基于因果檢驗的非線性系統(tǒng)的預(yù)測試驗*

張綠夷 王革麗 譚桂容 吳越

1) (中國科學(xué)院大氣物理研究所,中層大氣和全球環(huán)境探測重點實驗室,北京 100029)

2) (中國氣象局廣州熱帶海洋氣象研究所,廣州 510641)

3) (南京信息工程大學(xué),氣象災(zāi)害教育部重點實驗室,氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心,氣候與環(huán)境變化國際合作聯(lián)合實驗室,南京 210044)

4) (四川省氣候中心,成都 610072)

非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)的預(yù)測是一個具有重要科學(xué)意義的研究課題.最近一些工作已將收斂交叉映射算法(convergent cross mapping,CCM)用于檢驗變量之間的因果關(guān)系,由于在CCM 算法中,相空間中相互靠近的點在時間上具有相似的發(fā)展趨勢和運動軌跡,因此該方法可以嘗試應(yīng)用于非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)的預(yù)測試驗研究中.鑒于此,本文將CCM 算法分別應(yīng)用于Lorenz 系統(tǒng)和實際氣候時間序列的預(yù)測中,并檢測不同相空間重構(gòu)方法對預(yù)測效果的影響.主要結(jié)果如下:1)不論是理想Lorenz 模型還是實際氣候序列,對于單變量、多變量和多視角嵌入法3 種重構(gòu)相空間方法而言,多視角嵌入法對變量的預(yù)測效果最好,表明對于給定長度的時間序列,重構(gòu)相空間中包含的信息越多,其預(yù)測能力越強;2)將NAM (northern hemisphere annular mode)加入SAT (surface air temperature)的重構(gòu)相空間中可以改善SAT 的預(yù)測效果.在使用單變量、多變量和多視角嵌入法進(jìn)行預(yù)測時,利用復(fù)雜系統(tǒng)中變量中共有信息的特性,在時間序列長度一定的情況下,可以利用動力系統(tǒng)的復(fù)雜性來增加系統(tǒng)內(nèi)的信息.基于因果檢驗的預(yù)測建模方法,通過挖掘數(shù)據(jù)中定量信息的提取,對非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)預(yù)測技巧的改進(jìn)提供了一個新穎的思路.

1 引言

對于氣候預(yù)測而言,目前的預(yù)測建模理論大多建立在傳統(tǒng)的統(tǒng)計預(yù)報、數(shù)值模式以及機器學(xué)習(xí)等方法上[1?5].氣候系統(tǒng)作為一個非線性、非平穩(wěn)的系統(tǒng),其過程比混沌運動更為復(fù)雜[6],氣候系統(tǒng)多因子間相互作用的復(fù)雜性是其預(yù)測理論和技術(shù)的瓶頸,有關(guān)非線性大氣動力學(xué)的研究及預(yù)測依然是一個具有重大科學(xué)意義的前瞻性課題.

1980 年,Packard 等[7]提出了時間序列的相空間重構(gòu)理論,通過一維時間序列的時間延滯來恢復(fù)原系統(tǒng)的動力學(xué);1981 年,Takens[8]提出的嵌入定理,表明可以從一維時間序列中重構(gòu)一個與原動力系統(tǒng)在拓?fù)湟饬x下等價的相空間,奠定了非線性系統(tǒng)的理論基礎(chǔ).隨后,一系列基于這些理論的非線性時間序列分析和預(yù)測方法便應(yīng)運而生.在非線性時間序列預(yù)測中,Farmer 等[9]給出了混沌時間序列對單變量時間序列進(jìn)行預(yù)測的方法;Casdagli[10]則比較了局域近似、全局近似和輻射近似3 種非線性預(yù)測方法的優(yōu)劣.Yang 等[11]和Wang 等[12]則參考場時間序列的思想,分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法和“場時間序列”的局域近似預(yù)測模型,對臭氧濃度和北半球500 hPa 高度場進(jìn)行了預(yù)測試驗,結(jié)果表明利用場時間序列信息可有效提高預(yù)測技巧.

