例析二次函數最值問題的解法

趙瑩瑩

【摘要】 初中二次函數為中考數學中的重要考點，更是初中高中數學知識的銜接點，二次函數常以綜合性的壓軸題目出現，而二次函數的最值問題又是重要的考試熱點之一，同時二次函數的最值問題也是初中階段的數學學習中的一個重點和難點，為了提升學生解決這種類型問題的數學思維和解題技巧，本文從二次函數利潤最大、線段的最值問題和二次函數面積最大這三個問題出發，試圖歸納該類問題的解題思路、方法與技巧，供中考備考的師生們作為參考，基于此本文展開對二次函數最值問題的探討。

【關鍵詞】 二次函數 最值問題 待定系數法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）03-168-01

一、“二次函數利潤最大”問題

例1.[2015·濱州]一種進價為每件40元的T恤，若銷售單價為60元，則每周可賣出300件，為提高利益，就對該T恤進行漲價銷售，經過調查發現，每漲價1元，每周要少賣出10件，請確定該T恤漲價后每周銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并求出銷售單價定為多少元時，每周的銷售利潤最大。

分析：用每件的利潤乘以銷售量即可得到每周銷售利潤，即

y=（x-40）[300-10（x-60）]=-10（x-65）2+6250

∵x-60≥0且300-10（x-60）≥0，

∴60≤x≤90，

即當x=65時，y的值最大。

本題是利用二次函數解決利潤問題，在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關鍵是通過題意，確定出二次函數的解析式，通過配方成頂點式，利用函數的性質，然后求出最大值。在實際問題中要特別注意自變量的取值要保證實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。

二、“二次函數線段最短”問題

例2.（2013廣東，23）已知二次函數y=x2-2mx+m2-1，

（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；

（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；

（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由。

分析：（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），代入二次函數得：m2-1=0∴m=±1，

∴二次函數的解析式為：y=x2-2x或y=x2+2x

（2）依題意可得：

∵m=2

∴y=x2-4x+3=（x-2）2-1

則二次函數的頂點為D（2，-1），C點坐標為（0，3）

（3）存在；理由如下：通過數形結合，由圖可根據“兩點之間線段最短”知，當點P是直線CD與x軸的交點時，

PC+PD最短，設直線CD的解析式為y=kx+b則有

本題為二次函數與平面幾何的綜合題，也是中考數學常見的題型，在題（1）

中要確定二次函數的解析式，需要構造關于待定系數m的方程；題（2）需要用配方法求出頂點坐標，題（3）考察的主要是兩點之間，線段最短的應用。

三、“二次函數面積最值”問題

例3.[2015，安順]如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A（-1，0），B（4，52），點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出當S取最大時的點C的坐標。

（1）由題意得

從近幾年各地中考試卷來看，求解面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數結合，使得題目具有一定的難度.其中“鉛垂高，水平寬”就是常用的求解面積最大值的方法（即是三角形的面積等于水平寬與鉛錘高乘積的一半），通過歸納解題方法，可以使得我們擺脫題海戰術，提高學生的解題能力。同時，善于總結題目的解決方法能夠加快解題速度，提升效率，達到事半功倍的效果，同時也有利于培養學生的鉆研能力和創新能力。

二次函數的最值問題一直是初中階段試題中的常見綜合題型，這類題型不僅包含的知識點多，而且融合了一些動態探索性的問題，它集平面幾何、函數及方程等相關知識于一身，題型的靈活性強、難度較大，要求學生需要必備一定的解題經驗，在靈活運用基礎知識的同時充分發揮和運用各種數學技能去分析和解決問題。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]于石.關于二次函數實際應用的研究[J].2015（05）.

[2]劉元春.淺談二次函數的常見題型[J].2009（29）.

[3]楊蕓.二次函數最值的應用.2005（03）.