巧用一條線?解決一類題

張軍

摘 要：在平時(shí)教學(xué)中，將同一類型的問(wèn)題進(jìn)行歸納、總結(jié)出通性通法，引導(dǎo)學(xué)生在變化的問(wèn)題中尋找不變的本質(zhì)，對(duì)提高課堂效率和學(xué)生的解題能力有很大的幫助。本文基于一道中考試題的思考，對(duì)二次函數(shù)的一類最值問(wèn)題的解法進(jìn)行了總結(jié)歸納，在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 最值問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型

隨著新課改的進(jìn)行，各地中考數(shù)學(xué)試卷異彩紛呈，尤其是二次函數(shù)的最值問(wèn)題，題型靈活多樣，設(shè)計(jì)新穎精巧，既繼承傳統(tǒng)又勇于創(chuàng)新，體現(xiàn)能力立意和學(xué)科本質(zhì)，具有典型、示范和遷移性。在教學(xué)中，注意讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，在變化的問(wèn)題中找到不變的本質(zhì)，通過(guò)轉(zhuǎn)化把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一類已解決的問(wèn)題，并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)與技能求得問(wèn)題解決。

本課例是對(duì)一類中考二次函數(shù)最值問(wèn)題的思考，課例設(shè)置的問(wèn)題從學(xué)生的已有水平出發(fā)，貼近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，設(shè)問(wèn)由易到難、由簡(jiǎn)到繁，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，沿著“鉛垂線段——斜線段——周長(zhǎng)——面積”主線層層推進(jìn)。課例的教學(xué)設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生探索研究二次函數(shù)的最值問(wèn)題如何轉(zhuǎn)化、歸一，幫助學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步實(shí)現(xiàn)由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的飛躍，體現(xiàn)了筆者對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)和理念，期與同仁相互切磋，敬請(qǐng)批評(píng)

指正。[1]

一、問(wèn)題引領(lǐng) 探究本質(zhì) 發(fā)掘這條線

針對(duì)中考試題的特征，本課例設(shè)計(jì)的引入問(wèn)題圍繞數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵展開(kāi)，由淺入深喚醒學(xué)生對(duì)已學(xué)過(guò)的事實(shí)、法則、公式以及定義的記憶，教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)先前的學(xué)習(xí)材料的準(zhǔn)確再現(xiàn)的內(nèi)容直接陳述，引導(dǎo)學(xué)生探究一種解決問(wèn)題的思維，較清楚的通過(guò)預(yù)設(shè)問(wèn)題顯示學(xué)生對(duì)某個(gè)具體問(wèn)題的認(rèn)識(shí)水平和思維層次。[2]

問(wèn)題：如圖1（圖略），已知拋物線經(jīng)過(guò)直線與、軸的交點(diǎn)B、C，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)D是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的表達(dá)式；（3）過(guò)D作DE//軸交直線BC于點(diǎn)E，求線段DE長(zhǎng)度的最大值.

解法研究：（1）、（2）略；

（3）設(shè)點(diǎn)D（，）（）；點(diǎn)E在BC上，有E（，），線段.則當(dāng)時(shí)，線段DE最大值為2；

功能分析：本問(wèn)題的設(shè)置角度常規(guī)，解題思路寬廣，幫助學(xué)生體驗(yàn)二次函數(shù)研究的是“數(shù)”與“形”的關(guān)系，“數(shù)”即二次函數(shù)的數(shù)量特征，“形”即為二次函數(shù)圖像的幾何特征，幫助學(xué)生架起“數(shù)”、“形”溝通的橋梁。繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入研究：?jiǎn)栴}（3）中線段DE的最值求解的，幫助學(xué)生建立模型，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映與體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，認(rèn)識(shí)問(wèn)題是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)線段DE的價(jià)值，汲取知識(shí)，存儲(chǔ)模型。

