制，經(jīng)冷庫儲(chǔ)藏售出的蒜薹最多80噸，求該生產(chǎn)基地按計(jì)劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤(rùn)。

解析：（1）設(shè)零售量為x，則批發(fā)量為3x，儲(chǔ)藏后銷售量為200-4x，

則y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）

y=-6800x+860000

（2）根據(jù)題意得：200-4x≤80，則x≥30

∵y=-6800x+860000在x范圍內(nèi)單調(diào)遞減

∴x=30時(shí)，y取得最大值

y=860000-6800×30=656000

也就是求得當(dāng)零售量為30噸的時(shí)候，售完全部蒜薹可獲得最大利潤(rùn)656000元。

總結(jié)：除了一次函數(shù)以外，二次函數(shù)也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活中，幫助我們解決生活中的問題。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候一定要多聯(lián)系實(shí)際，數(shù)學(xué)和生活并不是兩個(gè)獨(dú)立存在的，而是一個(gè)緊密聯(lián)系的結(jié)合體。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能使生活中的問題得到解決，而生活中的問題又是數(shù)學(xué)知識(shí)的原型，是發(fā)展數(shù)學(xué)的重要?jiǎng)恿Α?/p>

最值問題是生活中常遇到的問題，通過數(shù)學(xué)建模來解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)知識(shí)用于實(shí)際的重要體現(xiàn)，這也正說明了數(shù)學(xué)知識(shí)的生活實(shí)用性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能為我們將來創(chuàng)造美好的生活發(fā)揮應(yīng)有的作用。

參考文獻(xiàn)：

1.傅彪.關(guān)于折線段最小值問題的探究.中學(xué)數(shù)學(xué)初中版，2012，8.

2.趙秀琴.初中數(shù)學(xué)最值問題的解法.考試周刊，2012，44.

3.劉明海.盤點(diǎn)初中數(shù)學(xué)的最值問題.成才之路，2012，18.

（作者單位：浙江省諸暨市璜山鎮(zhèn)中學(xué)）