離子阱中以聲子為媒介的多體量子糾纏與邏輯門*

劉騰 陸鵬飛 胡碧瑩 吳昊 勞祺峰 邊紀2) 劉泱2) 朱峰2)3) 羅樂2)3)?

1) (中山大學物理與天文學院,珠海 519082)

2) (中山大學深圳研究院,量子信息技術中心,深圳 518087)

3) (中山大學,光電材料與技術國家重點實驗室,廣州 510275)

高保真度的多離子糾纏和量子邏輯門是離子阱量子計算的基礎.在現有的方案中,M?lmer-S?rensen 門是比較成熟的實現多離子糾纏和量子邏輯門的實驗方案.近年來,還出現了通過設計超快激光脈沖序列,在Lamb-Dicke 區域以外實現超快量子糾纏和量子邏輯門的方案.這些方案均借助離子鏈這一多體量子系統的聲子能級來耦合離子之間的自旋狀態,并且均通過調制激光脈沖或設計合適的脈沖序列解耦多運動模式,來提高糾纏門的保真度.本文從理論和實驗層面分析了這些多體量子糾纏和量子邏輯門操作的關鍵技術,揭示了離子阱中利用激光場驅動離子鏈運動態,通過非平衡過程中的非線性相互作用,來實現量子邏輯門的基本物理過程.

1 引言

自20 世紀80 年代Paul Benioff 提出量子圖靈機概念之后,多體系統中的量子糾纏與量子邏輯門得到快速發展.多量子比特的糾纏特性可以實現量子計算功能,在解決復雜數學問題時,不僅能夠有效節省計算時間,而且可以節省大量算力資源.目前量子計算的獨特優勢已經在分子模擬、化學化工和機器學習等領域有初步展現.基于量子多體系統的量子模擬與量子計算正在展現其在科學探索上的巨大潛在價值.

量子計算的硬件實現體系有很多,例如半導體、冷原子光晶格、超導約瑟夫森結體系等.離子阱體系也是其中之一,例如Paul 阱和Penning 阱.Paul 阱的發明歸功于沃爾夫岡·保羅 (Wolfgang Paul),他也因這項工作獲得了1989 年的諾貝爾物理學獎.Paul 阱通過直流和射頻電極在特定區域產生電磁場,以此俘獲并囚禁離子.囚禁離子本身處于高真空狀態,穩定性非常好,處于糾纏態的離子可以保持相當長的相干時間.量子計算的核心是在多體系統上構建量子邏輯門,并以此實現量子算法,因此,能否實現高保真度的糾纏態對于量子計算而言非常重要.在囚禁離子系統中實現高保真度的量子糾纏態,其中應用比較廣泛的有Cirac-Zoller controlled-NOT 門和M?lmer-S?rensen 門,兩者都已被實驗驗證[1,2].本文主要討論M?lmer-S?rensen門,它利用囚禁離子的運動模式和自旋(外態和內態)的耦合和解耦,以聲子為媒介實現囚禁離子自旋的糾纏.其最大的特點就是利用激光與聲子的相互作用,將一維離子鏈構成的量子多體系統驅動到遠離平衡態的狀態,通過非線性過程實現糾纏.

本文將詳細地討論M?lmer-S?rensen 門中蘊含的非平衡和非線性物理過程,同時闡述多聲子模式的耦合問題,特別是多聲子模式中拉比頻率?的數值分布.此外,傳統的M?lmer-S?rensen 門采用的是連續激光,每種激光頻率只能和一種離子運動模式耦合,這大大降低了門的運行速度,且速度只會隨著囚禁的離子數增加而指數下降.我們將在本文中討論近年來高功率脈沖激光的運用,以及在Lamb-Dicke 區域外實現兩離子超快糾纏門的可行性.

本文的結構如下:第2 節首先簡單介紹離子阱系統的基本結構、離子在阱中的振動模式以及量子化的聲子能級,以此為基礎探討了激光驅動離子內態與外態耦合的物理過程和相關應用;第3 節和第4 節主要總結討論單聲子模式下M?lmer-S?rensen門和超快門中離子鏈這一量子多體系統在激光驅動下內、外態耦合演化的非平衡過程,從自旋相關的相位積累角度分析了這一過程產生的非線性效應并探討了其產生糾纏的原因;最后總結分析了在囚禁離子系統上實現量子邏輯門這一研究熱點中解決多聲子模式問題的常用方法.

2 離子阱中的聲子與激光相互作用

2.1 離子鏈振動與聲子模式

當離子因受到直流 (DC) 和射頻 (RF) 電極的電場作用而被囚禁在阱中時,離子會近似以簡諧運動的形式在阱中振蕩.在囚禁多個離子時,可以通過設置合適的電極參數使阱中的離子在外加電場和離子間庫侖斥力的共同作用下，形成一維線性的鏈狀結構.由于存在比較強的庫侖相互作用,鏈上離子之間的運動狀態相互耦合影響,單個離子微小的動力學改變會在庫侖力作用下迅速引起整個離子鏈的運動形式發生變化.如果把離子鏈整體的運動也看作諧振子,整個離子鏈會在x,y,z三個正交方向上存在本征運動模式和相應的本征頻率.其中,定義一維離子鏈延伸方向 (z軸方向) 的運動模式為軸向模,與之正交的x軸和y軸方向的運動模式為徑向模.由于阱的電極參數結構,軸向上本征模的振動頻率ωz遠遠小于徑向上的振動頻率ωx和ωy.本征運動模式的量子化能量可以用一種準粒子——聲子來描述[3].

