中學數學研討學教法課堂教學模式研究

◎ 海南省海口市海南華僑中學 李紅慶

中學數學研討學教法主要源于筆者個人專業成長的經歷，受啟發于作坊教育和基于對當前中外中學數學教育的比較性思考。從1987年開始，本人一直立足于中學數學教育教學實踐，以課堂為現場，以教學為中心，從實際出發，不斷深入開展研討學教法課堂教學實踐。經過多年的摸索與研究，逐步將“高中數學研討學習法”“高中數學研討教學法”轉變升華為“中學數學研討學教法”，從“教學法”到“學教法”，不僅僅是“學”與“教”互換位置，課堂教學過程中的主客關系也發生了本質性變化。把“學”提升到教學主體地位，不僅有利于充分調動學生的主觀能動性，激發深藏在學生骨子里的學習潛能，營造濃厚的研討學氛圍，而且能培養學生創新意識，提升學生創新能力，從而產生生成性的教學效果。而教師作為教學過程的頂層設計者，在組織教學、問題診斷、是非甄別、發現實證、質疑批判等方面都要發揮其專業素養的引領作用。在研討學教法中，“學”與“教”形成了一種和諧的對立統一關系。本文主要介紹中學數學研討學教法課堂教學的模式研究。

一、研討學教法課堂教學一般模式

研討學教法課堂教學一般模式是研討學教法的基本結構系統。它是針對課堂教學的有效性、科學性和前瞻性特點進行反復實踐與研究的結果，是對課堂教學規律充分認識與思考基礎上，通過科學抽象而得到的基本思維和操作流程。構建模式可由圖1解析：

圖1

研討學教法課堂教學一般以單元教學或微專題教學為主，把各模塊分成若干單元，又將單元分解為幾個課題或微專題，然后根據課題或微專題的內容、性質、應用等，搜索相關的教材（不限于當版教材）、資料、文獻，并整理成課程素材。接著擬定研討提綱，將“課題研討提綱下達與課程素材反饋雙向卡”（以下簡稱“雙向卡”）提前發放給學生，通過分析研討學教法課堂的研討過程（常規變式、引申、鞏固性訓練）形成淺層次教學資源，這是研討學教法的一條常規路徑。研討學教法還有一條教學生成性路徑，這是它的獨特之處。即：通過對淺層次教學資源進行思考、質疑、批判、改進，從而生成新素材，再進入核心環節研討學教法課堂進行研討，通過研討過程再度增強學生的創新意識。經過反復實踐，我們發現，通過歸檔與歸納，不僅有利于生成深層次教學資料，而且還能充實課堂素材，便于推陳出新。

二、研討學教法解題教學一般模式

數學解題教學是無法回避的現實問題，尤其是畢業班復習教學。研討學教法倡導科學性、階段性、一般性的解題教學，不是在淺層次的層面上花大量時間刷題而得到機械解題方法，而是在深層次層面上，通過規律摸索、課堂研討得到一般性、適應性、簡捷性的解題方法。在長期的研討學教法課堂教學中，本人逐漸摸索出了研討學教法解題教學的一般模式（如圖2）：

圖2

下文以微專題教學——求圓錐曲線切點弦方程為例解析上述模式的含義。

問題1：已知點P(3,2)，圓C:x2+y2=5,自點P(3,2)向圓C引兩切線PT、PQ，其中T、Q為切點，求直線TQ的方程。

問題2：已知點P(x0,y0)是圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0）外一點，自點P(x0,y0)向圓C引兩切線PT、PQ，其中T、Q為切點，求直線TQ的方程。

顯然實施方法1是不能解決問題2的，必須尋找新的方法。

方法2：設點T(x1,y1)，Q(X2,Y2)，則于是得到圓C以T為切點的切線方程為x1x+y1y+因為點P(X0,Y0)在直線PT上，于是得F=0——②，等式②說明了點T(x1，y1)在直線③上，同理點Q(x2,y2)在直線③上，所以直線TQ的方程③。

