一類復合隨機變量概率分布的說明

徐 懷

(安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥 230039)

0 引言

復合隨機變量在各個領域有著廣泛的應用，在各種風險模型中，一般以復合隨機變量來刻畫索賠過程或收入過程[1-6].在排隊模型中，復合隨機變量用來描述等待時間和服務時間[7-9].復合隨機變量概率分布自然也就成為一個中心議題.本文將以卷積公式為基礎，在連續型隨機變量情形下，給出概率密度函數的積分公式，在離散型的情形下給出概率分布列的迭代公式，這個迭代公式為實際應用奠定了堅實基礎.考慮到實際應用的問題，最后本文給出一個把連續型隨機變量離散化得出復合隨機變量近似分布函數的數值例子.

下面首先給出相關定義.

可以證明除退化分布外，此類分布包含且僅包含泊松分布、二項分布、負二項分布，這些分布在精算領域內有著廣泛的應用[10-11].

為完成主要結論的說明，先聲明如下簡單事實：

類似地，當{Xi，i≥1}是非負整數離散型隨機變量，其概率分布列記為fi=P(X1=i)，則有類似2個結論：

1 離散型情形下概率分布列的迭代公式

證明：

下證gi，i≥1.

所以

(1)

(2)

(3)

分解式(3)中的第二和第三項得

(4)

分解式(4)的第一項，分別與第三項和第五項合并得

(5)

分別合并式(5)的第一和第三項，第二和第四項得

(6)

2 連續型情形下概率密度函數的積分公式

證明：

首先對概率密度函數應用全概率公式得

(7)

交換積分和求和的順序，得

整理得

3 數值例子

本文需要指出的是，在實際應用中，定理1的應用比定理2的應用更為廣泛，因為通過定理2給出解析解是比較困難的，而定理1卻沒有這樣的困難，所以若Xi是非負連續隨機變量，本文考慮將其離散化[12-14]，然后給出復合隨機變量的分布函數的近似表達式.在這一節中將詳細討論.

設非負連續型隨機變量Xi的密度函數為f(x)，首先考慮2個隨機變量Xd，Xu，其取值為

這樣有FXu(x)≥FXi(x).

P(Xd=0)=0，

這樣有FXl(x)≤FXi(x).

圖1 Xd，Xu，Xi的分布函數

圖和的分布函數

4 小結

復合隨機變量有著廣泛的應用，文中考慮了當計數過程是(a，b，0)分布類且Xi為非負隨機變量時復合隨機變量概率函數的迭代公式、積分公式，以及近似計算方法等問題，最后結合數值例子加以闡釋.本文希望這樣的討論能對解決類似問題提供有益的思路.