排列組合的幾種解題方法分析

張雄風(fēng)

【摘 要】排列組合內(nèi)容獨(dú)特，而且題目較為靈活，解題的思路也多種多樣，學(xué)生在解答排列組合問題的過程中常常會出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算和漏算的錯誤，這類問題又無法對其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，所以它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重難點(diǎn)。接下來本文主要對排列組合的解題方法進(jìn)行歸納分析。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；排列組合；解題方法

一、概述

排列組合與我們的生活息息相關(guān)，而且靈活多變，同學(xué)們通常都很難把握。但只要對排列組合的解題方法進(jìn)行歸納總結(jié)，做到了然于心，看到題目就知道用哪種解題方法進(jìn)行解題，這樣將會大大增加學(xué)生對排列組合的掌握程度。排列組合解題方法主要包括分類與分步法、特殊元素優(yōu)先考慮法、混合問題先選后排法、否定問題淘汰法和相鄰捆綁法，相隔插空法。

二、幾種常見方法

1.分類與分步法

在解答題目中含有限定條件這一類排列組合問題時(shí)，我們應(yīng)該先將題目中所提到的元素按照其特性進(jìn)行分類，然后按照事件的先后順序?qū)︻}目進(jìn)行分步解答，同時(shí)保證每一步都是相對獨(dú)立，不要算重或漏算。在最后的計(jì)算過程中要注意計(jì)算法則分類則和，分步則積。例如：有五個(gè)蘋果排成一排，其中甲蘋果不能排在排頭，乙蘋果不能排在末尾，問共有幾種排法？分析：根據(jù)題意我們可以先排甲，對甲的位置進(jìn)行討論：1）若將甲蘋果排在末尾，那么剩下四個(gè)蘋果就可以任意排了，共有A 種排法；2）若將甲蘋果排在第二，第三或第四個(gè)位置上，則有A A A 3種排法，然后根據(jù)排列組合中分類計(jì)數(shù)原理，將所有結(jié)果進(jìn)行相加，共有A +A A A =78種排法。

2.特殊元素優(yōu)先考慮發(fā)

在一道排列組合題目中如果含有某個(gè)特殊元素，一般我們應(yīng)優(yōu)先考慮特殊元素，從特殊元素著手，然后再考慮其它元素的排列組合問題。例如有五張卡片，卡片上依次標(biāo)注的數(shù)字為0，2，3，4，5，選擇三張卡片組成一個(gè)三位數(shù)，問組成的三位數(shù)中有多少是偶數(shù)？分析：根據(jù)題意要求組成的這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)，所以最后一個(gè)數(shù)字一定要是偶數(shù)，只能是0或2或4，又因?yàn)?不能排在首位，所以本題中0就是特殊元素，應(yīng)優(yōu)先考慮。根據(jù)0排放的位置我們將0分成兩類，：1）0排末尾時(shí)有A 個(gè)；2）0不排在末尾時(shí)，則有個(gè)A A A ；根據(jù)分類計(jì)數(shù)的原理，總共有A +A A A =30個(gè)。

3.混合問題先選后排法

對于排列組合中混合類的問題，我們一般可以先將所需的元素選出來然后再對元素進(jìn)行排列組合。例如4個(gè)不同小球滾入四個(gè)不同的小洞中，正好有一個(gè)空洞，問小球共有多少種滾法？分析：題目中提到正好一空的洞，所以肯定有一個(gè)洞中滾入了兩個(gè)小球。首先我們先將2個(gè)小球選出來，從4個(gè)中選2個(gè)，共有C 種選法；接下來在從4小洞中選3個(gè)洞來裝小球，共有C 種選法；然后把選出來的的2個(gè)小球看成是一個(gè)小球，這樣就變成了3個(gè)小球，3個(gè)球滾入3個(gè)洞中共有A 種滾法，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)的原理共有C C A 種滾法。

4.否定問題淘汰法

對于排列組合中含有否定意思的問題，可以從整體中把不符合條件的去除，但需要注意的時(shí)一定要細(xì)心，不能除去多了或者少了。例如在方法2中的例題，就可以用此種方法來解答：5張卡片排成三位數(shù)，共有A 種排法，但0不能排在首位，所以需要去除這種情況；而且因?yàn)槭桥紨?shù)所以3、5不能排在最后一位，所以也要去除。故共有A -A -A A A =30。

5.相鄰捆綁法，相隔插空法

在解答幾個(gè)元素相鄰的排列組合問題時(shí)，我們應(yīng)先從整體進(jìn)行考慮，將題目中要求相鄰的元素捆綁成一個(gè)元素進(jìn)行排列組合，然后在對捆綁的部分進(jìn)行排序，這種解題的方法就叫捆綁法。例如有8本不同的書；包括3語文書，2本化學(xué)書和3本其它學(xué)科的書籍。把這些書排成一行，但要3本語文書必須排在一起，2本化學(xué)書也必須排在一起的排法共有多少種？分析：首先把3本語文書看成一個(gè)整體，2本化學(xué)書看成一個(gè)整體，這樣加上其他3本書，就相當(dāng)于5個(gè)元素，全排列共有A 種排法；3本語文書有A 種排法，2本化學(xué)書有A 種排法；然后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有A A A =1440種排法。在解決排列組合中要元素不相鄰的問題時(shí)，可以先將其它的元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入到已排好元素的間隙或兩端位置，這就是插空法。例如原有6張不同的紙牌，若保持這些紙牌的相對順序不變，再添加進(jìn)去3張紙牌，問共有多少種不同的添加方法？分析：本題直接解答比較麻煩，可根據(jù)插空法去解題，6張紙牌中間加兩端正好有7個(gè)空，可先用一張紙牌去插這7個(gè)空位，這就有7種插法；然后再用另一個(gè)紙牌去插現(xiàn)在的8個(gè)空位，就有8種插入方法了；最后再用剩下的一張紙牌去插目前的9個(gè)空位，有9種插入方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為7*8*9=504種。

三、結(jié)語

綜上所述，排列組合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，我們應(yīng)對其足夠重視。只有掌握了解題方法，我們才能更加容易的去解答排列組合這類題目。以上的幾種方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，我們要在以后的學(xué)習(xí)中加以總結(jié)，并能學(xué)以致用，這樣我們對排列組合的理解也將會更加深刻。

【參考文獻(xiàn)】

[1]史曉偉.高中數(shù)學(xué)排列組合推理的教學(xué)管窺[J].數(shù)理化解題研究，2016（21）

[2]劉忠?guī)r.高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（36）

[3]張志軍.排列組合問題的學(xué)習(xí)[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中數(shù)學(xué)教學(xué)），2014（01）

[4]王緒暉.活躍在生活中的排列組合問題[J].理科考試研究，2014（21）

[5]王庶.例析排列組合的常見題型[J].高中生學(xué)習(xí)（高二版），2014（11）