系統(tǒng)把握：讓習(xí)題教學(xué)更有邏輯

浙江省嘉興市海鹽縣三毛小學(xué) 何月豐

例題與習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)最主要的載體。例題是數(shù)學(xué)教育教學(xué)專家根據(jù)知識(shí)本身的邏輯關(guān)系和學(xué)生自身的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合教育學(xué)和心理學(xué)的原理，按照一定的序列進(jìn)行編排的，經(jīng)過不斷優(yōu)化，已經(jīng)形成一套較為完備的系統(tǒng)。例如，在教學(xué)“平面圖形的面積計(jì)算公式”時(shí)，學(xué)生一般會(huì)經(jīng)歷“長(zhǎng)方形→正方形→平行四邊形→三角形→梯形→圓形”這樣的過程。根據(jù)這樣的序列，以及學(xué)生的認(rèn)知能力，教師將這些計(jì)算公式安排在不同的年級(jí)進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)每一個(gè)計(jì)算公式時(shí)，都不會(huì)覺得難，進(jìn)而使學(xué)生能較好地理解其形成過程。

那么，學(xué)生通過例題學(xué)習(xí)理解了“平面圖形面積計(jì)算公式”的形成過程，知道了平面圖形面積的計(jì)算方法，計(jì)算公式的教學(xué)是不是就結(jié)束了呢？當(dāng)然不是。接下來，學(xué)生還需要做習(xí)題，通過解答習(xí)題，鞏固對(duì)計(jì)算公式形成過程的理解，熟練運(yùn)用計(jì)算公式解決問題，還要在運(yùn)用中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，等等。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題常常僅為某一知識(shí)的教學(xué)起個(gè)頭，學(xué)生對(duì)這一知識(shí)學(xué)習(xí)的真正深刻和深化，依賴于習(xí)題。

由此可見，習(xí)題與例題一樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中同樣承擔(dān)著極其重要的使命。為了更好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)使命，數(shù)學(xué)教學(xué)中的習(xí)題，同樣具有自身的編排系統(tǒng)，處于這個(gè)系統(tǒng)中的每一道習(xí)題，有自己獨(dú)特的功能。教師要系統(tǒng)把握數(shù)學(xué)中的習(xí)題，以使數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)更具邏輯、更顯實(shí)效。

一、數(shù)學(xué)中的習(xí)題系統(tǒng)

數(shù)學(xué)中習(xí)題的編排具有怎樣的系統(tǒng)呢？下面，先以人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”一課后編排的“練習(xí)十九”為例進(jìn)行分析。

“練習(xí)十九”一共編排了11道習(xí)題。仔細(xì)分析這11道習(xí)題的內(nèi)容和目標(biāo)，我們可以清晰地看到這些習(xí)題的層次是不一樣的。（見下表）

層次 題號(hào) 內(nèi)容 目標(biāo)1解決問題，已知平行四邊形的底和高，求面積（與例1形式匹配）2抽象圖形，已知平行四邊形的底和高，求面積（3幅圖均有變式）3 填表，已知平行四邊形的底和高，求面積熟練根據(jù)平行四邊形的底和高求面積的方法第一層次基礎(chǔ)訓(xùn)練4 操作計(jì)算，自己測(cè)量平行四邊形的底和高，求面積解決問題，涉及計(jì)算平行四邊形面積、單位轉(zhuǎn)化、根據(jù)面積計(jì)算重量 根據(jù)平行四邊形的底和高求出面積后，問題跟進(jìn)10 5在方格圖上計(jì)算平行四邊形的面積，并求三角形面積（平行四邊形的一半）變式理解 9 根據(jù)平行四邊形的面積和底，求高第二層次平行四邊形面積計(jì)算公式的逆運(yùn)用已知平行四邊形的底和高，求面積，兩個(gè)平行四邊形同底等高 發(fā)現(xiàn)等底（同底）等高，面積相等（等積變形）7 6第三層次探索知新根據(jù)正方形周長(zhǎng)計(jì)算平行四邊形面積，正方形和平行四邊形同底等高8 長(zhǎng)方形框架拉成平行四邊形，周長(zhǎng)與面積的變化 運(yùn)用推理、平移等知識(shí)創(chuàng)造性地解決問題11第四層次綜合創(chuàng)新根據(jù)大平行四邊形的面積，求小平行四邊形的面積（一半）