2.1.1 空間位置

為研究離子鏈在囚禁區域的振蕩特征,首先需要了解每個離子在囚禁區域的受力情況和位置分布.當只考慮純二次勢的作用時,一維鏈狀的庫侖晶體系統的總能量為[3]

其中第一項為離子振動的動能,第二項為離子間的勢能,m為離子的質量,i,j為離子的序數指標.這是經典的能量表達式書寫方式,但是實際計算時頗為復雜.使用約束條件=0 則(1)式可以化為

其中ω取軸向方向的質心模頻率ωz,e為單位電荷量.為了化簡該式,引入兩個新量[4]ui=xi/l,l3=e2/(4π?0mω2).最終可以得到關于離子位置的約束方程:

解決多個離子的問題時,使用(3)式可以得到離子位置的數值解.表1 為ωz=0.3058 MHz 時5 個171Yb+的離子鏈中離子位置的計算結果.值得注意的是常數l在實驗中非常重要,其一定程度上表征了一個離子阱中的囚禁區域的線度[4],對于171Yb+而言,以上軸向頻率下l ≈6.038μm .

表1 離子鏈上的離子位置Table 1.Ion position on the ion chain.

2.1.2 振動模式與聲子

離子鏈在時變的外部電場作用下存在一定程度的振動.如果從量子力學觀點去看,勢阱中諧振子的能量不連續,而是表現出一定的能級特性.阱中離子鏈更像一種庫侖晶體,存在其特定的聲子能級.如果囚禁區域只有兩個離子,囚禁勢是一個二次勢.根據牛頓第二定律研究離子在z軸 (軸向)方向的受力情況,可以得到如下微分方程組:

其中z1,z2分別為兩個離子的位置坐標.k0為靜電力常量,k為常系數,e為單位電荷,m為171Yb+的質量.z1+z2實際上表征兩個離子質心的位置坐標,而z1?z2表征離子間距.如果將式中z1+z2和z1?z2看作兩個新的變量,那么以上微分方程關于這兩個新變量的解具有周期性振蕩的形式.這使得離子運動表現為兩種模式:一種為質心模,即質心隨離子振動而振動;另一種為呼吸模,即離子以質心為中心而做類似呼吸的運動,如圖1 所示.

圖1 兩離子在阱中的振動模式 (a) 質心模;(b) 呼吸模Fig.1.Vibration modes of two ions in trap:(a) Center of mass mode;(b) relative motion mode.

將總能量表達式(1)式代入(6)式可得:

其中矩陣Aij可以解析地推出如下形式[3]:

根據阱的對稱結構和勢場分布可知ωx ～ωy ?ωz,因此這里模擬計算軸向運動模式頻率時可取參數a=2,ωD/ωz=1 (D取z);在計算徑向運動模式頻率時取a=?1,ωD/ωz=10 (D取x或y)[3?5].計算矩陣A的本征值和本征態為Aξk=λkξk,ξk表示第k個本征模,λk表示第k個本征模對應的本征值.在各個方向上的本征模頻率可以表示為由以上計算過程不難看出,當離子鏈上有m個離子時就會有m個本征運動模式和本征頻率與之對應,可以模擬計算5 個離子的軸向和徑向兩個方向的本征頻率圖譜,如圖2 所示.徑向模式的本征頻率在線性離子鏈系統中比軸向更高,且本征頻譜間隔更近.

圖2 5 個離子徑向模式和軸向模式的本征頻率 (a) 徑向模式的本征頻率以及本征模向量,bm(m=1—5) 表示了5 個離子遠離平衡位置 x0 的大小,δ 是執行受激拉曼躍遷過程中設置的失諧;(b) 模擬計算的徑向模式和軸向模式的本征頻率譜Fig.2.Eigenfrequencies of the transverse and axial modes of the 5 ions in trap:(a) Eigenfrequencies of transverse modes and eigenmode vectors,bm(m=1 ?5) represents the size of the 5 ions away from the equilibrium position x0,δ is the detuning in stimulated Raman transition;(b) simulated eigenfrequency spectra of transverse and axial modes.

離子鏈是一個比較典型的多體量子系統,其中簡諧振子能量形式在量子力學里可以以量子化的形式表示,對應于特定的聲子能級.每一個方向上每一個本征模都可以提供其聲子能級,第m個本征模提供的聲子頻率為νm,對應的聲子能級間隔為

2.2 激光場與聲子模式的相互作用

以171Yb+離子為例,171Yb+離子的兩個超精細能級對磁場的變化不敏感,因此將其編碼為量子比特具有更好的穩定性.如圖3 分別定義F=0,mF=0能級和F=1,mF=0 能級為 |↓〉 態 (|0〉) 和|↑〉態 (|1〉).在這個兩能級系統中,兩能級的哈密頓量可以寫成其中ωhf代表自旋能級|↓〉態和 |↑〉 態的能級差,σz是泡利z算符.在離子阱中的離子可以被看作一個簡諧振子,所以離子運動態的哈密頓量可以寫成Hm=(a?a+1/2)?ν,其中a?和a是產生和湮滅算符,ν是某個運動模式的本征頻率 (也就是聲子的頻率).

圖3 171Yb+ 中受激拉曼躍遷示意圖 (ω1、ω2 分別為兩束激光的頻率;? 為兩束激光在 2P1/2 能級處的失諧)Fig.3.The stimulated Raman transition of 171Yb+ (ω1 and ω2 are the frequencies of the two laser beams;? is the detuning of the two laser beams at the 2P1/2 energy level).

