對2021年一道高考題目的深入研究

摘要：文章大膽揣測新高考數學試卷22題的右側不等式的命制過程，結合題源分析，給出了切線放縮、割線放縮證明不等式這一方法，并在高考題目的基礎上給出了變式，發展出了直線放縮與曲線放縮，豐富了證明不等式的方法.

關鍵詞：切線放縮;割線放縮;直線放縮;曲線放縮

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0023-05

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：王振民（1974.12-），男，山東省東平人，本科，從事中學數學教學研究.[FQ）]

原創題目命制的流程，一般是先要明確考查的知識，在命題者固有知識的基礎上，通過邏輯推理，借助數學軟件，進行相應數學運算，經過反復驗證、修證、查重等過程，最終形成一道新的題目.原創題要滿足題目敘述的完整性、簡潔性與準確性，提供的答案要滿足知識考查的全面性與解題過程的一般性、多樣性，滿足答案最終結果的簡單性.一道比較成功的數學原創題，考查的知識與方法要有極強的針對性，同種形式的問題考查不同的知識與方法，最大限度地發揮數學題目全面考查知識的作用.多問之間有所銜接，達到多一問則簡，少一問則繁的目的.

2021年新高考數學22題的第（2）問，左側不等式屬于極值點偏移問題，直接構造φ（x）=f（x）-f（2-x）即可，而對于右側不等式來說，答案給出的方法是構造g（x）=f（x）-f（e-x），同一個題目中的兩個不等式證明，雖然具體證明過程不完全一樣，但是證明的數學思想與方法相同，這對于一道高考題目來說是令人驚訝的.筆者根據自己長年命題的經驗知道，當命題人命制出一道題目后，命題人提供的解題方法最能體現命題人的命制過程與命制思想.當題目被廣大的教師與學生解答后，會呈現出更多的出乎命題人意料的解法.本文大膽揣測命題人命制題目的題源與過程，給出對應的解法，并加以推廣.

1 沿波討源

1.1 切線放縮

題目1（2015年天津理20）已知函數f（x）=nx-xn，x∈R，其中n∈N*，n≥2.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）設曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實數x，都有f（x）≤g（x）;

（3）若關于x的方程f（x）=a（a為實數）有兩個正實根x1，x2，求證：|x2-x1|<a1-n+2

.

分析本題的第（2）問為第（3）問的切線放縮做了鋪墊，提示了在原點處亦作函數的切線進行放縮.原點處的切線方程為y=nx，由（2）可知在點P （n1n-1，0）處的切線方程為

g（x）=（n-n2）（x-n1n-1）.

設y=a與兩條切線交點的橫坐標分別為x3，x4，如圖1所示，易證得x3<x1，x2<x4.

則|x2-x1|<|x4-x3|.

易解得x3=an，x4=an（1-n）+n1n-1.

所以|x4-x3|=a1-n+n1n-1.

因為

n≥2時，2n-1=（1+1）n-1≥1+C1n-1=1+n-1=n，所以2≥n1n-1.

所以|x4-x3|<a1-n+2.

即|x2-x1|<a1-n+2成立.

總結直線y=a與上凸或下凸的單峰函數交點A，B的橫坐標分別為x1，x2，與函數峰值兩側的切線交點C，D的橫坐標分別為x3，x4，則AB<CD（AB≤CD），即|x2-x1|<|x4-x3|（|x2-x1|≤|x4-x3|）.1.2 割線放縮

題目2（2020年寧陽縣第一中學高三段考題）已知f（x）=xlnx與y=a有兩個不同的交點A，B，其橫坐標分別為x1，x2（x1<x2）.

（1）求實數a的取值范圍;

（2）求證：x2-x1>ae+1.

分析如圖2，x2-x1表示線段AB的長度，通過圖象可以看出，可以將線段AB適當縮短為長度為ae+1的線段.

因為函數圖象是上凸的，故可以考慮割線放縮.

函數f（x）的極小值點為M（1e，-1e），與x軸的交點為N（1，0），連接OM，MN，割線OM的方程為y=-x，割線MN的方程為y=1e-1（x-1）.