方法2雖然解決了圓的切點弦方程的一般性求法，但并沒有解決圓錐曲線的一般情形，需要找到解決圓錐曲線的切點弦的一般性方法，才能真正地求解問題。

問題3：已知點P(x0,y0)是橢圓C(a＞b＞O)外一點，自點P(x0,y0)向橢圓C引兩切線PT、PQ，其中T、Q為切點，求直線TQ的方程。

方法3：在方法2的基礎上進行改進，方法2求切線的斜率時，應用了圓的特殊性質，切線與過切點的半徑垂直。其他圓錐曲線具備這個性質，設圓C以T為切點的切線方程為y-y1=k(x-x1)，與圓C的方程聯立整理成關于x-x1的一元二次方程為（b2+a2k2)（x-x1)2+2(b2x1+a2ky1)(x-x1)=0，因為相切，則判別式△=4(b2x1+a2ky1)2=0，于是得所以圓C以T為切點的切線方程為b2x1x+a2y1y-a2b2=0，以下與方法2相同，從而得到直線TP的方程為b2x0x+a2y0y-a2b2=0，方法3就是解決此類問題的最佳的一般性方法。若圓錐曲線C的方程為F(x,y)=0，根據偏導的幾何性質或直線參數方程，可得到在點T(x1，y1)處的切線方程為0，自點P(X0,Y0)向C引一束動割線TKQK（K=1，2，…，n，…），線段TKQK的中點M(x,y)軌跡方程為切點弦TQ的方程可表示為（y-y0）]=0，化簡為0（見圖3）。

圖3

研討學教法解題教學有三個認識境界。

第一個境界是感性認識境界，見題解題，對題目不作任何發散性思考與條件追究，僅滿足常規性教學境界。第二個境界，作簡單變式與含參討論，不作一般性研究，滿足小發現小創新。第三個境界，遵循認識事物的規律：①先獲得感性認識。②把感性認識上升到理性認識。③運用理性認識來指導具體實踐。這是解題的最高境界，不僅能整體把握事物發展的規律，而且達到深層次解題教學的終極目標。

三、研討學教法概念教學一般模式

數學概念教學是課堂教學中很重要的環節，數學概念形成也要基于以問題為導向，以需求為牽引，通過研討學教的方法幫助學生形成正確、辯證、本質的數學概念，尤其對于較抽象的數學概念更要突出這三點，概念教學既研討學教法課堂教學的一般性，也研究它的特殊性。它的一般模式是（圖4）：

圖4

第一階段：課前準備。教師要認真研討《中學數學課程標準》與數學現行教材，上網查找相關文獻資料，學習借鑒其他版本教材如何處理概念等問題，類比參考相關已知內容，撰寫研討學教法課堂教學雙向卡，課前提供給學生。

第二階段：課堂教學。這是研討學教法課堂的核心階段。教師在對教材進行思考、批判、改進等方面的處理中，形成符合學生認知、符合客觀規律的數學概念。師生共同參與課堂研討學教過程，通過概念的引申、辨析、遷移，從而幫助學生加強對概念深層次的理解。

第三階段：課后功課。主要落實三方面任務：學生要完成歸納小結，做適當鞏固性訓練題，跟同學分享學習心得；教師要跟進輔導，即時解答學生的存疑，指導學生每天寫一問一議的筆記；單元教學結束時，學生需要完成單元檢測試題或撰寫小論文。

譬如“全概率公式與貝葉斯公式”的教學，先認真研讀課程標準，課程標準要求“結合古典概型，會利用全概率公式計算概率。了解貝葉斯公式。”并建議“在概率的教學中，應引導學生通過具體實例”，理解全概率公式的內涵與外延，查閱他版教材（新增內容還需要查閱大學教材）并與當版教材的概念引入、例題設計、公式推導做比較，做好“雙向卡”提前發給學生。下面例說全概率公式和貝葉斯公式教學。