然而,在一些非線性時間序列的分析和預(yù)測中,均存在一個滿足遍歷性定理的假設(shè)[13],即該時間序列所在系統(tǒng)的驅(qū)動力不隨時間變化.氣候系統(tǒng)作為一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng),控制真實氣候系統(tǒng)的外部條件并非一成不變[14],此時,假定的遍歷性定理也就不再成立[15].驅(qū)動力的改變不僅破壞了系統(tǒng)的平穩(wěn)性,而且對時間序列分析和預(yù)測理論帶來新的障礙[15].特別是,如何從實際的氣候信號中識別并提取外部驅(qū)動力因子,分析導(dǎo)致氣候變化的可能動力機制,并將其引入氣候預(yù)測中是亟待解決的重要科學(xué)問題之一.

近年來,Verdes 等[16]和Wiskott[17]分別提出了從非平穩(wěn)時間序列中提取外強迫因子的理論方法.Verdes 等[16]提出的“交叉預(yù)測法”是根據(jù)局部線性映射來反演由此引起的外強迫因子;Wiskott[17]提出的“慢特征分析法”則是通過提取快速變化的信號中的慢變特征,從而評估一個單一的外強迫因子[13,14].這兩種方法都被應(yīng)用于一些非平穩(wěn)時間序列的分析中并得到了較好的結(jié)果[18,19].

此外,建立在因果關(guān)系上的驅(qū)動力分析,近年來也得到了長足的發(fā)展.Wiener[20]提出了一種因果關(guān)系的哲學(xué)概念,即因必須有助于改善果的預(yù)測.在此概念基礎(chǔ)上,Granger[21]提出了著名的格蘭杰因果關(guān)系(Granger causality),然而此種方法并不適用于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)[22,23].2012 年,生物學(xué)家Sugihara 等[24]提出了基于相空間重構(gòu)和Takens定理的收斂交叉映射算法(convergent cross mapping,CCM),該方法可以檢驗自然界中非線性動力系統(tǒng)中的因果關(guān)系,并已得到廣泛的應(yīng)用[25?27].例如,Zhang 等[28]利用 CCM 算法,探討了北半球環(huán)狀模(northern hemisphere annular mode,NAM)與東北亞地區(qū)冬季地面氣溫(surface air temperature,SAT)的信息傳遞,結(jié)果表明,二者存在單向因果關(guān)系,NAM 作為驅(qū)動力因子影響東北亞地區(qū)冬季SAT.

同時,由于在CCM 算法中相空間中相互靠近的點在時間上具有相似的發(fā)展趨勢和運動軌跡,還可以嘗試?yán)么朔椒▽ψ兞窟M(jìn)行預(yù)測.因此,本文運用CCM 方法建立預(yù)測模型,并以Lorenz 系統(tǒng)以及東北亞地區(qū)冬季地面溫度時間序列為例,將NAM 信號加入SAT 的重構(gòu)相空間中,檢驗對SAT的預(yù)測效果.借助因果檢驗的手段識別影響氣候變化要素的外強迫因子,并將其應(yīng)用在實際的氣候預(yù)測中,檢驗預(yù)測建模效果.本文首先簡要介紹收斂交叉映射算法以及預(yù)測建模的思路,給出理想序列的預(yù)測檢驗和包含NAM 信息的東北亞地區(qū)冬季SAT 時間序列的預(yù)測分析,對非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)預(yù)測技巧的改進(jìn)提供了一個新穎的思路.

2 收斂交叉映射算法在預(yù)測上的應(yīng)用

2.1 CCM 算法

CCM 算法基于相空間重構(gòu)理論和Takens 嵌入定理,其基本思想是通過兩變量間的重構(gòu)相空間的相互預(yù)測來判定二者之間的因果關(guān)系[24].若變量Y為變量X的驅(qū)動力因子(Y影響X),利用變量X的重構(gòu)相空間MX預(yù)測Y時,隨著時間序列長度L的增大,鄰近點間的距離不斷減小,逐漸收斂于Y(t),并且與觀測值Y(t) 的相關(guān)系數(shù)會逐漸增大,且二者的相關(guān)系數(shù)不斷增大且達(dá)到收斂.

假設(shè)變量X,Y的時間序列長度為L,重構(gòu)相空間的嵌入維度為E,采樣間隔為τ,在t時刻X和Y的重構(gòu)相空間MX,MY坐標(biāo)為

2.2 收斂交叉映射算法中三種重構(gòu)相空間的方法

利用CCM 算法可以使用歷史軌跡上的信息來預(yù)測未來值,而不是依賴于求解固定的方程式或方程組.相空間重構(gòu)的方法是利用CCM 算法預(yù)測的關(guān)鍵.到目前為止,在動態(tài)經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷目蚣苤?已提出三種不同的方法分別為:單變量嵌入法[29,30]、多變量嵌入法[31,32]多視角嵌入法[33].