在上表中，筆者將“練習(xí)十九”中的11道習(xí)題根據(jù)其內(nèi)容和目標(biāo)分成了四個(gè)層次。這種分法以及每個(gè)層次的名詞當(dāng)然是基于自己的理解而形成的。這也就是說，我們當(dāng)然可以根據(jù)不同的理解將這11道習(xí)題分成三個(gè)層次或者五個(gè)層次，或者取不同的名詞。不過，這都不是最重要的，關(guān)鍵是通過對(duì)這些習(xí)題進(jìn)行分層，我們可以看到在一道例題學(xué)習(xí)之后習(xí)題編排的一般序列。

第一層次：基礎(chǔ)訓(xùn)練。在一道例題教學(xué)之后，教師一定會(huì)先讓學(xué)生做一些非常基礎(chǔ)的習(xí)題。這些習(xí)題在要求上僅僅是將例題中習(xí)得的知識(shí)、技能進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)、技能的鞏固和熟練。例如，“練習(xí)十九”中的第1、第2、第3、第4題，都是單純根據(jù)平行四邊形的底和高計(jì)算面積，第5、第10題都是在計(jì)算出面積的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行簡(jiǎn)單問題跟進(jìn)。這6道習(xí)題雖然形式各不相同，但核心目標(biāo)是一致的——實(shí)現(xiàn)對(duì)平行四邊形面積計(jì)算公式的深刻理解和熟練運(yùn)用。

第二層次：變式理解。在進(jìn)行了一定量基礎(chǔ)習(xí)題的訓(xùn)練之后，學(xué)生對(duì)最基本的運(yùn)用已經(jīng)比較熟練，技能得到一定的鞏固，這個(gè)時(shí)候，教師就需要對(duì)運(yùn)用的要求進(jìn)行適當(dāng)提升，以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)深刻理解知識(shí)。提升的方式常常是“變式”，如正向運(yùn)用變式為逆向運(yùn)用、直接運(yùn)用變式為間接運(yùn)用等。例如，“練習(xí)十九”中的第9題，根據(jù)平行四邊形的面積和底求高，就是公式的逆運(yùn)用。雖然是逆運(yùn)用計(jì)算公式，但本質(zhì)還是在運(yùn)用的過程中加深對(duì)計(jì)算公式的理解，是在變式中理解。有些教師認(rèn)為這道題是蘊(yùn)含新知識(shí)的，該在更高的層次。其實(shí)不然，首先，學(xué)生已經(jīng)在三年級(jí)學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形面積”的時(shí)候，經(jīng)歷過計(jì)算公式的逆運(yùn)用。其次，學(xué)生在四年級(jí)的時(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘除法的關(guān)系。因此，對(duì)于這樣的公式逆運(yùn)用，感覺不難。這是筆者將其放在“變式理解”的原因。

第三層次：探索知新。例題中蘊(yùn)含的知識(shí)或技能一般是最基礎(chǔ)的，一些與例題相關(guān)的新知識(shí)，常常蘊(yùn)含在習(xí)題中，需要學(xué)生通過進(jìn)一步解題探索發(fā)現(xiàn)，以完善認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)理解的深化。因此，通過“基礎(chǔ)訓(xùn)練”和“變式理解”兩個(gè)層次進(jìn)行習(xí)題教學(xué)之后，接下來，教師就需要通過習(xí)題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索而知新。例如，“練習(xí)十九”中的第6、第7題，表面上依舊是在計(jì)算平行四邊形的面積，但其中蘊(yùn)含著等底（同底）等高這一面積計(jì)算中非常重要的知識(shí)點(diǎn)。

