六翼混沌系統及其同步控制

顏閩秀，張 萍

(1.沈陽化工大學 信息工程學院，遼寧 沈陽 110142； 2.工業環境-資源協同控制與優化技術遼寧省高校重點實驗室，遼寧 沈陽 110142)

0 引言

混沌系統是非線性動力學系統，具有對初值高度敏感性、類隨機性、不確定性和非周期性等特征，廣泛應用于保密通信、信息加密等領域.自從1963年，美國氣象學家Lorenz發現Lorenz混沌系統[1]后，混沌控制逐漸成為熱點.之后，Chen系統[2]、Liu系統[3]等不同類型的混沌系統陸續被提出.近幾年來，為增強混沌系統在保密通信中的安全性能，學者們陸續探索具有更為復雜吸引子的混沌系統.因此切換混沌系統[4]構造成為一個研究熱點.

文獻[5]利用一次坐標變換提出四翼混沌系統，通過切換函數來進行混沌系統切換.文獻[6]利用開關控制作為切換方法.文獻[7]基于Lorenz系統，通過修改非線性項形成子系統.文獻[8]對Lorenz系統第2個方程中的y變為-y得到新系統.而本文通過多次坐標變換的方法，得到2個子系統，在切換方法上，設計新的切換系統，提出六翼混沌系統，其混沌系統更具復雜性.同時，在應用方面，同步控制極為重要.文獻[9]利用自適應控制器的設計，使驅動系統和響應系統達到同步.文獻[10]探討了自適應滑?？刂品椒?，該同步控制優點在于誤差收斂速度更快.本文在參數未知情況下，推導出一種自適應控制律，實現了未知參數的混沌系統的同步，并使其同步時間更短.

本文在Lorenz混沌系統的基礎上，通過坐標變換得到混沌子系統，接下來利用切換函數構造新的六翼混沌系統，實現子系統切換.仿真結果表明，該混沌切換系統具有比原系統更為復雜的非線性動力學行為，由于混沌系統相對復雜，因此能夠廣泛應用于同步通信及加密等領域.

1 Lorenz對稱混沌系統

1.1 對稱混沌系統

本文考慮Lorenz混沌系統為

(1)

其中，a，b，c為常數參數，其參數值為a=10，b=28，c=8/3.由于該系統存在對稱性，對該混沌系統進行(x1，x2，x3)→(x1，x2，-x3)變換，本文即可得到關于x3=d平面對稱的新系統(2)，其中d為未知參數.

(2)

本文對混沌系統(1)進行(x1，x2，x3)→(x1，-x2，-x3)變換，即可得到關于x2=e新系統(3)，其中e為未知參數.

(3)

對于系統(2)和系統(3)均有

(4)

所以系統是耗散的，并以指數形式收斂.當t→∞時，所有系統的軌線最終會被限制在一個體積為0的點集合上，并且它的漸近行為會被固定在一個吸引子上.

1.2 系統的吸引子

本文令(1，1，1)為系統(1)的初始值，(1，1，-1)為系統(2)的初始值，(1，-1，-1)為系統(3)的初始值，在MATLAB中繪制3系統吸引子圖像，如圖1所示.

圖1 系統(1)、(2)、(3)吸引子及其相圖

由圖1可知，對稱系統為混沌系統.并由圖1分析可得，系統(1)和系統(2)吸引子關于X3=0對稱，由此可得d為0；系統(1)和系統(3)吸引子關于X2=0對稱，由此可得e為0.

接下來，本文設計切換混沌模型函數，實現子系統進行轉換，從而使得系統(1)、系統(2)和系統(3)可以構成多翼的對稱切換混沌系統.

2 六翼對稱切換混沌系統

本文設計的對稱切換混沌系統模型

(5)

其中f1、f2為切換函數，用于實現系統(1)、(2)與(3)的切換，其表達式如下：

(6)

ω≠0為一常數，這里取ω=0.02，繪制切換函數圖，如圖2所示.

圖2 切換函數圖

由圖2分析可得，一個周期的時間為T，在第1個T/2內f1=1，f2=1，系統(5)先以系統(1)模型運行，在第2個T/2內f1=-1，f2=1，系統(5)以模型(3)運行，在第3個T/2內f1=1，f2=-1，系統(5)以模型(2)運行，之后，反復在模型(3)與模型(2)中運行切換.

本文令(1，1，1)為模型(5)的初始值，繪制吸引子圖像，x1-x3相圖、x2-x3相圖和龐加萊截面圖，如圖3所示.

由圖3吸引子圖像可以看出，系統(5)的吸引子是由系統(1)、系統(2)和系統(3)模型的吸引子構成.同時，可以看出，系統在不同截面的龐加萊截面圖是由密集點構成的非封閉曲線，由此可以判斷，系統(5)是混沌的.由圖3相圖可以看出系統(5)的運行狀態為系統(1)→(3)→(2).

圖3 系統(5)的吸引子圖、相圖及龐加萊截面圖

為進一步驗證該系統的混沌特性，本文繪制系統的李雅普諾夫指數圖和功率譜，分別如圖4和圖5所示.

圖4 李雅普諾夫指數圖

圖5 功率譜

同時，由圖4可知，計算出李雅普諾夫維數DL為

DL=2+(λL1+λL2)/λL3=2.941 9

(7)

因λL1為正數，DL為分數，同時，又有功率譜為連續譜，沒有明顯的波峰，由此進一步驗證了系統(5)的混沌特性.

3 基于李雅普諾夫理論和自適應控制理論同步控制

3.1 理論分析

本文令式(5)作為驅動系統，對應的響應系統為

(8)

同步誤差定義為

(9)

因此，同步誤差系統為

(10)

考慮設計自適應控制律為

(11)

其中，k1，k2，k3為正增益常數.

由式(11)代入式(10)可得，閉環誤差動態方程為

(12)

設置參數估計誤差為

(13)

因此，方程(12)可以轉換成

(14)

對式(13)進行微分可得

(15)

取李雅普諾夫函數為

(16)

對其求導可得

(17)

(18)

所以，可以得到

(19)

由李雅普諾夫穩定性理論可知，誤差系統是漸近穩定的，驅動系統與響應系統能夠同步.

3.2 數值仿真

為驗證控制器有效性，本文在MATLAB中進行數值仿真實驗，取驅動系統的初始值為(-1，2，0.1)，響應系統的初始值為(1，2，-2)，設置控制參數kn=20，n=1，2，3，令未知參數a=5，b=4，c=3.

本文基于上述數據進行仿真實驗，同步誤差結果如圖6所示.

圖6 同步誤差

由圖6可以看出，驅動系統和響應系統能夠很快達到同步，同步誤差能夠在較短時間內趨近于零，從而實現同步.

4 結論

本文提出了1個新的六翼混沌系統，通過吸引子圖、相圖、龐加萊截面圖、李雅普諾夫指數以及功率譜分析說明系統具有復雜的動力學特性，驗證系統的混沌特性.同時，本文設計自適應同步控制器，在參數未知情況下實現驅動系統與響應系統的同步控制.該系統比Lorenz系統更具復雜性，因此在同步通信和數字圖像加密領域有重要的應用價值.