單變量嵌入法使用單個變量的時間滯后值來重構(gòu)相空間,首先將預(yù)測變量的時間序列分為X,Y兩部分,然后用X的重構(gòu)相空間MX來預(yù)測Y.t時刻重構(gòu)相空間MX的坐標(biāo)為

其中,E為重構(gòu)相空間的嵌入維數(shù),τ為采樣間隔.由(7)式得到重構(gòu)流形MX={x(t)}.定義(t+1)|MX為利用重構(gòu)相空間MX預(yù)測得到的Y(t+1).

確定t時刻MX上的向量x(t),并在MX上找到距離其最近的E+1 個鄰近點,離其最近的點記為x(t1),第二近的點為x(t2),依次類推.根據(jù)相空間的運動軌跡,找到E+1 個鄰近點在t+1 時刻的狀態(tài)點x(t1+1),x(t2+1)···x(t(E+1)+1).則Y(t+1)為

其中wi是MX上x(t)和其第i個鄰近點的距離的權(quán)重.

多變量嵌入法為在單變量嵌入的基礎(chǔ)上,使用多個變量的時間滯后來重構(gòu)相空間.例如,在M系統(tǒng)中包含C1和C2兩個變量,利用多變量嵌入法重構(gòu)M的相空間,t時刻重構(gòu)相空間的坐標(biāo)為{C1(t),C1(t–τ),C2(t)},其重構(gòu)相空間與M具有微分同胚的特點.

多視角嵌入法則通過組合多種與預(yù)測變量有關(guān)的變量來增加重構(gòu)相空間中的信息[33],根據(jù)嵌入理論[8],即使系統(tǒng)中只存在幾個變量,通過多種有效嵌入也是可預(yù)測的.在包含n個變量的動態(tài)系統(tǒng)中,假設(shè)嵌入維數(shù)為E,允許最大的滯后時間步長為l,利用多視角嵌入法重構(gòu)相空間時共有種組合形式.根據(jù)重構(gòu)相空間中嵌入變量的不同,不同重構(gòu)相空間中包含的信息有所差異.不同的重構(gòu)相空間是從不同的角度對原始動力系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu),其重構(gòu)相空間均與原始動力系統(tǒng)的相空間微分同胚.利用CCM 算法進(jìn)行預(yù)測時, 根據(jù)m個重構(gòu)相空間預(yù)測能力大小進(jìn)行排序, 通過對前k=構(gòu)相個空預(yù)間測預(yù)值測求能平力均大得小到進(jìn)最終的預(yù)測結(jié)果.盡管所有變量組合都是有效的嵌入,但是使用有限的數(shù)據(jù)可能無法很好地解決系統(tǒng)動力學(xué)問題.因此,多樣視角嵌入中僅使用了按樣本內(nèi)預(yù)測能力排名的前k個進(jìn)行重構(gòu),然后將從top-k重構(gòu)中預(yù)測的值平均,計算單個預(yù)測值.

至此,本文已經(jīng)簡要說明了CCM 算法以及該算法中包含的三種嵌入方法.接下來將用一組理想數(shù)據(jù)實驗以及實際的氣候時間序列來討論CCM算法在預(yù)測上的應(yīng)用.

3 理想數(shù)據(jù)實驗

為了討論CCM 算法在預(yù)測上的應(yīng)用以及上述3 種嵌入方法的異同,本文將Lorenz 系統(tǒng)[34]作為理想模型來進(jìn)行實驗設(shè)計.Lorenz 模型是描述大氣對流等問題的簡化模型,其方程的表達(dá)式如下:

當(dāng)σ=10,β=8/3,ρ=28 時,系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象并且產(chǎn)生奇異吸引子,其中ρ為Rayleigh 數(shù),是系統(tǒng)的控制變量.令Lorenz 系統(tǒng)的初值x(1)=y(1)=z(1)=10?17,步長 ?t=0.1,t取[0,8000],迭代80000 次,取后1000 個數(shù)據(jù)作為實驗序列,并對系統(tǒng)中的x分量進(jìn)行預(yù)測.