第四層次：綜合創(chuàng)新。數(shù)學(xué)中的知識(shí)往往不是孤立存在的，與其他知識(shí)之間具有一定的聯(lián)系。也就是說，一道數(shù)學(xué)習(xí)題，可以關(guān)聯(lián)很多數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生解答一道這樣的數(shù)學(xué)習(xí)題，需要綜合運(yùn)用學(xué)過的相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)造性地解決問題。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家弗里德曼等著的《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》一書中指出，解題是一種創(chuàng)新性的活動(dòng)。波利亞、羅增儒、單墫等解題教學(xué)專家都在自己的著作中有過這樣的論述，可見這個(gè)觀點(diǎn)是站得住腳的。例如，“練習(xí)十九”中的第11題，就是一道這樣的習(xí)題。解答這道習(xí)題，我們可以將兩邊的空白三角形平移到一起，就能直觀看到陰影部分是整個(gè)圖形面積的一半；可以連接A、B兩點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)完全一樣的三角形，進(jìn)而通過平均分計(jì)算得到陰影部分的面積；還可以根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式進(jìn)行推理，陰影部分這個(gè)小平行四邊形的高和大平行四邊形的高是一樣的，底是大平行四邊形的一半，所以，面積也是大平行四邊形的一半；當(dāng)然也可以運(yùn)用等底等高（等積變形）的方法，移動(dòng)小平行四邊形的下底至大平行四邊形的最左邊，也可直觀看到陰影部分是整個(gè)圖形面積的一半。這些方法都不是直接運(yùn)用平行四邊形面積的計(jì)算公式，因此，學(xué)生想到其中任意一種方法，都是創(chuàng)造性綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的體現(xiàn)。

通過以上分析，我們可以看到，“練習(xí)十九”中習(xí)題的編排，具有一個(gè)從單一到綜合、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從基礎(chǔ)到拓展的序列。“練習(xí)十九”是一個(gè)相對(duì)比較典型的例子，它所反映的習(xí)題編排序列自然有一定普適性，因此，這個(gè)序列便可理解為是數(shù)學(xué)習(xí)題編排的一般序列。接下來，我們就將這樣的習(xí)題編排序列進(jìn)行更為一般化的表示，進(jìn)行更一般化的解讀。

如果我們把平行四邊形面積計(jì)算公式的教學(xué)看成例1，把三角形面積計(jì)算公式的教學(xué)看成例2，把“練習(xí)十九”中11道習(xí)題的四個(gè)層次看成習(xí)題1、習(xí)題2、習(xí)題3、習(xí)題4，數(shù)學(xué)中的習(xí)題系統(tǒng)則可這樣表示。（見圖1）

圖1

從圖中我們可以看出，習(xí)題1到習(xí)題4呈現(xiàn)明顯的梯級(jí)上升趨勢(shì)。這種上升趨勢(shì)主要體現(xiàn)在習(xí)題對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求上，即越上層級(jí)的習(xí)題對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求也會(huì)越高。同時(shí)，以例1對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求為標(biāo)準(zhǔn)，則在例1之后編排的習(xí)題中，對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求有一個(gè)從低于例1到逐步高于例1的過程。這是因?yàn)椋?教學(xué)之后一開始的習(xí)題是基礎(chǔ)型的，只是重復(fù)訓(xùn)練，因此對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求是低于例1的，后續(xù)的習(xí)題逐步走向綜合，需要學(xué)生探索、創(chuàng)造等，因此對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求自然會(huì)不斷提高，并逐漸高于例1。

從圖1我們還可以看出，例1之后的習(xí)題教學(xué)完成后，例2對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求又回到和例1差不多的程度。即從例1到例2的教學(xué)，對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的要求并沒有呈現(xiàn)出明顯的上升趨勢(shì)。這是因?yàn)槔?和例2之間一般會(huì)存在著一定的邏輯關(guān)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)例2時(shí)已經(jīng)有了例1作為認(rèn)知基礎(chǔ)，且進(jìn)行了系統(tǒng)的例1之后的習(xí)題學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)例2時(shí)，難度與例1相差自然不大。

仔細(xì)觀察圖1，我們還可以發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)習(xí)題系統(tǒng)中，在習(xí)題4上方，筆者還設(shè)置了一個(gè)“？”，表示只要我們?cè)敢猓瑖@例1編排的習(xí)題的“難度系數(shù)”還可進(jìn)一步上升，出現(xiàn)習(xí)題5這個(gè)層次也是可行的。既然如此，我們自然也可以反過來思考，習(xí)題5這個(gè)層次是可以沒有的，那么，習(xí)題4這個(gè)層次自然也是可以沒有的。而這就要依據(jù)例1知識(shí)本身的特點(diǎn)而定了。倘若例1蘊(yùn)含的知識(shí)、技能非常簡(jiǎn)單，那么，習(xí)題編排只有習(xí)題1、習(xí)題2這樣兩個(gè)層次也是客觀存在的。

