多維視角 殊途同歸
——2021年中國科技大學強基校考第2題多解思維

陳應全

(廣東省茂名市廣東高州中學 525200)

一道經典的數學問題，若能從多個視角分析，往往會有多種解題思路，從而促進學生對數學知識的理解、厘清其內在本質，同時也讓學生在探究數學問題過程中獲得良好的思維啟迪.教育部從2020年開始在試點高校實行強基計劃至今已有兩年時間，其校測考試考點看似與高考相同，實際上題目靈活多變，內涵豐富，不少考題堪稱經典，值得我們認真研究.下面以2021年中國科技大學強基校考第2題為例進行多視角切入剖析，以期拋磚引玉.

1 題目呈現

分析二元函數最值問題一直都是數學競賽的熱點問題之一，此類問題解法多樣，方法靈活，對學生的邏輯思維能力、運算求解能力等數學關鍵能力要求較高，因此它成為甄別思維差異，選拔創新人才的好素材.破解此類問題的關鍵在于從哪個角度找到切入點.

2 解法探討

視角1 (函數+導數)通過對題目進行分析，目標函數有兩個變量，而兩個變量有關系，因此考慮消元，把目標函數變為一元函數，再利用導數知識求其最小值.

令u=x-8(u>0)，

所以t(u)在(0,2)上單調遞減，在(2，+∞)上單調遞增.

所以t(u)min=t(2)=125.

此時u=2，x=10,y=5.

圖1

當OP⊥PR時，|OP|≤|OR|≤|OQ|.

即fmin=|OP|.

設P(x0,y0)，則kOP·kPR=-1.

解得x0=10 ，y0=5.

視角3 (重要不等式鏈)根據題干結構特點，可以考慮構造調和平均數不大于平方平均數，

解法3由條件可得

所以x=10,y=5時取等號.

=|AP|+|BP|

點評求代數式最值問題常見思維視角：①化歸為一元函數最值問題；②利用重要不等式求最值；③對條件賦予一定的幾何意義后利用數形結合思想或轉化為函數最值問題求解，它們都是解決最值問題的有效途徑.解法1利用消元思想把目標式子化為一元函數，再利用導數知識求最小值，需要注意的是不能忽略定義域的限制；解法2將條件變形后理解為某個函數，再轉化為求解該函數圖象上的點到原點距離最小值，其難點在于如何確定取得最小值時點的位置，思維巧妙；解法3利用重要不等式鏈中的調和平均數不大于平方平均數，結合目標通過巧妙的配湊得以奏效，此解法過程簡潔，但技巧性強；解法4挖掘出條件隱藏的幾何意義，通過引入輔助角將目標式子轉化為三角函數后，再借助均值不等式求解，此法轉換較多，對知識的掌握以及方法熟練程度要求較高；解法5結合條件的特點，聯想到借助權方和不等式的二維形式，通過合理配湊后達到求解，由于權方和不等式不屬于高考范圍必須掌握知識，對參加過競賽輔導的同學而言是比較容易想到的.縱觀以上的解題多維視角，可以說殊途同歸，其中利用化歸思想轉化為一元函數最值問題是最自然的思路，也是必須要掌握的方法，此法對數學運算素養要求較高；其次利用數形結合思想，要根據數式的特點從幾何角度理解其幾何意義是解決問題的關鍵，此法對直觀想象素養要求較高；此外利用重要不等式求解的前提是要對這些不等式比較熟悉方可，往往這些不等式是課外拓展的內容，對競賽生而言難度不大，此法對數學抽象與數學運算要求較高.

在教學中，通過對經典例題進行多維視角探討，可以激發學生學習數學的興趣，增強學生對知識的綜合應用能力，拓寬學生思維的廣度與深度，從而助推關鍵能力和核心素養在教學中的落實.