均值定理在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

李學(xué)芳

【摘 要】在中職數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，函數(shù)是當(dāng)中最重要也是最難的知識點，利用均值定理求解函數(shù)的最大值和最小值是中職數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容之一。如何將這一知識點具體、準(zhǔn)確地講解也成為很多數(shù)學(xué)老師的研究方向。筆者具有多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，主要針對一些典型的例題來分析均值定理在函數(shù)最值問題中的教學(xué)技巧和今后改善的教學(xué)方向，更好地調(diào)控實際教學(xué)的方向。

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué)；均值定理；函數(shù)；最值問題

俗話說得好：“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下全不怕”，我們在講解數(shù)學(xué)知識的過程中也要充分和實踐相結(jié)合。綜合分析多年來的單招高考試題，不難發(fā)現(xiàn)，試卷的重難點大多集中在函數(shù)這一章節(jié)。函數(shù)知識點靈活，和中職所學(xué)的很多知識都有關(guān)聯(lián)，均值定理是中職數(shù)學(xué)的重要組成部分，在單招高考中占有一定的比重，成為單招高考的高頻考點，總能以各種形式出現(xiàn)在單招高考的舞臺上，成為考驗學(xué)生綜合能力素養(yǎng)的體現(xiàn)。因而，我們教師如何將均值定理運用于函數(shù)最值這一個知識點講得通透準(zhǔn)確顯得尤為關(guān)鍵，下面給出常規(guī)的例題講解和教學(xué)方法。

一、指導(dǎo)學(xué)生多種解題思路，避免出題陷阱

例1 求函數(shù)f（x）=+x（x<0）的最值。

對于均值問題， 最常規(guī)的解題思路是直接套用公式，但是很多學(xué)生往往忽視使用公式的前提條件，忽視“一正，二定，三相等”這一前提，因此在解答這道題時很多初學(xué)者會犯一類錯誤，直接由均值定理得出答案是2，但很明顯，當(dāng)x<0時，f（x）的值為負(fù)數(shù)，最小值不可能為正數(shù)，問題就出在學(xué)生忽視了對的正負(fù)情況進(jìn)行討論，直接主觀的套用公式。求解這類題，只需在對公式掌握的基礎(chǔ)上，稍微做點變形就可以順利計算出來，對學(xué)生能力的要求并不高，關(guān)鍵是要對公式的使用前提和原則了如指掌。這就要求教師在教學(xué)的過程中，既要注重對本章節(jié)的知識精細(xì)講解，也要注重前后知識的連貫性，這樣可以建構(gòu)學(xué)生前后知識的聯(lián)系，擴(kuò)散學(xué)生的思維方式，做到解題形式多樣而又靈活，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。

例2 如果a>b，ab=1，求的取值區(qū)間。

這類題我們首先應(yīng)該觀察所求表達(dá)式本身的分子與分母的關(guān)系， 通過使用配湊法以及取公因式得到新的函數(shù)，根據(jù)題目所給條件，確定a>b，a-b>0確保了“一正，二定，三相等”的使用原則，令x=a-b=a-，則f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值區(qū)間。在解決此類題的過程中，最重要的是引導(dǎo)學(xué)生簡單地分析題目的條件，根據(jù)所給關(guān)系式運用配湊法等找出解決題目的核心，然后判斷題目所給的既定條件是否符合均值定理的使用原則，找出核心的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵。其實之所以均值問題會成為單招高考中的殺手锏，是因為學(xué)生不能夠根據(jù)題目條件很迅速地確定答題關(guān)鍵，找出核心的關(guān)系式。因此，我們針對學(xué)生出現(xiàn)的這類問題，需要適時地調(diào)整我們的教學(xué)方法，盡量做到一題多解，并且指導(dǎo)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，這對后期的學(xué)習(xí)會有更大地幫助。

二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合各地單招試題分析

很多學(xué)生對單招高考比較迷茫，對數(shù)學(xué)知識點更是沒有很好地把握。因此，我們教師要分析各地多年來的高考試卷，結(jié)合單招改革的形式，搜集有關(guān)的試題，結(jié)合例題講解，讓學(xué)生理解并學(xué)會應(yīng)用均值定理解決函數(shù)最值問題。教學(xué)過程中，我們要考慮學(xué)生的接受能力，步步為營、穩(wěn)扎穩(wěn)打，在學(xué)生平時的學(xué)習(xí)過程中穿插一些高考題，讓他們對高考有個簡單的了解，并且在講解的過程中要注意學(xué)生的解題思路，很多學(xué)生乍一看答案都是對的，但是很多都是誤打誤撞的，并沒有準(zhǔn)確地理解定理運用的前提，這是解題的大忌，要做到精細(xì)和準(zhǔn)確兩手抓，確保學(xué)生明確均值定理后再開始運用。

數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生并不是老師教出來的，學(xué)習(xí)最重要的過程是反思和將知識內(nèi)化，徹底理解并形成自己的思維模式才是最難能可貴的，因此我們要指導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，尤其是在均值定理這一個知識點中。首先，學(xué)生得明確數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)，死記硬背是行不通的，對于均值定理雖然只有幾個簡單的概念，但是真正的消化并不容易，我們在上課的過程中就要幫助學(xué)生準(zhǔn)確地理解均值定理的由來，三個條件缺一不可。其次，在我執(zhí)教的過程中，我都會要求學(xué)生準(zhǔn)備錯題集，均值定理在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用范圍很廣，很多題目初看覺得和定理無關(guān)，其實很多解題關(guān)鍵都是很隱秘的，學(xué)生必然會掉到陷阱里。那么如何將這些知識做一個很好的歸類呢？這就要發(fā)揮錯題集的作用了，將自己經(jīng)常錯的和題目條件隱晦的題目整理起來，幫助自己后期系統(tǒng)復(fù)習(xí)，也彌補了這類知識的學(xué)習(xí)漏洞，考前將錯題重新做一下相較于做新題更有價值，學(xué)習(xí)本就是不斷溫故知新的過程。

綜合而言，均值定理的教學(xué)過程中要充分幫助學(xué)生正確地理解使用原則，并且運用不同的典型例題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生建立基本的知識架構(gòu)，并且要做到一題多解，避免學(xué)生思維單一性。最關(guān)鍵的是要指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，完成對知識的內(nèi)化。

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