“APOS”理論下幾何概念教學的實踐探索
——以蘇教版數學第一學段為例

江蘇省南京市東山小學 施 琦

概念是思維的核心，也是學生理解知識和培養思維能力的基礎，它具有強烈的抽象性。低年級學生以具體形象思維為主，這與學習概念所需要的抽象性、嚴謹性不相符，導致其在進行概念學習時會遇到困難。那么，如何讓數學學習活動符合學生的心理特征，從而讓學生能夠更加深入地理解概念呢？筆者認為，教師在設置教學活動時，可以從生活中尋找數學概念的原型，增強學生數學學習的體驗感，從而有效幫助學生理解概念，把握概念本質，為之后的學習打下堅實的基礎。

一、第一學段幾何概念教學內容分析

數學課程標準將小學階段的數學教材按照：數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等內容分為四個部分。著名特級教師邱學華也曾將小學數學概念大致分為數的概念、運算的概念、數的整除性的概念、量的計量概念、幾何形體概念、比和比例概念、簡易方程概念、應用題概念、統計圖表概念，共9大類。本文主要研究數學第一學段的幾何概念，通過對蘇教版數學教材的梳理，按照教材的順序梳理出如下第一學段的概念的分布情況（見表1）：

表1 第一學段“圖形與幾何”概念的分布情況

（續表)

從第一學段教材的編排來看，教材的編寫基于學生的心理特征和認知發展規律。一年級開始，學生初步認識立體圖形及平面圖形，這個階段的學習注重從學生的生活直觀角度出發。學生通過觀察、比較并結合生活經驗可以比較輕松地認識幾何體，因此，在一年級教材就編寫常見的立體圖形與平面圖形，讓學生初步感知；接著進入從一維到二維的結構，由點到線，再由線到面，讓學生能夠更加輕松地接受幾何概念。

例如，一年級通過長方體和正方體上的面認識長方形和正方形，到三年級是在學習線段和角的基礎上，又進一步認識長方形和正方形，知道它們的長、寬和周長，以及面積。同樣都是認識長方形和正方形，但學生對于概念的理解又加深了一個層次。

二、基于“APOS”理論，設計教學活動

“APOS”理論是美國數學教育家杜賓斯基提出的一種關于數學概念學習的理論?！癆POS” 分別代表 Action（活動）、Process（過程）、Object（對象）和 Scheme（圖式）。這一理論是以建構主義的學習理論為基礎，它的核心在于引導學生通過心理建構把握數學概念本質。這一學習理論以學生為學習的主體，注重在概念形成過程中，給予學生足夠的時間進行動手操作、合作交流、經歷概念形成的四個階段，在學習過程中發展學生各個方面的能力。

（一）活動階段：依托“生活經驗”，進行概念導入

1.存在問題：忽視概念導入，讓數學學習停留表面

概念的導入是學生理解概念的首要環節。有些教師傾向于通過復習舊知導入，而且多以小練筆的形式復習舊知；有些教師喜歡開門見山的導入，直奔主題導出概念，接著進行新課的教學；有些教師喜歡借助生活情境，發掘生活中與概念有關的物體，借助實際物體或實際情境，以學生的生活為切入點，導入新課；極少數的教師會利用小故事或數學史的相關知識進行導入。結合參與調查者的教學年限，筆者發現多數使用問題情境導入和小故事導入的多為工作10年以下的教師，大部分工作時間在20年以上的教師基本采用直接導入或復習舊知導入的方式。仍有不少教師忽視概念導入，讓學生后續的概念學習只停留在表面。

2.解決方案：深入研究教材，還原概念內涵

弗賴登塔爾認為，數學來源于現實，扎根于現實，并應用于現實。在導入環節的教學中，教師應根據教材編排選擇適合的活動素材，設計的數學問題要貼近學生生活實際，有助于調動學生學習的積極性，并且活動的內容要豐富。這一環節為學生后續的概念學習打下基礎。

例如，在“認識線段”一課的導入環節，教師采用的是學生拔河比賽的場景，一張圖上的繩子是彎的，一張圖上的繩子是直的，讓學生通過繩子的狀態來判斷哪一張是學生正在進行拔河比賽的照片。接著出示一根毛線，讓學生在拉一拉的活動中體會繩子由曲到直的過程，從而初步感知線段直的特征。

再如，蘇教版數學三年級上冊“長方形和正方形的認識”一課的導入環節，學生身邊的空中花園是一個形狀分明的菜地。因此，教師在設計本課時，展示了一個花園的示意圖（圖略），讓學生在現實情境中尋找熟悉的圖形，喚醒其對長方形和正方形的初步記憶，找準學生的學習起點。

（二）過程階段：親歷活動體驗，探究概念特征

1.存在問題：忽視操作體驗，錯失概念形成的關鍵階段

通過問卷調查教師在課堂上開展活動的形式，筆者發現，超50%的教師根據內容和時間隨機安排，22.3%的教師是選擇自己演示的，只有22%的教師會選擇經常讓學生自己動手操作。由此可看出，多數教師在進行概念教學時，忽視了操作體驗給學生帶來的作用。通過訪談，我們詢問了部分教師在第一學段較少安排動手操作的原因。主要是學生年齡小，對于教具的好奇心強，往往會將教具當成玩具，導致一節課下來，知識點卻沒掌握。筆者在實際教學中也遇到過相似問題，通過幾次磨課，發現其本質不在于學生喜歡玩弄學具，而在于教師對于學生沒有明確清晰的操作要求，導致學生思維混亂、注意力不集中。

