思辨，讓學習觸及數學本質
——“認識倒數”教學案例與反思

江蘇省南京曉莊學院第一實驗小學 應華峰

南京大學鄭毓信教授認為，“我們應當通過數學教學使學生一天比一天智慧，一天比一天聰明，也即應當努力促進學生思維的發展與理性精神的養成。”數學學習應當幫助學生學會理性思維，并由理性思維逐步走向理性精神、理性氣質。善于思辨是理性氣質的重要特征之一，它讓學生逐步學會如何想得更清晰、更深入、更全面、更合理。“認識倒數”屬于概念教學內容，如果采用有意義的接受學習方式，從認知層面來看，對于六年級學生來說理解上不會有太大的困難，但從思維層面來看又似乎缺少了一些挑戰性。面對這樣的學習內容，如何才能“轉知成智”？如何激發學生深度的、理性的思考？本文以“認識倒數”一課為例，嘗試闡述將“思辨”作為數學教學目標與方法的實踐與思考。

一、核心問題促思考

數學課程標準中指出，“運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”這句話告訴我們，培養學生用數學方法、從數學角度進行思考和辨析是增強學生發現、提出、分析和解決問題能力的主要途徑。反過來看，好的問題也可以促使學生更加積極主動地思考和探究。

片段一：

師：今天這節課，我們一起來研究數學中的倒數。看了課題，你們的頭腦里出現了哪些問題？

生：我想知道什么是倒數。

生：倒數是一種怎樣的數？是倒過來寫的數嗎？

生：倒數和以前學的哪些數之間有什么關系？

生：已經學了那么多數，為什么還要學習倒數？

生：學習倒數有什么用？

師：愛因斯坦曾經說過，提出一個問題往往比解決一個問題更重要。同學們提出的這些問題都很有價值！將大家的問題梳理一下，可以歸結為這兩個問題：①什么是倒數？②為什么要學習倒數？通過大家的問題，我發現對于第一個問題，很多同學已經有了一些初步的思考和猜想。

師：首先老師得告訴大家，倒數其實并不是一種數，而是表示兩個數之間的一種特殊關系。那么，互為倒數的兩個數之間，到底存在著怎樣的關系呢？這個問題是我來講，還是我提供一些資料你們自己來研究？

生：讓我們自己研究。

師：我特別欣賞你們這種勇于探索、樂于思考的精神。下面，請大家拿出學習單，上面有10個數，這其中就有一些數是互為倒數的關系，你們能試著把它們找出來嗎？和小組同學說說你們的理由。

評析：“倒數是倒過來寫的數嗎？”“倒數和以前學的哪些數之間有什么關系？”“已經學了那么多數，為什么還要學習倒數？”盡管學生所提的問題未必都適合這節課來研究，但是我們可以發現，學生提出的問題已經體現了他對學習內容和學習方法的初步思考。接下來，教師精心選擇了10個數，其中包含分數、小數和整數，為學生探究倒數這一數學概念提供了豐富的學習素材和廣闊的思維背景。與此同時，教師提問：“這些數中就有一些是互為倒數的關系，你們能試著把它們找出來并說明理由嗎？”這個問題是開放且具有挑戰性的，為學生基于已有經驗展開猜測、嘗試、假設、推理等思維活動提供了豐富的可能。

二、差異思維引辨析

學生思維品質的差異是客觀存在的，它影響著一切學與教的活動。教師在教學過程中要關注學生思維的差異，尊重差異、利用差異，引導學生積極地開展對話交流、辨析討論，為學生營造有利于思維發散的課堂環境，讓學生在質疑思辨中相互促進、齊贏共生。

片段二：

學生自主思考并完成“探究學習單”，先在小組內交流，再進行全班交流。

生：我認為，分子和分母相互顛倒的兩個分數，互為倒數。

生：我認為，只要把一個分數的分母和分子位置調換一下，新的分數就是原來分數的倒數。

生：我有一個問題，是不是只有分數才有倒數？

師：好問題！老師必須提醒大家，在這些數中除了剛才大家找出的這兩對數，還有一些數也是互為倒數的關系哦！帶著數學的眼光，再仔細找一找吧。

師：有理有據，表達得也很清晰，掌聲送給他們！還有誰要補充嗎？

在判定中小零售企業電子商務商業運營模式框架基本組成結構后，要結合其實際要求和市場環境建立健全完整的后續管理機制，從根本上提升企業的行業競爭力，也為管理工作的順利開展奠定基礎。