以上習(xí)題系統(tǒng)的分析是基于一道例題的教學(xué)而言的。我們很容易推想，例2教學(xué)之后的習(xí)題系統(tǒng)，也會(huì)呈現(xiàn)這樣的梯級(jí)上升趨勢(shì)。當(dāng)然，如上述考慮到例1和例2本身蘊(yùn)含知識(shí)的難易不一，各例題之后習(xí)題系統(tǒng)中的梯級(jí)上升層次數(shù)也會(huì)不一。關(guān)于這一點(diǎn)，可如圖2表示。

圖2

從圖2我們可以看出，例1教學(xué)后的習(xí)題只有兩個(gè)上升層級(jí)，而例2教學(xué)后的習(xí)題則有四個(gè)上升層級(jí)。我們不難理解，在例2后的習(xí)題3、習(xí)題4中，極有可能綜合了例1的知識(shí)。從這個(gè)層面講，例1之后的習(xí)題并不是只有兩個(gè)層級(jí)，只是將更高的層級(jí)后移了而已。當(dāng)然，例2中的習(xí)題3、習(xí)題4，就更具綜合性了。

綜合上述分析，數(shù)學(xué)中的習(xí)題系統(tǒng)就比較清晰地展現(xiàn)在我們眼前了。

首先，根據(jù)習(xí)題本身所含的知識(shí)結(jié)構(gòu)具有從單一到綜合的序列，根據(jù)習(xí)題本身的難易程度具有從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的序列，根據(jù)習(xí)題教學(xué)的具體目標(biāo)具有從基礎(chǔ)到拓展的序列。

其次，這些習(xí)題按一定序列穿插編排在各年級(jí)的各例題之間，不同的習(xí)題對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力提出了不同的要求，總體上呈現(xiàn)出波浪式的發(fā)展趨勢(shì)（如圖3）。

圖3

二、數(shù)學(xué)習(xí)題系統(tǒng)對(duì)習(xí)題教學(xué)的啟示

對(duì)數(shù)學(xué)中習(xí)題系統(tǒng)的分析，旨在從中進(jìn)一步看清習(xí)題的價(jià)值，發(fā)現(xiàn)一些客觀存在的規(guī)律，進(jìn)而啟示我們的教學(xué)。

（一）習(xí)題教學(xué)要有節(jié)奏推進(jìn)

學(xué)習(xí)是有客觀規(guī)律的。遵循學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律開展教學(xué)，能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)。習(xí)題系統(tǒng)反映出習(xí)題編排是有一定序列的，這個(gè)序列便是遵循學(xué)習(xí)規(guī)律的體現(xiàn)。這就告訴我們，習(xí)題教學(xué)應(yīng)遵循這樣的序列，有節(jié)奏推進(jìn)，梯級(jí)上升，這樣才能真正幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)例題知識(shí)學(xué)習(xí)的深刻和深化，為學(xué)生后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)新知識(shí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

在這里，深刻就是指通過習(xí)題教學(xué)，將知識(shí)深深地刻在學(xué)生的腦海中，實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)主要依賴于“基礎(chǔ)訓(xùn)練”和“變式理解”這兩個(gè)層級(jí)的習(xí)題，這些習(xí)題所處的位置可以稱為“深刻區(qū)域”；深化就是指通過習(xí)題教學(xué)，將知識(shí)進(jìn)行完善、關(guān)聯(lián)、拓展，使其向更高階段發(fā)展，實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)主要依賴于“探索知新”和“綜合創(chuàng)新”這兩個(gè)層級(jí)的習(xí)題，這些習(xí)題所處的位置可以稱為“深化區(qū)域”。不難看出，使學(xué)生的學(xué)習(xí)從深刻逐步走向深化，不僅是習(xí)題教學(xué)的重要使命，還是習(xí)題教學(xué)有節(jié)推進(jìn)的重要體現(xiàn)。這樣的節(jié)奏，可如圖4表示。

