借助構造法 解答高考數學題

楊蓓蓓 王 佳

(安徽省阜陽市紅旗中學 236000)

近年來高考數學習題對構造法的考查較為頻繁.很多學生不注重構造法的應用，導致在解題中走了不少彎路，因此，教學中為使學生認識到構造法在解題中的重要性，掌握運用構造法解題的相關技巧與細節，有必要為學生講解構造法在高考數學解題中的應用.

1 構造法解不等式習題

不等式是高中數學的重要知識點，相關習題的解題思路靈活多變.教學中為避免學生思維定勢，掉進命題人設置的陷阱之中，既要注重與學生一起總結不等式習題解答思路，又要示范構造法的應用，使學生體會構造法在解題中的便利，更好地把握相關習題特點，逐漸提升其運用構造法解題的意識.

例1(2020年全國Ⅱ卷第12題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

該題目給出的已知條件較為簡單，但卻考查了指數函數、對數函數、函數單調性、構造法等知識點，是一道不錯的好題.

解析因為2x-2y<3-x-3-y，

所以2x-3-x<2y-3-y.

令f(t)=2t-3-t，因為2t為增函數，-3-t為增函數，所以f(t)為增函數.

又因為f(x)=2x-3-x

所以x

即y-x>0，y-x+1>1.

由對數函數性質可知，ln(y-x+1)>0.

而y和x的大小未知，因此無法判斷|x-y|，|x-y|和1的大小關系.故選A.

2 構造法解方程習題

方程與函數有著密切的聯系，在解答方程類的問題時常常將其轉化為函數問題.但高考中的部分習題綜合性較強，不容易直接觀察出相關參數之間的內在關系，因此，解題中應具備靈活的思維，積極聯系所學基礎知識，通過觀察方程特點構造出相關函數，運用函數性質加以巧妙突破.

例2(2020年全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

該題目屬于函數與方程綜合題目，具有一定難度.解答該題需要具有靈活思維，能夠從給出的已知條件中找到突破口.觀察給出的等式形式可知需要運用構造法進行解答.

解析令f(x)=2x+log2x，因為2x，log2x均為單調遞增函數，所以f(x)為增函數.

觀察給出的四個選項，可令

F(x)=f(a)-f(2b)=2a+log2a-22b-log22b，

又因為4b=22b，2log4b=log2b，

2a+log2a=4b+2log4b，

所以2a+log2a=22b+log2b.

所以F(x)=22b+log2b-22b-log22b

=log2b-log22b

所以a<2b，故選B.

3 構造法解數列習題

數列相關知識較為抽象，是高中數學的難點知識.相關習題在高考中常作為壓軸題，考查學生對數列知識的理解深度以及靈活運用程度.教學中為提高學生解答不同數列習題的能力，應優選高考中代表性較強的題目，做好構造法的應用講解，使學生更好地把握數列知識本質，掌握構造法解答數列習題的思路，在解題中能夠融會貫通、舉一反三.

例3(2019年全國Ⅱ卷)已知數列{an}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明：{an+bn}是等比數列，{an-bn}是等差數列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式；

解答該題目可從要求解的問題入手進行分析，從中可以看到需要運用構造法進行解答.

解析(1)因為4an+1=3an-bn+4，

①

4bn+1=3bn-an-4，

②

①+②整理，得

4(an+1+bn+1)=2(an+bn).

又因為a1+b1=1，

③

①-②整理,得

4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8.

所以(an+1-bn+1)-(an-bn)=2.

又因為a1-b1=1，

所以{an-bn}是以1為首項，以2為公差的等差數列.

即an+bn=1+(n-1)×2=2n-1.

④

(2)③+④,③-④整理,得

4 構造法解導數習題

構造法在解答高中數學導數習題中有著廣泛的應用.教學中為提高學生運用構造法解答導數學習的能力，一方面，為學生總結導數習題中常用的構造思路，并在課堂上通過設計問題與學生互動，使其更好地把握構造法應用的相關細節.另一方面，與學生一起分析相關的高考習題，使其明確高考導數習題的考查知識點、考查方向，使其深刻體會構造法在解題中的具體應用，以后遇到相關習題，能夠迅速、正確地構造出相關函數，實現順利解題.

例4(2020年全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

該題目中的第(1)問考查學生靈活運用導數研究函數單調性問題，第(2)問考查學生運用構造法求函數最值問題.

解析(1)因為f(x)=ex+x2-x，則

f′(x)=ex+2x-1.

則f″(x)=ex+2>0.

所以f′(x)在R上單調遞增.

又因為f′(x)=0時，x=0，

則當x<0時，f′(x)<0；

當x>0時，f′(x)>0.

即f(x)的遞減區間為(-∞，0)，遞增區間為(0，+∞).

(2)當x=0時，f(x)=1≥1成立，此時a∈R；

問題轉化為求h(x)的最大值，則

則g′(x)=ex-x-1，g″(x)=ex-1>0，表明g′(x)單調遞增.

又因為g′(0)=ex-x-1=0，

所以當x>0時，g′(x)>0，

因為g(x)min=g(0)=0，

所以當x>0時，g(x)>0.

當00；

當x>2時，h′(x)<0，則

構造法對學生的各項能力要求較高，既要能夠牢固掌握、深入把握所學知識本質，又要掌握不同題型的構造技巧，因此，教學中不僅要為學生講解構造法相關理論，傳授相關的構造技巧，又要做好構造法在解題中的應用講解，鼓勵其做好聽課的總結，及時彌補學習中的不足.