設直線y=a與兩條割線交點的橫坐標分別為x3，x4，且x3<x4.

易證得x1<x3，x4<x2，則x4-x3<x2-x1.易解得x3=-a，x4=ae-a+1.

故x4-x3=ae+1.

所以x2-x1>ae+1成立.

總結直線y=a與上凸或下凸的單峰函數交點A，B的橫坐標分別為x1，x2，與函數峰值兩側的割線交點C，D的橫坐標分別為x3，x4，則AB>CD，即|x2-x1|>|x4-x3|.

題目1利用的是切線放縮，題目2利用的是割線放縮，能否在一個題目中同時利用切線與割線放縮呢？

2 切、割線放縮的綜合應用

題目3（2021年新高考數學22題）已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b<e.

分析我們證明1a+1b<e.由第（2）問可知

1a（1-ln1a）=1b（1-ln1b）.

令x1=1a，x2=1b，則

x1（1-lnx1）=x2（1-lnx2）.

所以f（x1）=f（x2）=t.只需要證明x1+x2<e.

函數f（x）的最大值點為P（1，1），與x軸的交點為E（e，0）.如圖3，割線OP方程為y=x，過點E的切線方程為y=-x+e.

設直線y=t與割線、切線的交點分別為x3，x4.

易證得x1<x3，x2<x4.

則x1+x2<x3+x4.易解得x3=t，x4=e-t.

所以x3+x4=e.于是x1+x2<e成立.

總結直線y=a與上凸或下凸的單峰函數交點的橫坐標分別為x1，x2，在函數峰值兩側分別作割線、切線，直線y=a與割線、切線交點的橫坐標分別為x3，x4，則x1+x2<x3+x4或x1+x2>x3+x4.

高考題的精彩之處就是在學生具備的知識與方法的基礎上再提高，既著眼于學生的最近發展區，又有較高的思維含量，考查學生的發散性思維與創新能力.我相信本題的命制是命題人研究切線放縮與割線放縮時兩種思想方法碰撞的結果.3 高考題目變式

3.1 切割線放縮

變式1已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）存在兩個不等的正數x1，x2使得f（x1）=f（x2）=a，證明：x1+x2>a（2-e）+e-1e.

分析證明x1+x2>a（2-e）+e-1e，因為均與a關，可以考慮切、割線放縮將x1與x2縮小.

如圖4，圖象是上凸的，所以可以通過切線將x1縮小，通過割線將x2縮小.

函數f（x）的最大值點為P（1，1），與x軸的交點為E（e，0）.由于不等式中含1e，故在點A（1e，2e）處作切線，切線方程為y=x+1e.

連接EP，割線EP的方程為y=11-e（x-e）.

設y=a與切線、割線的交點的橫坐標分別為x3，x4，易證得x3≤x1，x4<x2.

則x1+x2>x3+x4.

易解得x3=a-1e，x4=e+a（1-e）.

所以x3+x4=a（2-e）+e-1e.

于是x1+x2>a（2-e）+e-1e得證.

3.2 切線放縮

變式2已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）存在兩個不等的正數x1，x2（x1<x2），使得

f（x1）=f（x2）=a，證明：x2-x1<e+1e-2a.

分析因為函數圖象是上凸的，證明關于f（x）與y=a交點的距離小于某個值的不等式，可以考慮切線放縮.

由于不等式中含1e，故在點A（1e，2e）處作切線，切線方程為y=x+1e，如圖5;f（x）與x軸的交點E（e，0）處的切線方程為y=-x+e.

直線y=a與兩條切線的交點的橫坐標分別為x3，x4，易證得x1≥x3，x2<x4.

所以x2-x1<x4-x3.

易解得x3=a-1e，x4=e-a.

則x4-x3=e+1e-2a.

于是x2-x1<e+1e-2a得證.

3.3 割線放縮

變式3已知函數f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）存在兩個不等的正數x1，x2（x1<x2），使得

f（x1）=f（x2）=a，證明：x2-x1>e（1-a）.

