平面向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用

摘要：通過平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系體會向量代數(shù)的抽象性與幾何的直觀性.把向量問題轉(zhuǎn)移到幾何意義的應(yīng)用中，往往是解題的關(guān)鍵并能收到事半功倍的效果.

關(guān)鍵詞：數(shù)量積;投影;幾何意義

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0042-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：陳喜楊（1977-），女，福建省莆田人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

高考中對平面向量數(shù)量積最值題目的考查常用其幾何意義，這種題型涉及的條件通常是一個向量已知、另一個向量運(yùn)動變化，考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以及學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動變化的思想分析問題、解決問題的能力.向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，不但有數(shù)的特征，而且有形的特點，是把代數(shù)與幾何很好地連接起來的紐帶，是數(shù)形結(jié)合的天然橋梁，向量中的很多問題常常借助于圖形的幾何性質(zhì)，可以給抽象的運(yùn)算以直觀的解釋，顯得簡捷方便.

通過向量數(shù)量積解決問題使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)各知識之間的滲透，體會數(shù)學(xué)知識的抽象性、概括性和應(yīng)用性，從而提高學(xué)生解題的正確率.

1 從幾何角度理解平面向量數(shù)量積的定義

平面向量數(shù)量積的公式：a·b=a·bcosθ，其中θ=<a，b>，bcosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，因此投影是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)θ=0°時投影為b，當(dāng)θ為銳角時投影為正，當(dāng)θ=90°時投影為0，當(dāng)θ為鈍角時投影為負(fù)，當(dāng)θ=180°時投影為-b.故平面向量數(shù)量積a·b的幾何意義是：向量a的長度a與向量b在向量a方向上的投影bcosθ的乘積.

平面向量數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，屬高考?？純?nèi)容.利用平面向量數(shù)量積可以解決長度問題、夾角問題、垂直問題以及平行問題等.

2 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

2.1基底與數(shù)量積的綜合應(yīng)用

當(dāng)長度已知、向量夾角已知時，首先考慮用向量的三角形法則和平行四邊形法則，選擇兩個長度已知、夾角已知的向量為基底來表示要求的向量，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義求解.

例1在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AB=4，AC=2，若AD=32AB，則CD·CB=.

分析由Rt△ABC中邊角已知且有垂直關(guān)系，可知向量的基底便于選擇和確定.在向量基底的表示中常用的方法是：先找一個以要求向量的起點和終點為回路的幾個向量的和差，如圖1中的向量CD，我們找C→A→D的回路表示出向量CD，再向所選基底轉(zhuǎn)化.

解法1如圖1，由∠ACB=π2，AB=4，AC=2，可得CB=23.

故CD·CB=（CA+AD）·CB

=CA+32AB·CB

=CA·CB+32BA·BC.

因為BA在BC方向上的投影為BC，

所以CD·CB=0+32BC2=18.

解法2如圖2，過點D作DE⊥CB交CB延長

線于點E，則向量CD在向量CB方向上的投影為CE.

因為AD=32AB，AC∥DE，

所以CE=32CB，

即CD·CB=CE·CB=32CB2=18.

2.2 平面幾何知識與數(shù)量積的幾何意義的融合

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一，在向量數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用中，整合了數(shù)學(xué)中的代數(shù)運(yùn)算和幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).

例2在ΔABC中AO=AB=1，2AO=AB+AC，O為△ABC的外心，則AO·AC的值為.

解析由2AO=AB+AC，可得O為邊BC的中點.

因為O為△ABC的外心，所以△ABC為直角三角形且∠BAC=90°.

根據(jù)AO=AB=1 ，可得

BC=2，AC=3，∠OAC=∠C=30°.如圖3，

過點O作OF⊥AC交AC于點F，則向量AO在向量AC方向上的投影為AF=12AC.

所以AO·AC=AF·AC=12AC2=32.

評注此題出現(xiàn)了三角形外心的條件，要能根據(jù)外心的條件直接聯(lián)想到一些學(xué)過的平面幾何的知識，并學(xué)以致用、聯(lián)想推理從而達(dá)到解決問題的目的.題目中的已知條件反映了圖形的幾何性質(zhì)，通過圖形使得幾何條件及各數(shù)量之間的關(guān)系得以直觀地呈現(xiàn)出來.