2.解決方案：透過反思操作，直擊概念本質

杜賓斯基認為，學生在學習數學概念時，不能跨越“程序”這一階段。筆者認為，程序階段就是指學生通過對活動階段所學內容的思考，通過自己動手操作，在過程中通過比較、歸納從而總結概括出概念的基本特征。因此，本階段的教學活動設計可遵循以下幾個步驟（見下圖）：

例如，在“認識線段”一課的過程階段，筆者設計了如下層次的活動：

（1）同桌活動：一人拉線，一人說說哪里是線段。

（2）展示：橫著拉、豎著拉、斜著拉三組作品。

（3）對比感知線段的不同點和相同點。

（4）總結線段的特征，形成對概念基本特點的認知。

再如，在蘇教版數學三年級上冊“長方形和正方形的認識”一課的過程階段，筆者設計了如下的教學活動：

（1）在學生已有認知經驗的基礎上，通過折一折、量一量、比一比等方式獨立驗證長方形的特征。

（2）小組中交流展示每人的驗證方法。

（3）選取代表，集體匯報交流。

（4）依照驗證長方形的環節，自行在小組內驗證正方形的特征。

（三）對象階段：集體分享碰撞，建構數學概念

1.存在問題：忽視學生歸納能力，過多接受性學習

筆者設計了調查問卷，通過調查發現大部分教師在對象階段，會鼓勵學生舉出概念的正例，來加深其對概念的理解。但對于經歷概念的過程階段后，接近一半的教師是自己直接總結歸納來告知學生的，真正鼓勵學生自主歸納概念本質特征的教師只占21.6%。同時在對象階段，超過一半的教師會列舉出反例來加深學生對概念的理解，12.5%的教師選擇不會舉出反例來促進學生理解概念的本質。此項調查說明，在實際教學過程中還存在著教師包辦太多的情況。對于概念的歸納，很多教師認為學生年齡小，無法總結出抽象的數學概念，有的教師甚至會用大量的練習來讓學生背熟概念，從而能夠做對練習題。此階段是概念形成的重要階段，在這一階段，學生要明確概念的本質屬性并學會用數學的語言表述完整的特征，從而完整建構數學概念。

2.解決方案：突出概念間聯系，構建科學概念體系

建構主義強調，學生作為學習的主體，應主動參與課堂，構建知識，才能保證知識的完整性和有效性。在這一階段，教師通常通過設計多樣的練習來對概念進行鞏固和應用。概念的鞏固通常在正例和反例的對比辨析中進一步構建，這一活動可以是教師設置學生回答，也可以是學生在相互交流中合作完成。同時，對于概念的鞏固，教師還可以設置多樣化的變式練習，讓學生在對比中更深入地理解概念的本質特征。教師無論采取哪一種方式，目的都是讓學生能夠明晰概念本質，構建概念體系。

例如，在“認識線段”一課的對象階段，筆者設置了如下活動：

（1）考慮學生的年齡特征，設置了“鑒定朋友”的環節，以“線王國”為問題背景，出示一些不是線段的反例來引導學生進一步理解概念。

（2）引導學生找一找生活中的線段，讓學生通過尋找教室里、操場上的線段，感知線段就在我們身邊，從而體會數學源于生活而又用于生活。

再如，在蘇教版數學三年級上冊“長方形和正方形的認識”一課的對象階段，筆者通過活動——“我是四邊形”，先后出示四邊形的一個角、兩個角、三個角等讓學生猜一猜，這個四邊形是長方形還是正方形。學生在這一活動中，其思維得到了不斷的訓練，在猜想的過程中進一步建構了長方形和正方形的概念。

（四）圖式階段：借力圖像表征，建立概念聯結

1.存在問題：教師缺少整體觀念，有礙形成概念聯結

通過對教師的課堂總結方式進行調查，筆者發現，大部分教師不會采用導圖板書總結全課。通過訪談得知甚至部分教師直接放棄此環節，用練習來代替小結環節。8.1%的教師會經常采用導圖式板書對全課知識進行小結。通過對這部分教師的年齡分析，筆者發現工作時間為3～10年的教師占絕大多數。已有大量實踐表明，在一節課之內想要達到圖式階段是比較困難的，但是，教師引導學生進行全課小結是有必要且不可缺少的環節，缺少這個環節不利于學生的后續學習。

2.解決方案：應用導圖板書，完善概念圖式

思維導圖是英國學者托尼·巴贊在 20 世紀 60 年代初期創造的。他認為思維導圖是“打開大腦潛能的強有力的圖解工具”。因此，在圖式環節，教師雖然不能讓學生都達到概念聯結的目標，但是，可以通過引導學生進行知識小結，通過導圖式板書幫助學生建立自己的圖式。

在概念教學中，學生要通過不斷的練習、鞏固，從而建立概念的圖式。教師在教學中不僅要關注學生的學習興趣，還要引導學生在學習過程中能夠把握概念本質，形成自己的概念認知圖式，讓概念教學回歸生活，從而達到概念的有效教學。