原則上離子在三個正交方向上只用耦合其中一個方向的運動模式即可.通過構建一組受激拉曼躍遷,離子的運動外態和自旋內態就可以被耦合起來.三能級構型的171Yb+離子和激光相互作用的受激拉曼躍遷如圖3 所示,忽略交流斯塔克效應后,離子和激光相互作用的哈密頓量可以寫成[6]:

其中ω=ω2?ω1是兩束激光的頻率差,k=k2?k1是兩束激光的波矢差,?=?2??1是兩束激光的相位差,σ+=|↑〉〈↓|是自旋的升算符,σ?=|↓〉〈↑|是自旋的降算符,?是拉比頻率.當兩束激光的波矢差k為0 時,(10)式相互作用哈密頓量中的項可以忽略.此時這個受激拉曼躍遷過程只表現為兩能級的簡單耦合,量子態在兩能級間翻轉,此時旋轉波近似后相互作用繪景下系統哈密頓量為如果受激拉曼躍遷用到的兩束激光垂直于離子鏈且相對著照射到離子上時,(10)式中無法忽略.此時波矢差k的方向為垂直于離子鏈方向,這表征激光的部分動量會轉移到離子上并且對離子在垂直于離子鏈方向上的運動模式產生影響.旋轉波近似后相互作用繪景下哈密頓量為

考慮離子運動時,我們將 |↓〉 和 |↑〉 構成的希爾伯特空間擴展為離子內態 (|↓〉、|↑〉) 和離子外態 (聲子能級 |n〉) 的直積空間,則(11)式哈密頓量表示|↓〉?|n〉和 |↑〉?|n′〉 之間的耦合.如果將(11)式代入薛定諤方程,可以解出之間耦合的等效拉比頻率?n,n′為

由(13)式和(12)式可知,在Lamb-Dicke 極限條件下,大于一個聲子能級的躍遷將被抑制而只可能存在不改變聲子能級的載波躍遷和改變一個聲子能級的紅邊帶或藍邊帶躍遷.當(11)式哈密頓量中ω ?ωhf=0 時激發強烈的載波共振躍遷,此時自旋翻轉的同時聲子能級不發生改變,對應的拉比頻率為?n,n=?;當ω ?ωhf=ν時 (ν為聲子的能級間隔) 激發藍邊帶躍遷,此時自旋由下翻上的同時聲子能級增一,即由 |n〉 躍遷到 |n+1〉,自旋由上翻下的同時聲子能級減一,即由 |n〉 躍遷到 |n ?1〉 ;當ω ?ωhf=?ν時激發紅邊帶躍遷,此時自旋由下翻上時聲子能級減一,由上翻下時聲子能級增一,如圖4(a).此外,由(13)式和(12)式可求得聲子能級增一或減一時自旋耦合的拉比頻率分別為

圖4 邊帶躍遷和邊帶冷卻示意圖 (a) 載波(黑)、紅邊帶(紅)和藍邊帶(藍)躍遷;(b) 171Yb+ 紅邊帶冷卻示意圖Fig.4.Schematic diagram of sideband transition and sideband cooling:(a) Carrier (black arrow),red sideband (red arrow) and blue sideband (blue arrow) transitions;(b) red sideband cooling of 171Yb+ .

利用以上耦合單個聲子能級的自旋躍遷原理可以構建基于邊帶的離子冷卻過程[9?11],圖4(b)就是基于紅邊帶構建邊帶冷卻的示意圖.從高聲子能級的自旋下態出發,紅邊帶將自旋翻轉為上態并使得聲子能級降低一級.為了能夠使得紅邊帶持續作用而降低聲子能級,每次翻轉后需要將處于自旋上態的離子重新泵浦回自旋下態,這一過程不改變聲子能級.實驗中設置合適的紅邊帶與泵浦序列,離子所處的聲子能級將會逐級降低.當離子的聲子能級被冷卻到聲子基態時,紅邊帶將無法再產生作用.

3 單聲子模式下的糾纏和邏輯門

3.1 M?lmer-S?rensen 門

M?lmer-S?rensen 門[12,13]通過同時運用2.2 節提到的非共振的紅、藍邊帶來耦合兩個離子的自旋.在囚禁171Yb+系統中[14?16],可以通過給受激拉曼躍遷過程設置合適的失諧來產生紅、藍邊帶.為了防止同種邊帶的連續躍遷,需要在原來紅、藍邊帶的頻率基礎上額外增加一個小失諧δ[2],如圖5所示.由于其每種邊帶一次最多只躍遷一個聲子能級,因此這是一種在Lamb-Dicke 極限以內的邏輯門實現方式.

由于聲子的玻色子特性,離子鏈上不同離子可同時處于相同的聲子能級上.假設離子鏈上兩個離子被初始化在 |↓↓,n〉 態,此時,如果其中一個離子沿著圖5 中路徑1 受紅邊帶光子激發躍遷到|↓↑,n ?1〉態.由于失諧δ的設置,紅邊帶的連續作用將被抑制,此時另外一個離子將受藍邊帶光子激發躍遷到 |↑↑,n〉 態.如果M?lmer-S?rensen 門中失諧的設置遠大于兩自旋翻轉的拉比頻率,中間單自旋翻轉的態就可視為幾乎沒有布居[17,18].根據(12)式和(13)式,兩自旋翻轉的躍遷的強度可以表示為另外沿著路徑2,|↓↓,n〉態先受藍邊帶光子激發躍遷到 |↓↑,n+1〉 態,然后受紅邊帶光子激發躍遷 |↑↑,n〉 態.躍遷的強度可以表示為圖5 中右側還有兩條相同的針對不同離子的路徑,實際過程可視為這些路徑同時都有可能存在.