引例：如圖5，某人從罐A1、A2、A3中任取一罐，從中任取一球，取得深色球的概率為多少？

圖5

根據古典概型，可設事件Ai=取到第i（i=1、2、3）罐，事件B=取出的球是深色球。

并且學生知道A1+A2+A3=Ω，A1、A2、A3互斥，B=A1B+A2B+A3B，根據乘法公式，可得P(AiB)=P（Ai）P(B|Ai)，于是易得全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)，即P(B|Ai)，也可以依古典概型全概率公式表示為，這樣表述學生更能理解，而全概率公式是需要在條件概率的基礎上來定義與推導，先把樣本空間Ω拆分成n個隨機事件Ai（i=1，2，…，n），根據拆分含義，就能得到兩個條件：A1∪A2∪…∪An=Ω；Ai∩Aj=Ф（1≤i≠j≤n），稱事件A1，A2，…，An是一個完備事件組，也可稱Ω一個劃分，如圖6，全概率公式貝葉斯公式亦稱為逆概率，即為逆向“問責”，在事件B發生的條件下，求事件A（i=1，2，…，n）發生概率，貝葉斯公式很復雜，如果從條件概率去理解與推導，就便于理解與記憶，即，從維恩圖觀察（如圖6），就是AiB的面積與B的面積之比。

圖6

在研討學教法過程中充分利用研討過程激發學生參與討論的積極性，讓學生感悟到全概率公式使用情形，把事件B看作某一過程的結果，把事件A1，A2，…，An看作該過程的若干原因，每個原因發生的概率都是已知P(Ai)，它們概率的和為1，并且每個原因對結果的影響也是已知P(B|Ai)，事件B在每原因中發生概率是P(Ai,B)，由加法原理即得

研討學教法跟進過程也是非常重要的，既有常規性歸納小結、鞏固訓練，也有思辨性存疑待解、一問一議，更有創新性收獲展示、論文習作等檢驗成效的學習活動，每單元教學結束時，安排兩個學習小組在教室墻板展示收獲所得，主要展示問題的創新解法。

研討學教過程中，如果能激活學生的學習探索潛能，令學生產生了前瞻性、開創性的想法，那么就可以進一步要求學習小組合作撰寫數學小論文，這樣不僅能讓學生感受到數學學習的成功喜悅，而且提升學生學習數學的興趣，增強學習的自信心，讓學生充分感受到數學的內在美。

四、研討學教法其他簡化模式簡介

學教法最大優勢在于能充分發揮學生的學習主觀能動性，提高學生的課堂教學的關注度和參與度。學教法是在目標、任務驅動下，要求學生通過預習與查找資料，按“雙向卡”上的提綱先預習后學習，并提出自己的想法與建議，充分發揮學生的主體作用。學教法還結合新時代中學生心理特征，讓課堂成為學生展示自我的平臺，能激起學生學習動機，激發學生的創新意識，生生研討可促成生生思維的互相促進，師生研討可促進教學相長，從而實現學生、教師的“雙發展”“雙提升”。

當然任何教學模式都是辯證理解與應用的，前面介紹了研討學教法課堂的一般模式，它反映了事物的共性。同時我們要針對不同的學情、內容、學段、目標，選擇不同研討學教模式來體現事物的個性，簡單介紹如下：

1.“自學——研討”式教學模式。實施先自學后研討策略，通過設置任務清單，讓學生自主學習，感悟數學，梳理問題，然后組織學生研討交流，解決疑難問題，教師引領學生對共性問題進行研究，啟發學生對可思性問題進行拓展與引申，促進學生綜合能力的提升。

2.“問題——研討”式教學模式。實施問題導向教學策略，在學生參與下，把教學內容提煉成一系列問題，以問題為導向引領學生研討活動，讓學生在分析問題、解決問題的過程中感受數學、理解數學，促進學生分析、解決問題能力的提升。

3.“活動——研討”式教學模式。實施實踐活動教學策略，把教學內容設計成實踐研討的對象，讓學生在實踐研討活動中動手、動腦，親自經歷數學知識的研討歷程，感受數學的研究過程和方法，從而在研討活動中認識數學，在活動中體驗數學。

俗話說，“教學有法，教無定法，貴在得法！”筆者倡導的中學數學研討學教法課堂教學模式是以問題為導向，以研討過程為核心，強調學習方法的靈活多樣，充分調動學生學習潛能，把學生骨子里的東西激發出來，使知識易于接受，問題易于解決，在學生的積極配合下提高教學的有效性。這樣既能出教學成果，又能出科研成果。比如筆者從教以來撰寫的許多論文的素材大多來源于研討教學中的師生共同發現。由此可見，這是一件一舉多得、一舉多贏的事，何樂而不為呢？