例析圓錐曲線解答題中的雙向量系數問題

摘要：圓錐曲線解答題中常涉及以向量形式呈現的條件，求解兩個向量系數相關的定值或最值問題. 文章結合具體例子總結這類問題常見的解題策略.

關鍵詞：圓錐曲線;向量系數;定值最值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0033-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：李寧（1989-），男，海南省文昌人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

圓錐曲線解答題的一些條件涉及兩個向量系數，如AP=λPB，AQ=μQB，或OC=λOA+μOB，然后求解跟λ和μ有關的定值或最值問題. 下面結合具體例子總結處理這類問題的解題策略.

例1點P（1，2）在拋物線C：y2=4x上，過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，設直線PA交y軸于點M，直線PB交y軸于點N. 設O為原點，QM=λQO，QN=μQO，求證：1λ+1μ為定值.

解析設A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），則QM=（0，y3-1），QO=（0，-1）.

于是y3-1=-λ，即λ=1-y3.

同理，μ=1-y4.

由于P，A，M三點共線，有

y3-2-1=y1-2y214-1=4y1+2.

解得y3=2y1y1+2.

同理，y4=2y2y2+2.

直線l斜率不為0，設其方程為x=m（y-1），

與y2=4x聯立，得

y2-4my+4m=0.

從而y1+y2=4m，y1y2=4m.

所以1λ+1μ=11-y3+11-y4

=y1+22-y1+y2+22-y2

=8-2y1y24-2（y1+y2）+y1y2

=8-8m4-8m+4m

=2.

所以1λ+1μ為定值.

評注λ和μ與點M，N的縱坐標有關，而M，N兩點與A，B兩點有關，1λ+1μ最終可以轉化為與A，B兩點縱坐標有關的表達式. 考慮到最后要通過縱坐標來運算，所以設直線l的方程為x=m（y-1），降低了計算量. 這類定值問題，可以用相應點的橫坐標或者縱坐標構建目標表達式，然后將直線方程和圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理整體消元即可得到定值.

例2直線l經過橢圓C：x22+y2=1的右焦點F交橢圓于A，B兩點. 若直線l交y軸于點M，且MA=λAF，MB=μBF，則λ+μ是否為定值？若是，求出λ+μ的值;否則，請說明理由.

解析由題知F（1，0），設A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），則

MA=（x1，y1-y0），

AF=（1-x1，-y1）.

從而x1=λ（1-x1），y1-y0=-λy1.

即x1=λ1+λ，y1=y01+λ.

因為點A在橢圓C上，則

λ1+λ2+2y01+λ2=2.

即λ2+4λ+2-2y20=0.

同理，μ2+4μ+2-2y20=0.

從而λ和μ是二次方程x2+4x+2-2y20=0的兩根，故λ+μ=-4，為定值，定值為-4.

評注例2和例1類似，可以用相應點的橫坐標或縱坐標來表示λ+μ，再利用韋達定理整體消元. 這里注意到例2的特殊性，A，B兩點地位相同，利用點A在橢圓C上構建λ有關的二次方程，同理得到跟μ有關的二次方程，利用韋達定理直接得到λ+μ的值.

例3設A為橢圓C：x22+y2=1上的一個動點，F1，F2分別為橢圓的左右焦點，AM，AN分別為過F1，F2的弦，且AF1=λF1M，AF2=μF2N，求證：λ+μ為定值.

解析由題知F1（-1，0），F2（1，0），設A（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），則

AF1=（-1-x1，-y1），

F1M=（x2+1，y2）.

故-1-x1=λ（x2+1），-y1=λy2.

即x2=-1+λ+x1λ，y2=-y1λ.

因為點M在橢圓C上，從而

1+λ+x1λ2+2y1λ2=2.

即（1+λ）2+2（1+λ）x1+x21+2y21=2λ2.

又x21+2y21=2，從而

2（1+λ）x1=λ2-2λ-3=（λ-3）（λ+1）.

由于λ>0，從而2x1=λ-3.

即λ=2x1+3.

同理μ=-2x1+3.

故λ+μ=6為定值.

評注從構圖上來看，點A確定了以后，整個圖形就能確定下來. 通過設點法，充分利用點在橢圓上消去二次項，得到參數之間的關系. 其實，也可以通過焦半徑的計算來實現轉化.

AF1=（x1+1）2+y21A969713E-28B4-4C01-9BB8-E008144CB8AE

=x21+2x1+1+（1-x212）

=（x1+2）22

=x1+22.

同理，F1M=x2+22，從而x1+2x2+2=λ.

又由AF1=λF1M得到-1-x1=λ（x2+1）.

從而λ=2x1+3.

例4設過橢圓C：x2100+y225=1的右焦點F且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點，對于橢圓上任意一點M，若OM=λOA+μOB，求λμ的最大值.

解析由題意，直線AB的方程為y=x-53，

與x2100+y225=1聯立，得

x2-83x+40=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

x1+x2=83，x1x2=40.

設M（x0，y0），則由OM=λOA+μOB，得

x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2.

由于M在橢圓上，從而

（λx1+μx2）2+4（λy1+μy2）2=100.

即λ2（x21+4y21）+λ2（x22+4y22）+2λμ（x1x2+4y1y2）=100.

又x21+4y21=100，

x22+4y22=100，

x1x2+4y1y2

=x1x2+4（x1-53）（x2-53）

=5x1x2-203（x1+x2）+300

=20，

于是λ2+μ2+2λμ5=1.

所以1=λ2+μ2+2λμ5≥2λμ+2λμ5=125λμ.從而λμ≤512，

當λ=μ=156時等號成立.

故λμ的最大值為512.

評注這里充分利用M，A，B三點在橢圓上來處理二次項，由直線方程和橢圓方程聯立，通過韋達定理處理交叉項x1x2+4y1y2.

小結這類問題往往涉及到圓錐曲線上兩個或更多動點，可以由題目給的向量條件溝通相應點的橫坐標和縱坐標的關系，接下來就是消元. 可以分析整個圖形的構圖，考查是由動直線還是動點主導，從而考慮采取設線法還是設點法. 設線法，用韋達定理整體消元;設點法，利用點在圓錐曲線上來消元.

練習1過點P（0，3）的直線l交拋物線C：y2=4x于A，B兩點，交x軸于點D，若PD=λDA=μDB，則λ+μ是否為定值？若是，求出該定值;若不是，請說明理由.

答案：λ+μ=-1.

練習2已知橢圓C：x212+y24=1，直線l與x軸的正半軸和y軸分別交于點Q，P，與橢圓C相交于M，N兩點，各點互不重合，且滿足PM=λMQ，PN=μNQ，其中λ+μ=-3，證明：直線l恒過定點，并求出定點的坐標.

答案：（2，0）.

參考文獻：

[1]?李寧，賀航飛，屈韜.韋達定理在圓錐曲線一些對稱結構中的應用[J].數學通訊，2018（01）：7-9.

[責任編輯：李璟]A969713E-28B4-4C01-9BB8-E008144CB8AE