例談中考數學壓軸題最值問題的思維分析與解題策略

【摘要】2016年福建省龍巖市中考數學壓軸題是求最值的綜合性問題，如何才能找到解決最值問題的解題途徑？文章從解題思維過程和解題策略兩個方面進行了詳細分析，通過有用捕捉、有關提取、有效組合三個方面展示了其思維過程，并用有效的解題策略來指導，讓一個抽象的思維過程，變成了一個簡單明了的思維過程。

【關鍵詞】最值問題 思維分析 解題策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）05-0162-02

二、思維過程分析

解題過程就是信息的獲取、存儲、處理和輸出，從精心審題，捕捉基本信息，到溫故知新，提取有關信息，最后去偽存真，組合有效信息進行解題，充分反映了解題者的心路歷程，分析這個過程中的知識結構和邏輯關系，是提高解題能力的有效途徑。

1.有用捕捉

有用捕捉是指從審題中捕捉有用的信息，包括從題目的文字敘述中捕捉符合信息和從題目的圖形中獲取形象信息。

2.有關提取

有關提取是指從自己的記憶儲存中提取有關信息，包括概念、公式、定理、法則、基本題型、解題模型、解題方法等，這些信息是解題繼續推進的依據，如：

模式1：A，B兩點在直線l的同側，直線上存在唯一一點P，使PA+PB的值最小。

模式2：村莊A，B位于小河的兩側，若河岸彼此平行，則可建一座與河岸垂直的橋CD，使A村到B村的路程最近。

3.有效組合

有效組合是指將從題目中捕捉到的有用信息與從記憶儲存中提取的有關信息結合起來思考，并畫出解題的思維過程，使之成為一個和諧的邏輯結構（框圖略）。

三、解題策略

數學解題策略是指解數學題過程中所采取的總體思路，是帶有原則性的思想方法，它既能指導思維模式的靈活運用，又能統帥各種具體的解題方法與較小的模式。

1.模式識別

模式識別是把一個新問題化歸為一個熟悉的問題，也就是說，當遇到一個新問題時，辨認它屬于哪一類基本模式，聯想起一個已經解決的問題，已此為索引，在記憶存儲中提取出相應的方法來加以解決，這一種策略體現了化歸的思想。

2.動靜轉換

動和靜是事物狀態表現的兩個側面，它們相比較而存在，依情況而轉化，動中有靜，靜中寓動。因為事物在運動中總會有一些穩定的狀態，抓住這些不變的性質或不變量，可以作為解題的突破口。

3.數形結合

在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考慮，斟酌問題的具體情形，把圖形性質問題轉化為數量關系問題，或者反過來，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，進而達到化難為易的目的。數形結合是研究數學問題的有效途徑和重要策略，它體現了數學的和諧美、統一美。第（3）小題求四邊形AC′D′E周長的最小值，這個問題看上去是四條線段和的最值，注意到線段EA、C′D′是定值，其實就是兩條線段AC′、D′E之和的最值問題。由圖可看到線段AC′、D′E雖然在定直線CD的同側，但與模式1區別在于這兩條線段沒有公共端點，故要把這兩條線段中的某一條移到新的位置，使其與另一條線段對接即可，聯想到模式2中運用的平移變換手法，可將線段AC′平移至D′F（或將線段D′E平移至C′F）.作點E關于直線CD的對稱點E′，連接EE′正好過點M，交x軸于點N，連接E′F交直線CD于點H，則當點D′與點H重合時，四邊形AC′D′E的周長最小。

4.差異分析

差異分析是指通過分析條件與結論之間的異同、并不斷減少目標差來完成解題的策略。如第（3）小題最顯著的目標差是：四邊形AC′D′E的邊AE、C′D′是定值，若使四邊形AC′D′E周長最小，只要使AC′+D′E的和最小，目標差減少，根據模式1，這樣的點通過作圖是存在的，目標差進一步減小，進而轉化為求點D′（或C′）的坐標，求點D′的坐標可以通過求直線E′F的解析式來解決，也可以用相似三角形的性質來解決。

總之，解答中考壓軸題的最值問題，學生要有充足的知識儲備，熟悉的解題策略，較強的捕捉、提取、組合能力，才能在新的解題情境中達到事半功倍的解題效果。

作者簡介：

林年生（1961—），男，福建省上杭縣人，中學高級教師，大學本科學歷，龍巖市及上杭縣名師，主要從事初中數學教學研究。