二、變式探究 突出思想 用好這條線

變式教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了一類題解法套路的遷移，并鞏固加深了模型的認(rèn)識(shí)，在一脈相承的問(wèn)題串研究中，聯(lián)想類比相關(guān)題型，在題干背景條件不變的情況下，改變提問(wèn)的對(duì)象，圖形轉(zhuǎn)化，在辨析對(duì)比中，一題多解，一題優(yōu)解，打開(kāi)解題思路，把學(xué)生的思維引向新的高度。

變式1：已知，上述條件不變，過(guò)點(diǎn)D作DFBC，垂足為點(diǎn)F，則求點(diǎn)D到直線BC的最大距離及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)。

解法研究：

方法1：如圖2（圖略），過(guò)D作DE//軸交直線BC于點(diǎn)E，可證△BOC∽△DFE，且OC=2，OB=4，根據(jù)勾股定理：BC=，由相似比例式得：，當(dāng)DE最大時(shí)，DF取得最大值。則根據(jù)上述問(wèn)題可知：設(shè)點(diǎn)D（，）（其中）；則當(dāng)時(shí)，線段DE最大值為2，DF最大等于，此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-3）.

方法2：如圖3（圖略），過(guò)點(diǎn)D作與BC平行的直線l，當(dāng)直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到直線BC的距離是最大的。設(shè)解析式得方程，求得，代入求點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，-3），再利用D點(diǎn)坐標(biāo)求最大面積。

功能分析：比較兩種解法，體會(huì)這條“鉛垂高”的妙處。變式的設(shè)置在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上拓展延伸，是每個(gè)問(wèn)題都建立在前面已解決的基礎(chǔ)上，在變式的解法上培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，一題多解。同時(shí)，又幫助學(xué)生體會(huì)到雖然解題的出發(fā)點(diǎn)不同，但最終都?xì)w一到這條“鉛垂高”，總結(jié)解題的最優(yōu)方案，明了解題的思路。

變式拓展：如圖4（圖略），過(guò)D作DE//軸交直線BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在直線BC上，且四邊形DFEG為矩形，求矩形DFEG的周長(zhǎng)的最大值。[3]

解法研究：當(dāng)四邊形DFEG為矩形時(shí)，即DFBC，連接DE，由上述可知：△BOC∽△DFE，

則：，

故四邊形DFEG的周長(zhǎng)：.

則當(dāng)點(diǎn)D（2，-3）時(shí)，DE最大為2，則四邊形DFEG的周長(zhǎng)最大為.

功能分析：二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合時(shí)，要從“數(shù)形結(jié)合”的角度審視，要根據(jù)矩形這一特殊圖形的幾何性質(zhì)特征，善于發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)中的這條“鉛垂線”的作用，即是兩者之間的紐帶，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。體會(huì)“周長(zhǎng)——鉛垂高”的這一類最值問(wèn)題的探究，培養(yǎng)學(xué)生建立幾何模型，促進(jìn)學(xué)生自覺(jué)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。

三、能力培養(yǎng) 注重本質(zhì) 用活這條線

變換角度，將不同的問(wèn)題對(duì)象設(shè)置在統(tǒng)一的問(wèn)題情景下，符合中學(xué)生的思維特征，給學(xué)生同一個(gè)舞臺(tái)，不同的劇本，讓他們的思維盡情舞動(dòng)，在探究利用“鉛垂高”求二次函數(shù)最值得路上越走越精彩。

變式2：在上述問(wèn)題里其他條件不變的情況下，連接BD，CD，如圖5（圖略），求△BCD的面積最大值.

解法研究：過(guò)D作DE//軸交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)C到DE的距離為，點(diǎn)B到DE的距離為，

則

則當(dāng)DE最大時(shí)，△BCD的面積取到最大值，

此時(shí)點(diǎn)D（2，-3），△BCD的面積最大值為4.