在使用單變量嵌入法進(jìn)行預(yù)測時,首先要確定嵌入維數(shù),比較不同的嵌入維數(shù)E下x分量對應(yīng)的時間序列重構(gòu)相空間的預(yù)測的平均絕對誤差MAE (圖1).結(jié)果表明,當(dāng)嵌入維數(shù)E=3 時,系統(tǒng)的平均絕對誤差最小,將x分量嵌入到一個三維相空間中可以很好地恢復(fù)其原始系統(tǒng)的動力學(xué)特征.因此,當(dāng)對Lorenz 系統(tǒng)中x分量進(jìn)行預(yù)測時,選擇最佳嵌入維數(shù)E=3 (見圖1),預(yù)測步數(shù)tp=1.

圖1 最佳嵌入維數(shù)E 的選取Fig.1.Selection of the best embedding dimension E..

圖2(a)—(c)給出了分別使用單變量嵌入法、多變量嵌入法、多視角嵌入法對上述Lorenz 系統(tǒng)中x分量重構(gòu)相空間的預(yù)測結(jié)果,預(yù)測步數(shù)tp=1.實驗結(jié)果表明,在CCM 算法中三種重構(gòu)相空間方法的預(yù)測能力從大到小依次為:多視角嵌入法、多變量嵌入法、單變量嵌入法,且預(yù)測能力越強,對應(yīng)的平均絕對誤差就越小(圖2(d)).多視角嵌入法的預(yù)測能力優(yōu)于多變量嵌入法和單變量嵌入法,說明利用復(fù)雜系統(tǒng)中變量中共有信息的特性,可以提高對系統(tǒng)的預(yù)測能力.

圖2 (a)單變量嵌入法預(yù)測結(jié)果;(b)多變量嵌入法預(yù)測結(jié)果;(c)多視角嵌入法預(yù)測結(jié)果;(d)三種嵌入法預(yù)測結(jié)果的平均絕對誤差比較Fig.2.Forecast results:(a) Univariate embedding;(b) multivariate embedding;(c) multiview embedding;(d) average absolute error of the prediction results of the three embedding methods.

圖3 給出了利用三種嵌入方法對Lorenz 系統(tǒng)中x分量的多步預(yù)測結(jié)果,可以看出,隨著預(yù)測步數(shù)tp的增加,三種方法的的預(yù)測效果均逐漸減弱.同時,考慮到真實氣候系統(tǒng)數(shù)據(jù)的長度,作為初步探索,下文僅考慮了向后一步的預(yù)測.

圖3 三種嵌入方法預(yù)測能力隨步長的變化 (a)單變量嵌入法;(b)多變量嵌入法;(c)多視角嵌入法Fig.3.The prediction ability of three embedding methods varies with step size:(a)Univariate embedding;(b) multivariate embedding;(c) multiview embedding;.

利用Lorenz 系統(tǒng)對比了三種重構(gòu)相空間方法的預(yù)測能力并簡單討論了預(yù)測能力隨預(yù)測步數(shù)tp的變化.接下來為了更好地說明CCM 算法在預(yù)測上的應(yīng)用,將其應(yīng)用于實際大氣時間序列中,并對其預(yù)測試驗結(jié)果進(jìn)行檢驗比較.

4 東北亞地區(qū)冬季SAT 時間序列的 預(yù)測分析

4.1 所用資料

1)美國氣候預(yù)測中心(Climate Prediction Center,CPC)提供的逐月北半球環(huán)狀模指數(shù)(NAM index,NAMI).

2)美國氣象環(huán)境預(yù)報中心/美國國家大氣研究中心(NCEP/NCAR)提供的 1000 hPa 逐月地面溫度,水平分辨率為2.5° × 2.5°.

本文主要研究的區(qū)域為東北亞區(qū)域:40°—50°(N),90°—130°(E).時間跨度為1950 年11 月—2019 年2 月.冬季定義為11 月至次年2 月.

4.2 單變量、多變量嵌入法的預(yù)測試驗研究

Zhang 等[28]的工作已經(jīng)表明,NAM 與東北亞地區(qū)冬季地面氣溫SAT 存在因果關(guān)系,NAM 作為驅(qū)動力因子能夠影響東北亞地區(qū)冬季SAT. 因此,本文在此工作基礎(chǔ)上,使用CCM 并結(jié)合單變量、多變量嵌入法及多視角嵌入法對東北亞地區(qū)冬季SAT 進(jìn)行預(yù)測試驗研究.