分析因為函數圖象是上凸的，證明關于f（x）與y=a交點的距離大于某個值的不等式，可以考慮割線放縮.

函數f（x）的最大值點為P（1，1），與x軸的交點為E（e，0）.如圖6，連接OP，EP，割線OP的方程為y=x，割線EP的方程為y=11-e（x-e）.

兩條割線與直線y=a交點的橫坐標分別為x3，x4，易證得x1<x3，x4<x2.

則x2-x1>x4-x3.

易解得x3=a，x4=a（1-e）+e.

則x4-x3=e（1-a）.

于是x2-x1>e（1-a）得證.

4 切割線放縮應用的推廣

推廣1函數f（x）=xex，若f（x）=a有兩個根x1，x2，證明：x2-x12>1-ae.

分析要證x2-x12>1-ae成立，需證x2-x1>2-2ae.容易想到割線放縮.函數f（x）的最大值點為P（1，1e），如圖7，連接OP，割線OP的方程為y=1ex，與直線y=a交點的橫坐標為x3，易證得x3>x1，解得x3=ae.

在直線x=1的右側，顯然過點P的割線部分在曲線f（x）的上方，部分在曲線f（x）的下方，無法實現x2的有效放大，故放棄割線放縮.

因為x3>x1，所以x2-x1>x2-x3=x2-ae>2-2ae，得x2>2-ae.

過點P（1，1e）的直線設為y-1e=k（x-1），將點（2-ae，a）代入直線方程解得k=-1e.

所以得直線y=-1e（x-2）.

直線y=-1e（x-2）與直線y=a交點的橫坐標為x4，易證得x4<x2.

則x2-x1>x4-x3.

解得x4=2-ae.

所以x4-x3=2-2ae.

于是x2-x1>2-2ae得證.

即x2-x12>1-ae成立.

推廣2如圖8，已知函數f（x）=lnx-ax，若x1，x2（x1<x2）是f（x）的兩個零點，證明：x2-x1>21-eaa.

分析由f（x）=lnx-ax有兩個零點可得0<a<1e，0<x1<1a<x2.

由21-eaa可聯想到Δa，

即x3，x4（x3<x4）是g（x）=ax2-2x+e的兩個零點.

顯然x3<1a<x4.

因為函數f（x）與g（x）的極值點相同，所以只需要滿足g（x1）>0，g（x2）>0.

即ax21-2x1+e>0，ax22-2x2+e>0.

因為lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，

即a=lnx1x1，a=lnx2x2.

所以x1lnx1-2x1+e>0，x2lnx2-2x2+e>0.

令h（x）=xlnx-2x+e，則h′（x）=lnx-1，所以h（x）在（0，e）上單調遞減，在（e，+

SymboleB@

）上單調遞增.

因為f（e）=1-ae≠0，

所以h（x）的定義域為（0，e）∪（e，+

SymboleB@

），

可得h（x）>h（e）=0.

故h（x1）>0，h（x2）>0.所以g（x1）>0，g（x2）>0.

因為g（x3）=g（x4）=0，

所以x1<x3<x4<x2.

則x2-x1>x4-x3.

因為x4-x3=（x3+x4）2-4x3x4

=4a2-4aea2

=21-aea，

于是x2-x1>21-eaa得證.

總結深刻理解切割線放縮的思想，在此基礎上，可以推廣到一般直線放縮（推廣1）與曲線放縮（推廣2），進一步豐富高中數學放縮方法.

筆者認為，在利用切線放縮的題目出現后，衍生了題目2的割線放縮，而題目3正是深入汲取了兩個題目的營養成份，綜合應用了切線放縮與割線放縮，題目的設計形式常見，設計思維含量高，解題方法水到渠成，挖掘了學生潛能，真正起到了選拔人才的作用.筆者在三道題目的基礎上，給出了相應的變式，同時加以推廣，使題目的應用視野更加開闊.

參考文獻：

[1]?李鑫.巧借曲線切線放縮證明函數不等式[J].中學數學研究（華南師范大學版），2020（11）：6-9.

[責任編輯：李璟]