巧構圖形 妙解試題

劉成龍

摘 要：構造法是指根據題設條件或結論所具有的特征、性質，進而構造出滿足條件及結論的數學模型.構造圖形是構造的重要手段，在問題的轉化中有積極作用.以高考中與向量有關的最值問題為例給出構造圖形法的具體應用.

關鍵詞：圖形；構造；最值問題

構造法是指根據題設條件或結論所具有的特征、性質，進而構造出滿足條件及結論的數學模型[1].構造法的核心是運用轉化思想，進行命題轉換，用產生的新方法或從新的角度解決原問題.波利亞指出：“構造一個輔助問題是一項重要的思維活動.”可見，構造法在解題活動中有積極作用.

高中數學解題常用的構造方法有：構造方程、函數、圖形、數列等.其中構造圖形解題就是根據條件或結論中的數量關系，構造適合的圖形，進而再運用相關幾何性質解決問題.現以高考中與向量有關的最值（范圍）問題為例說明構造圖形法的應用.

類型一 構造三角形

例1 （2016年四川卷理科10題）在平面內，定點A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動點P，M滿足|AP|=1，PM=MC，則|BM|2的最大值是（ ）

A.434 B.494 C.37+634 D.37+2334

分析 如圖1，因為|DA|=|DB|=|DC|，所以A，B，C在以D為圓心的圓上，即D為△ABC外心.由DA·DB=DB·DC，得DB·AC=0，所以DB⊥AC，同理可得DA⊥BC，DC⊥AB，所以D為△ABC垂心.所以△ABC為等邊三角形.由DA·DB=|DA|·|DB|·cos120°=-12BD2=-2，得BD=2，BC=23.

延長CB到Q，使QB=BC.又B，M分別為CQ，CP中點，所以MB=12QP.故求|BM|2max，只需求（QP）max，顯然當QP經過圓心A時，取得最大值.延長AD交BC邊于點O，O為BC中點，且AO⊥BC，OQ=33.故（QP）max=AQ+1=AQ2+QO2+1=33+3（3）2+1=7，所以|BM|2max=（72）2=494.

評注 本題也可利用三角換元、柯西不等式等方法解答，但計算量大且運算復雜.通過構造三角形△PCQ，利用中位線定理等平面幾何知識，大大降低了運算難度.

例2 （2011年天津卷理科14題）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|的最小值為.

分析 如圖2，作直線l∥CD，使l與CD的距離為3.作射線BP與l交于點E，過E作直線CD的垂線，垂足為點F.

因為BC∥EF，所以△BCP∽△EFP，所以BPEP=BCEF=13，所以EP=3PB，所以PA+3PB=PA+EP=EA，所以|PA+3PB|min=|EA|min.當E，D，A三點共線時，|EA|最小值|E′A|，所以|EA|min=E′D+DA=3+2=5，故|PA+3PB|min=5.

評注 上述解答由所求表達式|PA+3PB|中的“3”引起思考，作出平行線l，目的是為了構造相似三角形，將3PB轉化為向量EP，進而將PA+3PB轉化為向量EA，再求|EA|min即可.

類型二 構造四邊形

例3 （2013年浙江卷理科17題）設e→1，e→2為單位向量，非零向量b→=xe→1+ye→2，x，y∈R，若e→1，e→2的夾角為π6，則|x||b→|的最大值等于.

分析 設OE=e→1，OF=e→2，

（1）當x>0，y>0時，如圖3，設OA=xe→1，OB=ye→2，以OA，OB為鄰邊構造平行四邊形OACB，則b→=OC.在△OAC中，設∠OCA=θ（0°<θ<30°），則由正弦定理知|OA|sinθ=|b→|sin150°，

即|x|sinθ=|b→|sin150°，所以|x||b→|=2sinθ，又0°<θ<30°，故|x||b→|∈（0，1）.

（2）當x<0，y<0時，可轉化為（1）處理，此處略；

（3）當x>0，y<0時，如圖4，同（1）可得|x||b→|∈（1，2].

（4）當x<0，y>0時，可轉化為（3）處理，此處略；

（5）當x=0，y≠0時，b→=ye→2，則|x||b→|=0|y|=0.

（6）當x≠0，y=0時，b→=xe→1，則|x||b→|=|x||x|=1.

綜上，|x||b→|的最大值等于2.

評注 解答中通過討論x，y的取值范圍情況，構造平行四邊形，再利用正弦定理得到|x||b→|與角度θ的一個關系式，進而求得|x||b→|的取值范圍.

類型三 構造圓

例4 （2013年湖南卷理科6題）已知a→，b→是單位向量，a→·b→=0，若向量c→滿足|c→-a→-b→|=1，則|c→|的取值范圍是（ ）

A.[2-1，2+1]B.[2-1，2+2]

C.[1，2+1]D.[1，2+2]

分析 設OA=a→，OB=b→，OC=c→.因為a→，b→是單位向量且a→·b→=0，故以OA，OB為鄰邊構造邊長為1的正方形OADB，如圖5，a→+b→=OD.

因為向量c→滿足|c→-a→-b→|=|DC|=1，所以點C在以D為圓心，1為半徑的圓上運動，于是|c→|max=|OE|=OD+DE=2+1，|c→|min=|OF|=OD-DF=2-1，故選A.

評注 解答中通過從同一起點構造向量a→，b→，c→，容易將向量c→-a→-b→轉化為DC，又|DC|=1，得出OC的終點C的運動軌跡為以D為圓心，1為半徑的圓，于是當OC所在直線通過圓心D時，|OC|可分別取得最小值|OF|和最大值|OE|.

例5 （2011年全國卷理科12題）設向量a→，b→，c→滿足|a→|=|b→|=1，a→·b→=-12，=60°，則|c→|的最大值等于（ ）

A.2B.3C.2D.1

分析 因為|a→|=|b→|=1，a→·b→=-12，所以cos=a→·b→|a→|·|b→|=-12，即=120°.又=60°，故可構造圖形如下：

如圖6，a→，b→，c→的終點分別為A，B，C，且A，B，C都在以P為圓心，1為半徑的圓上，顯然|c→|=1；

如圖7，a→，b→，c→的起點為P，終點分別為A，B，C，且A，B，C都在以O為圓心，r為半徑的圓上，故當線段PC經過圓心O時，|c→|max=|PC′|=2r.連接AB，AO.因為PA=PB=1，由∠APB=120°，得∠PBA=30°，所以∠AOP=60°，所以△APO為等邊三角形，故r=PA=1.于是|c→|max=2r=2.

綜上，|c→|max=2，故選A.

評注 考慮到題目條件60°，120°的特殊關系，結合圓的相關知識，分兩種情況構造了a→，b→，c→，具體為：利用同弧所對的圓心角是圓周角的2倍關系構造了圖6，利用圓的內接四邊形對角互補構造了圖7.本題也可以利用向量的數量積及均值不等式解決，但對如何將題設條件處理轉化為不等式進行放縮要求較高.因此，借助圖6，圖7解決向量模長的最值問題顯得更為簡潔、直觀.

通過上述例題分析，可以看出構造圖形解題，能將抽象、復雜問題形象化、簡單化，使問題更加直觀，對提高學生分析問題、解決問題的能力有著重要作用.

參考文獻：

[1] 卓水鑫.高中數學解題中構造法的巧妙運用[J].新課程學習，2014，（4）：75-77.