首先使用單變量嵌入法進(jìn)行預(yù)測(圖4(a)),單變量嵌入法為使用單個變量的時滯特性來重建相空間.在預(yù)測試驗中,選取東北亞地區(qū)冬季SAT 系統(tǒng)中的2 月份重構(gòu)系統(tǒng)的相空間.允許最大的滯后時間步長max_lag=4,采樣間隔τ=1,預(yù)測步數(shù)tp=1,t時刻重構(gòu)相空間的坐標(biāo)為{X2(t),X2(t–τ),X2(t–2τ),X2(t–3τ)}.理論上,其重構(gòu)相空間雖然在形狀、大小方面發(fā)生了變化,但是兩個不動點以及其基本的動力特征沒有發(fā)生改變[8].然而由于時間序列長度的限制,在較短的時間序列中,SAT 的重構(gòu)x吸引子非常稀疏,阻礙了對來自臨近點的動力狀態(tài)的準(zhǔn)確推斷.使用單變量嵌入法對SAT 進(jìn)行預(yù)測的預(yù)測能力僅為0.12,加入NAM 信號后預(yù)測能力稍有提升,但預(yù)測效果仍不佳,其預(yù)測能力為0.18.

圖4 (a)單變量嵌入法和在目標(biāo)變量中加入NAM 信號后的預(yù)測結(jié)果;(b)多變量嵌入法的預(yù)測結(jié)果(黑色圓圈代表僅利用SAT 序列進(jìn)行預(yù)測,紅色三角代表加入NAM 信號后)Fig.4.(a) Univariate embedding method and prediction result after adding NAM signal to the target variable;(b) prediction result of multivariate embedding method (black circle represents prediction using only SAT sequence,red triangle represents after adding NAM signal).

然后運用多變量嵌入法來重構(gòu)東北亞地區(qū)冬季SAT 的相空間(圖4(b)).與單變量嵌入法不同的是,多變量嵌入法使用多個變量來重構(gòu)相空間,而不是運用原變量的滯后值.因此在對2 月份的SAT 的相空間進(jìn)行重構(gòu)時,可將其前三個月(即11,12,1 月)的值視作為系統(tǒng)中的另外三個變量,并且由于在冬季系統(tǒng)中,NAM 信號與東北亞冬季SAT 存在單向因果關(guān)系,NAM 是東北亞地區(qū)冬季SAT 的驅(qū)動力因子,二者微分同胚,所以可將變量NAM 中的信息加入SAT 的重構(gòu)相空間中來預(yù)測SAT.分別選取1950—2018 年11 月-次年2 月的SAT 以及NAM 信號,利用多變量嵌入法重構(gòu)2 月的SAT 相空間,該相空間中吸引子同樣具有微分同胚的特點.圖4(b)中黑色圓圈代表僅用多個月份的SAT 信號嵌入進(jìn)行預(yù)測的結(jié)果,紅色三角代表加入NAM 后運用多變量嵌入法對2 月SAT 進(jìn)行預(yù)測的結(jié)果.

對比圖4(a)和圖4(b)可以看出,多變量嵌入法的預(yù)測能力大于單變量嵌入法,將NAM 加入冬季SAT 系統(tǒng)中后,對SAT 的預(yù)測能力會顯著提高,并且預(yù)測值和觀測值之間的相關(guān)系數(shù)更高(將紅色虛線與黑色虛線進(jìn)行比較).然而,盡管多變量嵌入法的預(yù)測能力大于單變量嵌入法,SAT 的實際觀測值和預(yù)測值仍存在很大誤差,表明系統(tǒng)中仍然存在很多無法解釋的變化.此類方法可能會受到序列長度的限制,并且可能會受到噪音的影響.此外,觀測誤差將導(dǎo)致精度降低,即使時間序列足夠長以密集地吸引吸引子,臨近點也可能無法形成平滑的曲線,從而影響預(yù)測結(jié)果.

上述結(jié)果表明,單變量嵌入和多變量嵌入的方法十分依賴數(shù)據(jù)長度,時間序列長度越長,說明序列中可能包含的信息越多,用來重構(gòu)相空間的點就越多;若數(shù)據(jù)長度過短,則不能很好地恢復(fù)系統(tǒng)中時間序列的動力學(xué)特性.因此在時間序列長度較短時,兩種方法的預(yù)測能力均不佳.但將NAM 信號加入SAT 的重構(gòu)相空間中,增加了SAT 相空間中的信息,有助于改善其預(yù)測效果.