圖5 M?lmer-S?rensen 門能級 躍遷示意圖,其中 ωb,ωr分別為藍邊帶和紅邊帶的頻率,紅色箭頭和藍色箭頭分別為紅邊帶躍遷和藍邊帶躍遷.ν 為聲子頻率,δ 為紅、藍邊帶處的小失諧Fig.5.The energy level transition in M?lmer-S?rensen gate.ωband ωr are frequencies of blue sideband and red sideband respectively,and blue arrow and red arrow are blue sideband transition and red sideband transition respectively;ν is the phonon frequency,and δ is the small detuning of each sideband.

其中?total=(η?)2/δ是所有路徑作用下兩離子自旋翻轉的的總強度,這里σ?=cos?σx+sin?σy.在討論M?lmer-S?rensen 相互作用時,可以從激光場與兩能級離子在簡諧勢阱中相互作用的哈密頓量開始考慮.離子在阱中的自由哈密頓量為其中ω0=ωhf.相互作用哈密頓量為(10)式.旋波近似后相互作用繪景下系統的哈密頓量為

其中η=kx0是Lamb-Dicke 系數.在(15)式中,取δ=δr,?=?r可以得到紅邊帶的哈密頓量,取δ=δb,?=?b可以得到藍邊帶的哈密頓量.M?lmer-S?rensen 門中紅、藍邊帶同時作用,如圖5.此時相互作用哈密頓量可以寫成紅、藍邊帶哈密頓量的和[12,13],

定義M?lmer-S?rensen 門中設置的紅、藍失諧為δb=?δr=δm≡ν+δ,運動態相位為?m=(?b??r)/2,自旋相位為?s=?π/2?(?b+?r)/2,自旋算符為σ?=指標i為離子的序數,指標m為多運動模式的模式序數.忽略非共振的載波項后,設置?r=0,?b=π 得到相互作用哈密頓量為

這個哈密頓量的時間演化算符可以用二階Magnus公式展開[19],

忽略多聲子模式的情況,考慮兩離子共享運動態,則可得兩離子自旋耦合運動態的演化算符,

M?lmer-S?rensen 門的中心思想是使用聲子作為媒介來實現離子自旋的糾纏.離子在阱中存在相互獨立的自旋態 (內態) 和共同分享的聲子態(外態).通過運動態相互耦合的離子為實現糾纏提供了很大的方便.改變其中一個離子的聲子模式,這種改變會通過離子間庫侖相互作用迅速地傳遞到整個鏈條,鏈上的所有離子共享一個聲子模式.如果此時離子的自旋與這個共享的聲子模式相互耦合,則以聲子為媒介將兩個離子的自旋糾纏在一起將成為可能.M?lmer-S?rensen 門使用紅、藍邊帶兩組受激拉曼躍遷實現這種離子自旋與聲子的耦合,最后T=2nπ/δ時兩個離子的自旋糾纏起來,同時自旋與聲子解耦,實現了兩個離子自旋的凈糾纏.

3.2 超快激光作用下的邏輯門

超快脈沖鎖模激光器在物理學研究的各個領域得到廣泛的應用.有著一定重復頻率的超快激光脈沖序列在頻域上有著獨特的梳齒結構,即所謂的光學頻率梳[20?22].其不僅在光譜學領域的發展上有著重要推動作用,也在囚禁離子系統上制備離子自旋的糾纏態和實現量子邏輯門[23],實現兩離子自旋超快糾纏[24]方面有著出色的應用.同連續激光一樣,超快脈沖激光也是通過構造自旋依賴的動量轉移來實現離子內態 (自旋) 的糾纏.時域上,兩束脈沖序列在垂直于離子鏈的方向上相向入射,由同時到達的多對脈沖驅動離子自旋翻轉的同時耦合聲子能級,實現最大的動量轉移.這一過程可以視為由脈沖激光序列驅動的受激拉曼躍遷過程.當脈沖序列很長,脈沖序列上單個脈沖強度較弱時,頻域上每根梳齒的帶寬很窄,在聲光調制器的調制下很容易構造出第2 節所描述的產生紅、藍邊帶的受激拉曼躍遷,進而實現超快脈沖激光作用下的兩比特糾纏.在頻域上這一過程可視為離子感受到來自兩束激光脈沖序列所構成的光頻梳的梳齒頻率差恰好滿足驅動離子紅、藍邊帶躍遷的共振要求.這種用弱脈沖、長脈沖序列來構造紅、藍邊帶的方案受Lamb-Dicke 區域的限制,即高于一個聲子能級的躍遷會被強烈地抑制,因而門時間相對較長,約為百微秒量級[16].此外還可以利用強脈沖、短脈沖序列實現Lamb-Dicke 區域以外的超快糾纏門,門時間大約為幾微秒量級[24].Lamb-Dicke 區域以內激發紅、藍邊帶的理論原理在第2 節已討論,本節主要討論超快脈沖激光作用下的超快糾纏.