圖4

從圖4中我們可以看出，“深刻→深化”是大節(jié)奏，“基礎(chǔ)訓(xùn)練→變式理解→探索知新→綜合創(chuàng)新”是小節(jié)奏。按這樣的節(jié)奏開展數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，便是遵循學(xué)習(xí)客觀規(guī)律的體現(xiàn)。

也許，我們能在一些公開課上看到例題教學(xué)之后很快就呈現(xiàn)綜合性很強(qiáng)的習(xí)題。對(duì)于這樣的設(shè)計(jì)，我們自然是認(rèn)可的。因?yàn)椋?dāng)輪到自己要執(zhí)教一節(jié)公開課時(shí)，我們也會(huì)設(shè)想在課的結(jié)束階段設(shè)置一道有“亮點(diǎn)”的習(xí)題，以增加課的內(nèi)涵。不過，我們心里是清楚的，公開課更多是教學(xué)理念的展現(xiàn)，因此，像公開課這樣的做法，其實(shí)在日常教學(xué)中并不常見。平時(shí)的教學(xué)，更多的是一步一個(gè)腳印踏實(shí)向前走，盡可能顧及每個(gè)學(xué)生的理解能力和掌握情況。因此，“深化區(qū)域”的習(xí)題，更多時(shí)候放在練習(xí)課中更為合適，新授課一般安排“深刻區(qū)域”的習(xí)題。也就是說，只有先深刻了，學(xué)生才能更好地深化。

（二）習(xí)題教學(xué)要多形式豐富

教學(xué)例題時(shí)，我們往往會(huì)創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、小組交流等，經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”。這樣的學(xué)習(xí)過程是極其豐富和厚實(shí)的。但是，到了習(xí)題教學(xué)時(shí)，這個(gè)過程需要被簡(jiǎn)化。如習(xí)題的呈現(xiàn)會(huì)變得更加直接，條件是什么、問題是什么，常常整體出示，一目了然，學(xué)生獨(dú)立解答之后，常常也只要教師分析即可。這就產(chǎn)生了習(xí)題教學(xué)的一般模式：教師出題→學(xué)生解題→教師分析。這樣的一般模式，簡(jiǎn)化了每一道習(xí)題教學(xué)的過程（相對(duì)于例題教學(xué)而言），為能進(jìn)行更多量和更多形式的習(xí)題教學(xué)贏得了時(shí)間。

但是，通過分析習(xí)題系統(tǒng)，我們看到，例題后的習(xí)題教學(xué)并不是一直處在一個(gè)層級(jí)，而是呈梯級(jí)上升的趨勢(shì)。在不斷上升的層級(jí)中所設(shè)置的習(xí)題，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力具有不同的要求。由此，我們不難理解，“綜合創(chuàng)新”的習(xí)題如果也像“基礎(chǔ)訓(xùn)練”的習(xí)題一樣教學(xué)，往往只能是流于形式，難以真正實(shí)現(xiàn)其內(nèi)在的教學(xué)價(jià)值。因此，“教師出題→學(xué)生解題→教師分析”這樣的習(xí)題教學(xué)一般模式，雖然是極其重要且需要廣泛采用的，但不是絕對(duì)唯一的習(xí)題教學(xué)模式。根據(jù)習(xí)題所處的層級(jí)以及教學(xué)實(shí)際，教師需要對(duì)這種一般模式進(jìn)行必要的豐富與厚實(shí)。

1.細(xì)節(jié)豐富

所謂細(xì)節(jié)豐富，即對(duì)“教師出題→學(xué)生解題→教師分析”中的某一個(gè)步驟進(jìn)行豐富，從而更好地實(shí)現(xiàn)習(xí)題內(nèi)在的教學(xué)價(jià)值。細(xì)節(jié)豐富主要體現(xiàn)在“基礎(chǔ)訓(xùn)練”和“變式理解”這兩個(gè)層級(jí)的習(xí)題上。