功能分析：本問(wèn)題的設(shè)置前后呼應(yīng)，因?yàn)椤鰾CD的底BC不變，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，即高最大，對(duì)應(yīng)上述變式1“點(diǎn)D到BC距離最遠(yuǎn)”的問(wèn)題。幫助學(xué)生建立問(wèn)題之間的聯(lián)系，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系之間建立起有助于發(fā)展意義理解的聯(lián)系，體會(huì)“面積——鉛垂高”的探究過(guò)程，不僅找到了問(wèn)題的解決思路而且把這些思想相互聯(lián)系起來(lái)，拾級(jí)而上，探尋學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟能力。

四、追根溯源 鏈接中考 用巧這條線

聯(lián)系中考，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，在探索試題的路上，幫助學(xué)生把知識(shí)點(diǎn)循跡理線，將問(wèn)題串“珠”成“鏈”，將方法歸類擇優(yōu)，把原本孤立的知識(shí)點(diǎn)按一定的思維序列串聯(lián)起來(lái)，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)了由厚向薄的轉(zhuǎn)化，由量到質(zhì)的飛躍，從線段的長(zhǎng)度問(wèn)題向幾何面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化的本領(lǐng)。

中考鏈接：如圖6（圖略），若已知拋物線經(jīng)過(guò)直線與、軸的交點(diǎn)B、C，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，點(diǎn)D是軸下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DB，DC，設(shè)所得的△BCD的面積為S。

（1）求S的取值范圍；（2）若△BCD的面積S為整數(shù)，則這樣的△BCD共有 個(gè)。

解法研究：（1）（過(guò)程略）綜上所述：.（2）（過(guò)程略）面積是整數(shù)的共有11個(gè)點(diǎn).

功能分析：立足中考，把握中考試題的方向脈搏，研究壓軸題的特征，我們?cè)趯忣}中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，探究中體會(huì)“面積的范圍問(wèn)題——面積的最值問(wèn)題——鉛垂高”，當(dāng)我們能巧用“鉛垂高”這條線求出面積最值時(shí)，問(wèn)題即迎刃而解。

五、教學(xué)反思 方法提煉 讓自己更智慧

1.教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)分析

本課例的設(shè)計(jì)有“起步低、步子小、變式多”的特點(diǎn)，通過(guò)巧妙的預(yù)設(shè)、科學(xué)的變式讓學(xué)生不斷深入思考，建立求二次函數(shù)最值問(wèn)題的基本思路——作“鉛垂高”。在教學(xué)中忽略純粹的公式記憶，重視解決問(wèn)題的操作過(guò)程，領(lǐng)會(huì)解決問(wèn)題的核心是數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生經(jīng)歷破題的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生自己去思考、建模探究，在探究與體會(huì)求二次函數(shù)最值問(wèn)題的方法，培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)自然生動(dòng)，突出問(wèn)題意識(shí)

本課例教學(xué)設(shè)計(jì)由一道中考試題引出筆者的一些思考，進(jìn)而對(duì)試題的不斷研究，總結(jié)出的解決二次函數(shù)一類最值問(wèn)題的方法，在問(wèn)題的設(shè)計(jì)過(guò)程中，從解決二次函數(shù)的“鉛垂高”的最值問(wèn)題為基礎(chǔ)，層層推進(jìn)，在探索問(wèn)題求解過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，避免“上課一聽(tīng)就懂，課后一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象。

3.抓住數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)，突出建模教學(xué)核心

在設(shè)計(jì)的梯度上，課例通過(guò)“點(diǎn)——線——面”的思路設(shè)計(jì)問(wèn)題，結(jié)合方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方法，探索解決問(wèn)題的本質(zhì)，使一類問(wèn)題歸一到“求鉛垂高最值”的問(wèn)題。提升了學(xué)生的建模能力和邏輯推理計(jì)算能力，豐富了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，完善更新了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程教學(xué)”，在教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)教師的啟發(fā)、激勵(lì)、引導(dǎo)體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，通過(guò)解決二次函數(shù)一類最值問(wèn)題，關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)方法和思想的滲透，幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，會(huì)一題，解一類，會(huì)一類，通一片，歸納一類題的特征，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)感受數(shù)學(xué)的通性通法，發(fā)展學(xué)生的思維。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京師范大學(xué)出版社，2012.1

[2]朱建華.例談初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2013

[3]韋玉球，劉立明.中學(xué)數(shù)學(xué)求解最值問(wèn)題的方法探尋.教育教學(xué)論壇，2014