3.2.1 超快激光脈沖耦合聲子

以171Yb+離子為例,與3.1 節M?lmer-S?rensen門相似,171Yb+離子在基態F=0,mF=0〉受到355 nm 激光的激發,吸收光子躍遷至一虛能級,此處的失諧量?約為33 THz.另一束355 nm的激光照射離子,使其釋放光子落回至激發態這一整個受激躍遷過程將離子內態的兩個能級耦合起來,布居數在兩個能級間以拉比振蕩的形式轉移,拉比頻率為?,暫時不考慮離子運動效應的情況下,激光的電場效應可以寫為是脈沖激光的極化矢量,f(t) 是脈沖激光的電場包絡函數,ω是脈沖激光的頻率,?是脈沖激光的相位.根據受激拉曼躍遷的基本理論,在旋轉坐標系下相互作用哈密頓量可以寫為

其中拉比頻率?=為偶極躍遷因子.?1和?2分別為兩束激光引起的斯塔克效應項,因為激光在 P 能級處有著巨大的失諧,如圖3 所示,這兩項引起的能級間距頻移項 |?1??2| 遠小于拉比頻率?,其引起的繞z軸的轉動效應很小,因此可以忽略不計[25].哈密頓量的最終形式為

與M?lmer-S?rensen 門相似,激光操縱離子內態 (自旋) 和運動態的核心是兩束波矢相向或者有相向的分量的激光在構成以上受激拉曼躍遷的同時還對離子有一定的擾動力.在M?lmer-S?rensen門中,其表現為直接激發聲子的躍遷,這里這種擾動表現為離子內態在進行拉曼躍遷時,吸收和放出光子會對自身的動量產生一定的改變.當兩束激光的波矢相向且垂直與離子鏈時,這種動量改變最大為 ??k[25],?k為兩束光的波矢差.考慮離子在阱中的簡諧振動,激光電場效應中的相位?=kx+?0,k為電場波矢,x為位置算符.拉比頻率中的偶極躍遷因子具有如下形式:

式 中Isat為飽和光強,CCG為Clebsch-Gordan 系數,G為上能級的自發輻射率.拉比頻率的大小反映了兩個能級的耦合強度,其正比于光強.以兩束光相向傳播為例,考慮到受激拉曼躍遷中兩束光具有方向相反的波矢k1,k2,和不同的相位?1,?2.定義 ?k=k2?k1,??=?2??1.則拉比頻率可以通過(21)式計算得

?1,?2分別正比于兩束光的光強.最終的有效哈密頓量為

與紅、藍邊帶的作用相似,?kx的引入在(23)式哈密頓量的時間演化算符內表現為離子在運動態上的位移算符,即激光將對離子的運動態產生影響.用離子運動態的基態波包x0定義Lamb-Dicke 參數η=?kx0,諧振子的位置算符x寫作x0(a+a?).使用超快激光脈沖序列激發自旋翻轉時,單個脈沖的脈寬很短且遠小于離子的運動周期,數學上可以近似為一個δ函數[25].因此如果一個脈沖在t0時刻到達離子,則有近似關系?1,2(t)≈Θδ(t ?t0).因此一對脈沖同時照射到離子的總的演化算符為[25,26]

可以看到一對脈沖光子照射到離子時不僅引起了離子自旋的翻轉,也對其運動外態以位移算符D(inη)的形式產生影響.但是如果僅靠單獨一對脈沖光子實現一次完整的受激拉曼躍遷,脈沖面積Θ取 π 時,(24)式中貝塞爾函數 Jn(Θ) 的n階效應無法忽略,即相當于在脈沖對驅動的受激拉曼躍遷過程中,自旋翻轉和動量改變會以一定的概率發生n次,這個概率幅由前面的貝塞爾函數的大小決定.由此可見,一對強脈沖的作用最終讓一個初態在聲子基態或者一個相干態的離子成為不同動量大小踢的疊加態,類似于Kapitza-Dirac 衍射效應[25,26].

3.2.2 自旋依賴的動量轉移

(24)式中雖然同時體現了自旋的翻轉和離子運動態的轉移,但這并不能稱得上是Spindependent Kick (SDK)[25],只可稱得上是Spincoupled Kick.因為(24)式中可以發現這種動量改變并不依賴于自旋的狀態,只是在耦合運動態的同時自旋做一個簡單的翻轉.換言之,處在不同自旋狀態的離子在經過一對脈沖的作用后完全有可能仍然處在一個相同的運動態上.實驗中可以通過每對光脈沖之間有特定時間間隔的光脈沖序列來實現SDK,假設脈沖和脈沖之間的時間間隔為t0,則這對脈沖光子序列的總演化算符為[26]

在這多個脈沖的作用下,每個脈沖的脈沖面積設為一個小量δθ.當δθ足夠小時,每個脈沖造成的高階動量轉移效應就被很好地抑制,此時(24)式中貝塞爾函數只取到一階.第tn時刻到達的強脈沖對的作用可認為是瞬時的,相互作用繪景下每對脈沖的演化算符近似寫為[26]

雖然上面的演化算符不含tk,但是這樣的化簡是基于脈沖之間的時間間隔限制條件t0=tn+1?tn其中ωA為是施加給其中一束激光的頻移,滿足ωhf=

圖6 自旋依賴的動量轉移 (a) 不同自旋狀態在相空間被轉移的方向不同,紅色圓代表 |↑〉 態,藍色圓代表 |↓〉 態;(b) 超快脈沖序列照射離子產生自旋依賴的動量轉移Fig.6.Spin-dependent momentum transfer:(a) Different spin states are transferred in different directions in phase space,red circle represents |↑〉 state and blue circle represents |↓〉 state;(b) ultrafast pulse trains irradiate ions and produce spin-dependent momentum transfer.