2.3 平面向量的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化思想

向量數(shù)量積常用的方法之一是轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想是指在解題時根據(jù)題目中的已知條件，結(jié)合定義、圖象、性質(zhì)或者公式把問題轉(zhuǎn)化成我們能解決的數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到解題的目的.這個過程通常是把未知轉(zhuǎn)化為已知、抽象轉(zhuǎn)化為具體、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，使我們能夠用已學(xué)過的知識來解決遇到的問題.

例3在平面內(nèi)AB=AC=6，AB·AC=0，動點P，M滿足AP=1，PM=MC，則BM·BC的最大值是.解析（向量數(shù)量積幾何意義）

由AP=1知點P是在以點A為圓心以1為半徑的圓上的動點.

由AB·AC=0，可得AB⊥AC .

由于 AB=AC=6，所以BC=23.

因為PM=MC，所以M為PC的中點.

故BM=12（BP+BC）.

所以BM·BC=12（BP+BC）·BC

=12（BP·BC+BC2）

=12BP·BC+6.

由此，求BM·BC的最大值也就轉(zhuǎn)化為求BP·BC的最大值.因為BC為定向量，BP為動向量，所以即求BC與向量BP在向量BC方向上的投影的積的最大值.由于BC=23是定值，即求向量BP在向量BC方向上的投影的最大值.

因為AP=1，所以點P是在以點A為圓心1為半徑的圓上的動點，如圖4，過點A作直線P1P2∥BC交圓A于點P1，P2，AF⊥BC于點F，分別過點P1，P2作P1D⊥BC于點D，P2E⊥BC于點E，則AP1=DF=AP2=EF=1，BF=3，由圖5可知，當(dāng)點P在點P1時，向量BP在向量BC方向上的投影最大，最大值為BD=BF+DF=3+1.因此（BP·BC）max=23（3+1）=6+23，所以（BM·BC）max=12（6+23）+6=9+3.

此題使用了數(shù)量積的幾何意義，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想把抽象的數(shù)學(xué)問題通過直觀想象作出圖象，使問題具體化、可視化，考查學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時的遷移和應(yīng)用.對比兩種解法，由于本題是填空題，小題小做，故將數(shù)量積的幾何意義聯(lián)系數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，計算量較小，用到的知識點較少，更方便得出結(jié)果，而且也更容易判斷出取最大值時點P的位置.

2.4 數(shù)量積幾何意義在求數(shù)量積取值范圍的應(yīng)用

例4已知點P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則AP·AB的取值范圍是.

分析本題是2020年新高考全國Ⅰ卷的題目，先根據(jù)題意作出草圖，從草圖中理解題目，得到AP·AB中AP為動向量，AB為定向量，故而利用向量數(shù)量積的幾何意義比較方便.

解析分別過點F，C作FM⊥AB，CN⊥AB交直線AB于點M，N，則點F，C在直線AB上的投影分別為點M，N.

如圖5，根據(jù)正六邊形圖形的性質(zhì)，得∠FAB=∠CBA=120°，故AM=BN=1.

因此，當(dāng)點P在點F時，向量AP在向量AB方向上的投影最小值為-AM，（AP·AB）min=-2.

當(dāng)點P在點C時，向量AP在向量AB方向上的投影最大值為AN，（AP·AB）max=2×3=6.

由于點P在正六邊形內(nèi)部，故AP·AB的取值范圍為（-2，6）.

應(yīng)用向量數(shù)量積幾何意義求數(shù)量積時，注意投影是在向量所在有向線段的方向上還是在其反向延長線上，前者數(shù)量積為正，后者數(shù)量積為負(fù)，如本題中向量AF在向量AB方向上的投影是在有向線段AB的反向延長線上，故AP·AB<0.

向量是高中很多知識點之間的一個連接點，是聯(lián)系各個知識點的橋梁，是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一，發(fā)揮著舉足輕重的作用.復(fù)雜背景下求向量數(shù)量積的最大值、最小值，關(guān)鍵是挖掘隱含條件來達(dá)到已知與未知的轉(zhuǎn)化，化數(shù)為形，從而解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]?陳杰.期末復(fù)習(xí)中的生態(tài)課堂——以向量數(shù)量積復(fù)習(xí)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（13）：35-38.

[2] 林運(yùn)來，蔡海濤.關(guān)于向量是溝通代數(shù)、幾何與三角的橋梁的思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（04）：9-11+16.

[責(zé)任編輯：李璟]