處于“基礎(chǔ)訓(xùn)練”這個(gè)層級(jí)的習(xí)題，總體上可按照“教師出題→學(xué)生解題→教師分析”三個(gè)步驟簡(jiǎn)化執(zhí)行。需要注意的是，這個(gè)層級(jí)的習(xí)題緊跟著例題，因此，對(duì)例題后的第1道（組）習(xí)題，在“教師分析”這個(gè)步驟上，教師需要請(qǐng)學(xué)生自己來講一講這樣做的道理，對(duì)于后期的一些習(xí)題，對(duì)原理的回顧可淡化，只要分析對(duì)錯(cuò)即可。處于“變式理解”這個(gè)層級(jí)的習(xí)題，其外在形式已經(jīng)發(fā)生了變化，但本質(zhì)是不變的，所以，教學(xué)過程也只要在“教師分析”環(huán)節(jié)進(jìn)行適當(dāng)豐富，具體就是需要學(xué)生講明白“為什么”——找到本質(zhì)，當(dāng)然，教師要在學(xué)生解釋的基礎(chǔ)上適當(dāng)跟進(jìn)，進(jìn)一步明確。

總體而言，在上述兩個(gè)層級(jí)上的習(xí)題教學(xué)，重在使學(xué)生“深刻”，因?yàn)榱?xí)題的解題方法一般是唯一的、常規(guī)的，教師可以采取“短、平、快”的一般模式進(jìn)行推進(jìn)。

2.整體豐富

所謂整體豐富，即對(duì)“教師出題→學(xué)生解題→教師分析”中的多個(gè)步驟進(jìn)行豐富，從而更好地實(shí)現(xiàn)習(xí)題內(nèi)在的教學(xué)價(jià)值。整體豐富主要體現(xiàn)在“探索知新”和“綜合創(chuàng)新”這兩個(gè)層級(jí)的習(xí)題上。

處于“探索知新”這個(gè)層級(jí)的習(xí)題，對(duì)于“教師出題→學(xué)生解題→教師分析”這三個(gè)步驟，常常需要在“教師出題”和“教師分析”這兩個(gè)步驟上進(jìn)行適當(dāng)豐富。這是因?yàn)椋@個(gè)時(shí)候的習(xí)題蘊(yùn)含新知或新方法，且習(xí)題的外在形式有可能會(huì)發(fā)生比較大的變化，如結(jié)構(gòu)開始復(fù)雜、問題開始具有挑戰(zhàn)性等。所以，對(duì)于此時(shí)的習(xí)題呈現(xiàn)，教師可以考慮分步出示，而不是整體呈現(xiàn)，甚至可以創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單的情境。對(duì)學(xué)生解題之后的反饋，教師更需要重視，不能簡(jiǎn)單分析，而是要充分展現(xiàn)學(xué)生的方法和想法，在對(duì)比分析中，實(shí)現(xiàn)“再發(fā)現(xiàn)”。處于“綜合創(chuàng)新”這個(gè)層級(jí)的習(xí)題，一般需要在每一個(gè)步驟上進(jìn)行適當(dāng)?shù)刎S富。特別是在“學(xué)生解題”和“教師分析”這兩個(gè)環(huán)節(jié)上，教師要予以足夠的重視。對(duì)于學(xué)生解題，除了獨(dú)立思考，教師還可安排小組交流活動(dòng)，反饋時(shí)與“探索新知”一樣，要充分且到位，特別是對(duì)于一些具有“創(chuàng)造性”的方法，不僅要呈現(xiàn)，還要想辦法引導(dǎo)所有學(xué)生理解。

總體而言，這兩個(gè)層級(jí)上的習(xí)題教學(xué)，每一道習(xí)題的教學(xué)時(shí)間明顯比前面層級(jí)上習(xí)題的教學(xué)時(shí)間長(zhǎng)，學(xué)生思考、反饋需要更加充分，以實(shí)現(xiàn)“深化”。對(duì)于一些特別重要的習(xí)題，教師像例題一樣教學(xué)也是不為過的。

（三）重視“深化區(qū)域”習(xí)題的設(shè)計(jì)與教學(xué)