其中ηC和ηR分別代表質心模和呼吸模的Lamb-Dicke 參數.可以看到兩比特的SDK 算符每項有選擇地耦合了不同運動模式.第一項和第三項對處于 |11〉,|00〉 的系統耦合質心模.第二項和第四項對處于 |01〉,|10〉 的系統耦合呼吸模.那么在演化時,不同自旋組合在不同的運動模式下將在相空間內累積不同的相位,這種自旋依賴的相位積累構建出了這個多體量子系統非平衡的相位積累過程,為產生糾纏提供了條件.

3.3 非線性作用與糾纏制備

在量子計算中,任意一個幺正演化算符都可以通過一些基本的單比特門和兩比特CNOT 門構建而成[27].但實現兩比特或多比特糾纏的演化算符必然不可被幾個單比特門直積分解,因為糾纏包含了比特之間的相互作用,這一特性源于產生糾纏的物理過程有一定的非線性的相互作用.假設初態為包 含了兩個量子比特所展開的希爾伯特空間的所有相互正交的基 (|00〉,|01〉,|10〉,|11〉).一個物理過程對應的演化算符U作用在這樣的初態上,其作用效果可以在末態中以真值表的形式被完全展示出來.即如果

則A,B,C,D即為U分別作用在四個基上的真值,A,B,C,D均為復數.當這些值在某些配比情況下使得 |?f〉 不可被直積分解,比如B=C=0,則|?f〉為糾纏態.A,B,C,D的配比與U直接相關,當這個U不能被看作是兩個態無相互作用的單獨演化時,其在數學上即表示為不能被直積分解.得到的態也必然包含了相互作用的信息,即得到了糾纏態.這種相互作用可以總結為一種“非線性過程”,即不同的基在演化結束時有不同的演化結果,以滿足特定的真值表.

3.1 節和3.2 節提到的利用紅、藍邊帶躍遷耦合聲子的M?lmer-S?rensen 門和利用強超快脈沖序列耦合離子運動態的方案都借助離子的外態即運動態來構建“線性的過程”,因為離子的運動在離子鏈上可以通過庫侖相互作用互相影響,其核心是給離子施加所謂的“自旋相關力 (spin-dependent force)”[13,28].其構建“非線性過程”的基本邏輯可以總結為:首先用拉曼過程將運動態和自旋態耦合起來,然后利用自旋依賴過程給不同基積累不同運動態相位,最后將運動態和自旋解耦,運動態積累的相位表現在自旋態上.

在強超快脈沖序列的方案中,根據位移算符的運算規則D(β)|α〉=每對脈沖光子都會使離子的運動態在相空間發生位移.設離子的運動初態為相干態 |α0〉,t1時刻一對脈沖光子照射到離子并引起SDK,則(27)式中的位移算符的作用下得到新的運動態 |αt1〉 為

經過t2?t1的自由時間演化后,t2時刻第二對超快脈沖照射到離子,此時經過自由演化后的運動態再次受到SDK,

以此類推,在第n個脈沖到達之后,第m個運動模式的運動態演化為 |αtn〉=其中[24]

當 |αn〉=|α0〉 滿足時運動態的末態回復到初態位置,此時運動態可以視為和自旋解耦,由運動態在相空間轉移而產生的相位表現在對應自旋基矢上.如果初態為提取公共相位后的末態為

其中Φ=?Cn ??Rn,為質心模和呼吸模各自積累的相位之差.在驅動邊帶耦合聲子的M?lmer-S?rensen 門中,這種直觀的自旋相關的運動態轉移也存在.當運動態與自旋解耦時,則(19)式的演化算符寫為

(35)式與(27)式形式相近,在兩比特自旋基矢上具有明確的自旋依賴的動量轉移形式,只不過M?lmer-S?rensen 門中需要定義新的基矢.

4 多聲子模式下的糾纏和邏輯門

利用庫侖相互作用不僅可以單獨實現兩離子自旋糾纏,也可以實現多對離子自旋的平行糾纏[29]及整個離子鏈的全局糾纏[30].利用自旋相關力和離子間的庫侖相互作用,離子的運動態可以作為產生離子間自旋內態糾纏的中介.但是所有產生糾纏的最關鍵一步就是在操作結束后需要滿足自旋態和運動態的解耦,實現離子自旋內態的凈糾纏.3.3 節講到的自旋相關力在驅動離子自旋演化的同時也驅動著離子的運動態在相空間演化,當運動態在相空間演化的軌跡恰好閉合,即離子運動態的演化回復到初態時可以視為和自旋解耦.但是鏈上有m個離子時,每個方向上都有m個本征運動模式.無論是用邊帶驅動聲子的M?lmer-S?rensen門還是強超快脈沖序列,都需要解決多運動模式對離子自旋糾纏的保真度帶來的影響.常見的解決方法為對入射激光或脈沖進行頻率調制、相位調制和幅度調制[16，31],即所謂的“脈沖整形”.

4.1 Lamb-Dicke 區域以內解耦多聲子模式

由于實際在執行M?lmer-S?rensen 門操作的時候,激光的線寬往往不能忽略.理論上,激光的線寬只要不覆蓋到其他本征模式提供的聲子能級上,那么激光就不與這些能級耦合.實際實驗中由于離子的徑向模式的幾個本征模式頻率非常接近,激光的線寬會基本覆蓋到離子這個方向上所有本征模式的聲子能級上,如圖7 所示.

圖7 脈沖激光線寬覆蓋若干個本征頻率的示意圖Fig.7.Schematic of laser linewidth covering several eigenfrequencies.