生：我認為5和0.2不是互為倒數。倒數倒數，起碼得有倒過來的東西吧。5和0.2連分數都不是，根本倒不過來。

生：我認為倒數可能并不能簡單理解成倒過來的數，如果那樣，5.0和0.5也是互為倒數。

師：同學們真善于思考，真棒！帶著這些思考，讓我們打開數學書，看看書上是怎么介紹倒數的。

三、 質疑辨析達融通

深刻的辨析離不開細致的思考，而學生的思考也是一個不斷深入的過程。學生一開始的思考往往不夠準確、不夠深入，甚至不正確，怎樣糾偏學生的錯誤認知呢？教師不如先引導學生質疑和辨析，讓學生在“辯”與“辨”的過程中加深對數學的理解。

片段三：

師：通過剛才的學習，同學們已經會求一個數的倒數了。現在觀察黑板上這么多組互為倒數的兩個數，你們有什么新的發現？

生：我發現，一個真分數的倒數一定是一個假分數。

生：我反對，如果這個真分數的分子是1，那它的倒數其實是個整數。

師：你能舉個例子說明嗎？

生：我不同意，1就不行，因為1的倒數就是1。

生：我補充一下，這里的整數還不能包括0，因為0沒有倒數。

生：我想總結一下，比1大的自然數，它們的倒數一定是真分數，而且是分子為1的真分數。

師：聽懂他的話了嗎？這個同學的發言還能給你哪些啟發？

生：我發現比1大的數，它的倒數一定比1小。

生：我發現比1小的數，它的倒數一定比1大。

生：一個數越大，它的倒數就越小；一個數越小，它的倒數就越大。

……

師：看來，現在大家對倒數有了更深入的認識。課的最后，讓我們再來看看課前同學們提的這些問題，這些問題你們都已經解決了嗎？你們又有了哪些新的認識和思考？

評析：上述教學片段中，對于倒數的特征教師讓學生自由表達自己的觀點，持有不同意見的學生之間展開了辯論。正是在相互辨析、相互補充的過程中，學生的思考愈發深入，錯誤認知得以糾正，模糊的思考更加明晰。教師最后的問題引導學生回顧課始提出的問題，除了首尾呼應，更重要的是讓學生的“思”與“辨”始終交織進行著，學生在思考中進行辨析，在辨析的過程中又不斷地糾偏和完善思考，使思考愈加深入和準確。

三、反思

（一）促發學生思辨的好問題從哪里來

首先，好問題應該來自學生。前提是教師要充分信任學生，并為其創造足夠的機會和空間，很多時候學生可以自己提出高質量的問題，而且學生自己提問的潛能往往出乎我們的意料。同時，教師還要引導學生嘗試從不同角度提出問題，并且要善于捕捉學生提出問題中的亮點，及時加以贊賞和肯定，提高學生提問的自信心和主動性。其次，一個開放的、具有挑戰性的好問題更多來自教師的精心設計。因為開放，所以充滿不確定性，最有可能誘發不同層次思維活動的發生，讓學生有從多角度切入思考的可能；因為有挑戰性，能造成適度的思維“壓迫感”，迫使學生進行深度思考，由此激發學生的思辨意識。

（二）學生的思辨如何才能走向深刻

思與辨相輔相成、互相促進，思考愈加細致，則辨析愈加深刻，繼而促進學生更深入的思考。思是辨的根基，要提高思辨的深度，需要教師在教學中創設條件引導學生充分的思考，讓思考成為學生辨析的有力支撐。學生如果沒有經過充分的思考，就隨意發表見解，常常會陷入越辨越迷糊的糟糕境地。教師在學生辨析討論時，也要善于引導學生進一步思考，對數學的本質這一核心問題進行更深入的思辨。辨是思的外化，要提高思辨的精度，需要學生用數學語言將內思的過程和結果表述或展示出來。在日常數學教學中，教師要注意通過諸多實例的推敲，錘煉學生的數學語言，讓學生的數學表達有較強的邏輯性和思維的嚴密性。

（三）思辨的過程中教師的角色與作用

數學課程標準指出，有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。教師要認真觀察、仔細傾聽學生的思與辨，當學生的思辨沒有朝著既定目標推進，或者推進得不夠深入時，教師需要以合作者的角色參與思辨，在其中穿針引線，讓學生找到深刻思辨的觸發點。教師要掌握引導的度，引導的目的不是參與，而是拋磚引玉，推動學生更多地參與思與辨的學習活動，將學生思辨的重心逐步推向既定目標。

思辨讓學生的思考更清晰、更深入、更全面，是數學理性精神的重要特征之一。思辨既是數學教學的價值追求，也是數學學習中重要的學習方法。以問促思、以思引辨、以辨明思，思與辨是不可分割的整體，共同推動著數學學習不斷走向深入，讓學生的理性思維得到發展，學生的數學素養在思考與辨析中也必將得到顯著提升。