4.3 多視角嵌入法的預(yù)測試驗

與上述兩種嵌入方式不同,多視角嵌入通過組合多種與預(yù)測變量有關(guān)的變量來增加重構(gòu)相空間中的信息[31].選用1950—2018 年冬季SAT 和NAM,運用多視角嵌入法對冬東北亞地區(qū)冬季SAT 進(jìn)行預(yù)測,并對比其預(yù)測能力.

首先僅用東北亞地區(qū)冬季SAT 進(jìn)行預(yù)測,選擇與上述單變量和多變量嵌入法相同的嵌入維數(shù)E=4,允許最大滯后時間步長l=4,預(yù)測步數(shù)tp=1,使用多視角嵌入法進(jìn)行相空間重構(gòu)共有即1325 種重構(gòu)相空間.根據(jù)其預(yù)測值和觀測值的相關(guān)系數(shù)從大到小進(jìn)行排列,挑選出其中預(yù)測能力最強的前4 個重構(gòu)相空間,并將預(yù)測值和觀測值的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較,如圖5 所示,其中k為嵌入的次數(shù).可以看出當(dāng)k取40—43 時,SAT 的預(yù)測效果最好,其預(yù)測能力最大可達(dá)0.6638.

圖5 僅用東北亞地區(qū)冬季SAT 重構(gòu)相空間,(a)—(d)分別表示k 取40,41,42,43 的預(yù)測結(jié)果Fig.5.Only using Northeast Asia winter surface air temperature reconstruct the phase space:(a)–(d) represent the prediction results of k taking 40,41,42,43 respectively.

同樣地,將1950—2018 年11 月至次年2 月的NAM 信號加入SAT 的重構(gòu)相空間中,選擇嵌入維數(shù)E=4,允許最大滯后時間步長l=4,預(yù)測步數(shù)tp=1,使用多視角嵌入法整合所有與預(yù)測變量有關(guān)的增量進(jìn)行相空間重構(gòu).圖6 中僅選擇了其中1 個月的NAM 加入SAT 的重構(gòu)相空間中,共有3480 種重構(gòu)相空間,挑選出其中預(yù)測能力最強的前4 個重構(gòu)相空間的預(yù)測值,并將預(yù)測值和觀測值的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較.可以看出,當(dāng)k為30,36,31,34 時預(yù)測效果最好,預(yù)測值和真實值的相關(guān)系數(shù)最高可達(dá)0.687.

圖6 僅將2 月的NAM 信號加入SAT 的重構(gòu)相空間中,(a)—(d)分別表示k 取30,36,31,34 的預(yù)測結(jié)果Fig.6.Only adding the NAM signal in February to the reconstructed phase space of the SAT:(a)–(d) represent the prediction results of k taking 30,36,31,and 34,respectively.

圖7 所示為將11 月到次年2 月的全部NAM信號加入SAT 的重構(gòu)相空間中對SAT 的預(yù)測結(jié)果.在東北亞地區(qū)冬季溫度的重構(gòu)相空間中繼續(xù)加入NAM 信號后,其可重構(gòu)的相空間數(shù)量又有所增多,共有25334 種重構(gòu)相空間.挑選出其中預(yù)測能力最強的前4 個重構(gòu)相空間的預(yù)測值,并將預(yù)測值和觀測值的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較,當(dāng)k為38,39,36,37 時對SAT 的預(yù)測效果最好,預(yù)測值和真實值的相關(guān)系數(shù)最高可達(dá)0.7946.

圖7 將12 月至次年2 月的NAM 信號加入SAT 的重構(gòu)相空間中,(a)—(d)分別表示當(dāng)k 取38,39,36,37 時的預(yù)測結(jié)果Fig.7.Adding the NAM signals from December to next February to the reconstructed phase space of the SAT:(a)–(d) show the prediction results when k takes 38,39,36,and 37,respectively.

可以看出,使用多視角嵌入法進(jìn)行預(yù)測時,利用復(fù)雜系統(tǒng)中變量中共有信息的特性,在時間序列長度一定的情況下,利用冬季動力系統(tǒng)的復(fù)雜性來增加系統(tǒng)內(nèi)的信息,將NAM 加入SAT 的重構(gòu)相空間中可以改善對SAT 的預(yù)測效果.