如果采用單模的處理方法,就會因其他模式無法解耦而降低門操作的保真度,所以在進行離子鏈上的兩離子糾纏時考慮多模問題不可避免.M?lmer-S?rensen 門在多聲子模式下演化算符為

將激光幅度在時域上分為N段,每種運動模式都同時受此幅度分段調制的激光驅動.當δm ?νm ?δm+νm時,表征離子在相空間位置的αi,m(t) 在旋波近似后化為

兩量子比特的自旋-自旋相互作用項系數為

其中

通過對(36)式的分析可知,為了實現離子鏈上離子對i,j自旋凈最大糾纏,須同時滿足下面兩個限制條件:

1）所有運動模式在門結束的時候都和自旋解耦,即αi,m(t) 對所有模式m都為0;

文獻[32]中定義了糾纏門的保真度為

通過求解以上兩條約束條件及(41)式中最大保真度下分段的?(t) 的解,可得5 個離子的離子鏈上2 個離子糾纏的幅度調制的脈沖整形結果.如果對脈沖幅度的調制總共分9 段,設置門時間為200μs,設 置失諧δ為3.0318 MHz,則其中一個?(t)的解如圖8 所示.

圖8 門時間為 200μs,失諧 δ 為3.0318 MHz 時脈沖幅度調制模擬結果Fig.8.Simulation result of laser amplitude modulation when gate time is 200μs and detuning δ is 3.0318 MHz.

5 個運動模式在相空間中運動的軌跡如圖9所示.可以發現5 個模式在門操作結束的時候,在幅度調制后的脈沖作用下,所有模式的運動態在相空間中的軌跡都恰好閉合,即所有模式的自旋態都和運動態完全解耦,這可以大大提升糾纏門的保真度.

圖9 5 個振動模式的運動態在相空間內的運動軌跡 (a)線頻率為3.058 MHz 的模式1;(b) 線頻率為3.047 MHz 的模式2;(c) 線頻率為3.0209 MHz 的模式3;(d) 線頻率為2.9936 MHz 的模式4;(e) 線頻率為2.9611 MHz 的模式5Fig.9.The motional state trajectories of the five vibration modes in phase space:(a) Mode 1,line frequency is 3.058 MHz;(b) Mode 2,line frequency is 3.047 MHz;(c) Mode 3,line frequency is 3.0209 MHz;(d) Mode 4,line frequency is 2.9936 MHz;(e) Mode 5,line frequency is 2.9611 MHz.

實現多運動模式解耦的脈沖整形方法除了以上詳細討論的幅度調制 (AM) 外,還有相位調制(PM) 和頻率調制 (FM).這些調制方案都可以在合適的參數調制設計下解耦多聲子模式、提高糾纏門的保真度.不同調制方案可以同時運用且被調制的參數也可以采用非離散的形式.文獻[33]通過使用單獨離散的相位調制方法實現了解耦多運動模式并抑制驅動離子的光場波動誤差.此外,也有研究組研究了使用連續函數形式的頻率調制方案來解耦多運動模式,構建具有魯棒性的兩比特門[15].隨著離子鏈上離子數的增加,離子鏈徑向模式的模式頻率數更多且間隔更窄,已有研究組通過同時運用非離散的幅度調制和頻率調制解耦多運動模式,實現了長離子鏈上的局部兩比特糾纏[16].另外,參數的連續調制和分段離散調制也可以同時運用,文獻[30]就同時使用離散的相位調制和連續的幅度調制解決了4 量子比特的全局糾纏過程中的多運動模式解耦問題.

隨著離子數的增多,設計合適的參數調制方案也會變得更復雜[33],此時可以輔之一些阱的對稱條件來簡化上文提到的尋找滿足非線性限制條件解的過程[30].此外,實際實驗過程中所用的儀器對幅度、頻率和相位的控制精度往往也影響著AM,FM 和PM 等調制方案的選擇.

4.2 Lamb-Dicke 區域以外解耦多運動模式

Lamb-Dicke 區域以外解耦多運動模式并實現超快門的方案有很多,包括使用光強更高的連續(CW) 激光和相應的幅度調制來實現快速糾纏和多運動模式解耦[34],該方案在囚禁43Ca+系統中實現了99.8%保真度的糾纏門且門時間只有 1.6μs .此外還有上文提到的使用強超快激光脈沖序列的方案實現超快糾纏并解耦多運動模式.其中,使用強超快脈沖序列的方案最具代表性.目前相關的工作包括自旋-運動態糾纏的實現[25]、兩離子自旋-自旋糾纏的理論[26]和實驗[24]等.在囚禁171Yb+系統上,該方案已經實現了 18.5μs 的門時間、76% Bell態制備保真度的糾纏門[24].此外,最近有研究小組提出了使用高重復頻率、高功率皮秒光梳的初步理論方案[35],很有希望在實際實驗平臺上實現.