數(shù)學(xué)被譽(yù)為“思維的體操”，這說明數(shù)學(xué)是發(fā)展人思維最好的載體。在學(xué)科教學(xué)價(jià)值層面，“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的思維”這樣的觀點(diǎn)已經(jīng)被廣泛認(rèn)可。那么，是不是只要學(xué)數(shù)學(xué)，就一定能很好地發(fā)展思維呢？當(dāng)然不是。這一方面涉及數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，另一方面涉及數(shù)學(xué)教學(xué)的載體。筆者相信，倘若一直是教師講解式的教學(xué)，一直做“基礎(chǔ)訓(xùn)練”的習(xí)題，哪怕最終學(xué)生每次都能做到全對(duì)，也不見得就能很好地發(fā)展學(xué)生的思維。這就告訴我們，通過數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展學(xué)生的思維，一方面需要教師豐富教學(xué)方法，另一方面需要教師提升數(shù)學(xué)教學(xué)的“難度系數(shù)”。

通過數(shù)學(xué)中的習(xí)題系統(tǒng)，我們可以清楚地看到，提升數(shù)學(xué)教學(xué)“難度系數(shù)”的最佳載體是習(xí)題。更具體地講，就是要重視“深化區(qū)域”習(xí)題的設(shè)計(jì)與教學(xué)。確實(shí)，據(jù)相關(guān)研究表明，就當(dāng)前我們的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)而言，在“基礎(chǔ)訓(xùn)練”上是扎實(shí)有余，但在探索創(chuàng)新上卻明顯不足。因此，重視數(shù)學(xué)習(xí)題系統(tǒng)中“深化區(qū)域”習(xí)題的設(shè)計(jì)與教學(xué)，就顯得尤為重要。

關(guān)于這個(gè)方面，首先，教師要做好教材上、作業(yè)本上現(xiàn)成的“深化區(qū)域”習(xí)題的教學(xué)工作，充分發(fā)揮這些習(xí)題在學(xué)生思維能力培養(yǎng)上的作用。這一點(diǎn)，在“啟示”的第二方面已經(jīng)有過交代，此處不再贅述。

其次，教師要重視對(duì)“深刻區(qū)域”習(xí)題的改編，提升其思維含量。教材上、作業(yè)本上的一些習(xí)題，如果僅就現(xiàn)有的樣子進(jìn)行解答，可能思維含量不高。此時(shí)，我們?nèi)绻苓m當(dāng)在此基礎(chǔ)上跟進(jìn)一個(gè)更具挑戰(zhàn)性的問題，或者將原來的條件、問題進(jìn)行適當(dāng)改編，使習(xí)題更具挑戰(zhàn)性，就能進(jìn)一步提升這些習(xí)題的思維含量。這可能是當(dāng)前更為重要的一個(gè)策略，因?yàn)檫@樣的做法，既顧及了這些習(xí)題的“深刻”功能，也使這些習(xí)題具備了一定的“深化”功能。

最后，教師要重視對(duì)“深化區(qū)域”習(xí)題的自主創(chuàng)編。在教學(xué)中，以對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)為核心價(jià)值取向，教師在深入分析知識(shí)本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，結(jié)合教學(xué)的實(shí)際，適當(dāng)增加一些具有一定思維含量的習(xí)題，以細(xì)水長(zhǎng)流的方法融入自己的日常教學(xué)，就是一個(gè)好的策略。如一些學(xué)校開展的“聰明題每日學(xué)”活動(dòng)，便是一種好的方法。

以上對(duì)于數(shù)學(xué)中習(xí)題系統(tǒng)的分析，以及由此產(chǎn)生的對(duì)于教學(xué)的啟示，僅是筆者在習(xí)題教學(xué)中不斷學(xué)習(xí)、實(shí)踐和反思中形成的個(gè)人觀點(diǎn)。這些觀點(diǎn)想要表達(dá)的核心思想是對(duì)于數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，我們需要有“一題研究”的意識(shí)，更要有系統(tǒng)把握的能力。因?yàn)椋覀冎挥懈宄匕盐樟苏麄€(gè)習(xí)題系統(tǒng)，才能真正看清系統(tǒng)中每一道習(xí)題的價(jià)值，這有助于我們的習(xí)題教學(xué)更有邏輯地開展，更顯實(shí)效。