4.4 三種重構(gòu)相空間方法的比較

表1 對比了單變量嵌入、多變量嵌入、多視角嵌入三種重構(gòu)相空間方法對1950—2018 年2 月份SAT 的預(yù)測能力(ρ)、平均絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE),得到三種嵌入方法的預(yù)測能力如下:多視角嵌入法 >多變量嵌入法 >單變量嵌入法;使用三種嵌入法預(yù)測的平均絕對誤差和均方根誤差如下:單變量嵌入法>多變量嵌入法>多視角嵌入法.經(jīng)上述對比可知,使用多視角嵌入法對變量的預(yù)測能力最強,其對應(yīng)的均方根誤差和平均絕對誤差最小,表明對于已知長度的時間序列,重構(gòu)相空間中包含的有用信息越多,預(yù)測效果越好.此外,對比僅用SAT 重構(gòu)相空間和將NAM 加入SAT 重構(gòu)相空間的預(yù)測能力可知,將NAM 加入SAT 的重構(gòu)相空間中可以改善SAT 的預(yù)測效果.

表1 多種嵌入方法的預(yù)測結(jié)果Table 1.Predicted results of multiple embedding methods.

此外,從理想數(shù)據(jù)結(jié)果和實際應(yīng)用的結(jié)果可以看出,就單變量嵌入法而言,系統(tǒng)內(nèi)部的所有信息最終都反映在單一變量時間序列的全部演化過程中,對于變量較少且系統(tǒng)中能量較大的分量所產(chǎn)生的作用很快就會體現(xiàn)在時間序列的短期變化上.而在實際的非平穩(wěn)系統(tǒng)中,系統(tǒng)的高階項或較弱分量產(chǎn)生的影響在短時間無法反映出來,幾乎不可能從長度有限的時間序列中提取系統(tǒng)的全部特征.多視角嵌入法通過整合多種與預(yù)測變量有關(guān)的變量來增加重構(gòu)相空間中的信息,從而恢復(fù)系統(tǒng)的動力學(xué)特征,該種方法包含的信息最多,因此在實際應(yīng)用中,多視角嵌入法的預(yù)測結(jié)果要明顯優(yōu)于其他兩種嵌入方法.

5 結(jié)論

將CCM 算法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的預(yù)測,是因果分析及其預(yù)測應(yīng)用上研究進(jìn)展之一.同時,它也加深了我們對非線性的氣候系統(tǒng)內(nèi)部規(guī)律的認(rèn)識,使進(jìn)一步探究系統(tǒng)的驅(qū)動機理成為可能.本文通過兩組預(yù)測試驗,討論了結(jié)合 CCM 方法,探討加入驅(qū)動力因素對預(yù)測結(jié)果的影響并比較3 種不同預(yù)測建模方法,并得到如下結(jié)果.

1)對于理想Lorenz 模型和實際氣候時間序列,單變量、多變量和多視角嵌入法三重構(gòu)相空間方法對變量的預(yù)測能力均為:多視角嵌入法 >多變量嵌入法 >單變量嵌入法.利用多視角嵌入法對變量的預(yù)測效果最好,表明對于給定長度的時間序列,重構(gòu)相空間中包含的信息越多,其預(yù)測能力越強.

2)將NAM 加入SAT 的重構(gòu)相空間中有助于改善SAT 的預(yù)測效果.在氣候系統(tǒng)預(yù)測中,可以考慮利用復(fù)雜系統(tǒng)中變量共有信息的特性,構(gòu)建包含多種影響因子的東亞氣溫預(yù)測模型.

由于在CCM 算法中相空間中相互靠近的點在時間上具有相似的發(fā)展趨勢和運動軌跡,CCM算法在理想模型和東北亞地區(qū)冬季溫度預(yù)測上的應(yīng)用,進(jìn)一步展示了基于因果檢驗在非線性系統(tǒng)的預(yù)測能力.然而,文中的試驗仍是初步的.本文并沒有考慮變量之間的相互作用及其物理過程,此類問題的深入和擴展將是未來工作的方向.同時,實際的時間序列中含有噪聲,解決預(yù)測模型對噪聲的抗干擾能力也是一個重要課題.此外,預(yù)測中對于挖掘數(shù)據(jù)中定量信息的提取,可能對觀測數(shù)據(jù)和質(zhì)量提出新的要求.