使用強超快脈沖序列的方案需要設置合適的SDK 序列來解耦多運動模式,包括設置一定次數SDK 和穿插在其之間的自由演化時間.能夠實現運動態解耦的序列設置方案有很豐富的可能性,保真度最優和資源最少的序列尚無定論,尋找更好的強超快脈沖下的SDK 序列還是一個亟待探索的領域,比如最近就有研究組提出考慮微運動的序列設計方案不僅能夠提高門的保真度,而且可以使其具備對實驗誤差的魯棒性[36].此外,還有研究組提出了使用更少的超快脈沖個數得到更高保真度的序列方案,并發現此方案可以擴展到任意長離子鏈上[37].我們在圖10 中模擬了文獻[26]的方案作為示例,演示了合適的SDK 序列解耦多運動模式的過程,模擬中的部分參數也來源于該文獻.圖中T1,T2,T3分別為74.88,249.6,174.72 ns,時長為T1的紅、綠、藍、紫線條區域代表脈沖序列,分別包含了7 次自旋依賴的動量轉移 (SDK) 操作.相鄰兩次之間的時間間隔為12.48 ns,期間離子只進行自由演化.T2,T3所對應的時間范圍內由于沒有脈沖序列作用,離子同樣只進行自由演化.在作用這樣的SDK 序列后,離子的質心模和呼吸模的運動態都在相空間內閉合,如圖10(b).Mode 1 代表質心模,Mode 2 代表呼吸模.

圖10 兩個運動模式在脈沖序列的作用下與自旋解耦 (a) 超快脈沖序列;(b) 兩個運動模式在相空間的運動軌跡Fig.10.Two motional modes are decoupled from spin:(a) Ultrafast pulse train;(b) trajectories of two motion modes in phase space.

5 結論和展望

本文回顧了近年來以聲子為媒介的多個囚禁離子糾纏與邏輯門的相關研究工作.首先介紹了離子阱中以聲子為媒介的物理原理,包括離子鏈運動模式與聲子的概念,以及激光與聲子模的相互作用.重點介紹了M?lmer-S?rensen 門的原理,并分析了其不足之處.接著介紹了如何利用超快激光通過拉曼躍遷實現單離子操控[23,26],以及如何將離子內態與聲子態耦合[25],實現自旋依賴的動量轉移[24,25].最后給出了如何利用超快激光通過激發單模或多模聲子模式實現兩比特超快糾纏邏輯門[24].

二十多年前提出的Cirac-Zoller 門、M?lmer-S?rensen 門開啟了離子阱量子計算研究的熱潮,取得了豐碩的成果,但在擴展到大規模量子計算的過程中也遇到了瓶頸.為了獲得高保真度仍需處于Lamb-Dicke 區域;門的速度受限于阱頻率;由于隨著離子數增加本征模譜越發復雜,難以擴展到大規模比特數.基于超快激光的超快邏輯門有望解決這些困難,通過鎖模激光器產生的超短光脈沖耦合離子內態與聲子模,實現超越Lamb-Dicke 區域、速度不受限于阱頻率的超快單比特門及兩比特糾纏門[24].由于不需要分辨各個運動模式,本文介紹的超快門和Cirac-Zoller 門、M?lmer-S?rensen 門有本質區別,也因此獲得了上述優越性[24].超快門實際上將實現大規模量子計算的復雜度從離子方面轉移到了激光方面,可以不必再過度追求離子量子比特相干時間的提升,而是轉而追求更好地控制激光系統.由于目前已對如何穩定激光系統、進行激光脈沖整形等有了足夠好的掌握,基于超快激光-原子相互作用的量子門有較為光明的前景[26].囚禁離子實驗中已經實現了時間在 50 ps 量級的超快單比特門,保真度達到 0.99[38],也已實現了時間在 2—20μs 的兩比特糾纏門,保真度達到 0.76[24].基于連續激光形狀脈沖的超快門更是達到了1μs量級、保真度超過 0.99 的水平[34].隨著囚禁離子量子計算[39]與量子模擬[40]規模的進一步擴大,超快門可被拿來替換掉其中耗時過長的操作,更好地完成大規模量子信息處理任務.

本文介紹的超快激光-庫侖晶體的相互作用,其應用范圍不止局限于量子計算中的超快邏輯門,而是能在更廣闊的研究領域如原子物理[41,42]、量子模擬[40]、量子網絡[43]、量子物理基礎[44]等方面發揮作用.具體來講,在原子物理方面,可利用超快激光精密測量離子能級壽命[41],也可實現快速亞多普勒冷卻[42].在量子模擬方面,超快門有望使得大規模、多比特量子模擬成為可能[40].在量子網絡方面,超快激發離子結合自發輻射可制備單光子-離子糾纏態,從而為基于雙光子干涉的遠距離離子-離子糾纏建立基礎[43].在量子物理基礎方面,超快激光可被用來實現δ-驅動的諧振子以研究量子混沌[45];也可被用來制備離子阱中相空間分離創紀錄的薛定諤貓態,從而推進對于宏觀量子效應、退相干等問題的研究[44];結合高分辨成像技術,還有望加深對于量子測量、“海森伯顯微鏡”等量子力學基本問題的理解[44].

目前基于超快激光的超快兩比特糾纏門保真度約為 0.76[24],這對于更復雜的量子信息處理任務顯然是不夠的.超快糾纏門的表現主要受限于構成它的一系列自旋依賴動量轉移的保真度.目前高保真度的自旋依賴動量轉移仍面臨挑戰,主要限制包括光束指向的不穩定、使用紫外脈沖采集器導致的偏振不完美、目標聲子模和沿其余阱軸方向的聲子模間的串擾等[44].一個可能的提升保真度的方案是采用紅外超快激光脈沖,這樣就能規避使用紫外光時的一系列困難,例如脈沖采集器帶來的偏振不完美.另外,目前實現超快糾纏門的脈沖序列仍不是最優的,例如可通過切換兩束激光的波矢差實現速度更快的操控.未來還可通過更先進的數值優化方法確定一組最優的脈沖序列參數,從而在多量子比特系統中實現速度更快,保真度更高的超快邏輯門[44].